Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien

Algebraerweiterung $B$ von $A$, die ein inverses Element $b=z^{-1}\in B$ zu einem gegeben $z\in A$ enthält

Der Kurs behandelt ein grundlegendes Konzept, mathematische Eigenschaften in Erweiterungen einer Grundmenge zu betrachten. Dabei erweitern man eine Grundmenge $A$ zu einer Erweiterung $B$ mit $A\subset B$ und überprüft dabei eine Eigenschaft eines Elementes $z\in A$ in der Erweiterung $z\in B$. In diesem Kurs behandelt wir die multiplikative Invertierbarkeit als mathematische Eigenschaft und betrachten u.a. topologische Eigenschaften, die ein Invertierbarkeit eines Elementes $z\in A$ in einer Erweiterung $B$ ermöglichen, d.h.

${\mathrm{\exists }}_{z^{-1}\in B}:z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z=e$

erfüllt ist und $e\in A$ das Einselement der Multiplikation ist. Im Wesentlichen geht es dabei um topologische Eigenschaften des Elementes $z\in A$, dass entweder eine Invertierbarkeit in einer bestimmten Erweiterung $B$ von $A$ ermöglicht bzw. in beliebigen Erweiterungen $B$ von $A$ nie ein inverses Element besitzt, d.h. permanent singulär ist. Die Grundmengen mit einer multiplikativen Verknüpfung sind hier topologische Algebren, bei denen die Verknüpfungen

• (TA1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als äußere Verknüpfung,
• (TA2) Addition von Vektoren im Vektoraum als innere Verknüpfung und
• (TA3) Multiplikation von zwei Vektoren als innere Verknüpfung

jeweils stetig sind. Dabei wird ein Vektorraum mit den Eigenschaften (TA1) und (TA2) als ein topologischer Vektorraum bezeichnet. Gibt es zusätzlich eine Multiplikation ist zusätzlich diese multiplikative innere Verknüpfung stetig (TA3) dann nennt man den Vektorraum eine topologische Algebra.

Inhalte

Kapitel 0

Das Kapitel 0 enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind.

• Mengenlehre - (Folien)
• Komplexe Zahlen - (Foliensatz)
• Topologie
• Vektorräume (Foliensatz)
• Normen, Metriken, Topologie - (Folien)
• Netze - (Folien)
• Lineare Abbildung - (Folien)
• Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen (Foliensatz)
• Cauchy-Folgen in metrischen Räumen
• Vollständigkeit - (Foliensatz)
• Banachalgebra
• Faltung als Multiplikation in einer Banachalgebra
• Quotientenraum (Foliensatz)
• Ideal (Algebra) (Foliensatz)

Kapitel 1: Grundlagen

• Einführung - (Foliensatz)
• Topologische Algebra - (Foliensatz)
• Kreisförmige Mengen - (Foliensatz)
• Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale - (Foliensatz)
• Gaugefunktionale - (Foliensatz)
  • Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem - (Foliensatz)
  • Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung
  • Topologisierungslemma für Algebren - (Foliensatz)
  • Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen - (Foliensatz)
• Algebraerweiterung - (Foliensatz)
  • Zahlbereichserweiterung - Analogie zur Algebraerweiterung - (Foliensatz)

• Polynomnalgebra - (Foliensatz)
• Potenzreihenalgebra - (Foliensatz)
• Stetigkeitssequenzen - (Foliensatz)

Kapitel 2: K-singuläre Elemente

Zunächst sollen topologische Kriterien behandelt werden, die dafür sorgen, dass ein Elemen permanent singulär in jeder Algebraerweiterung der Klasse $𝒦$. Wenn die Negation der topologischen Eigenschaft dazu führt, dass das Element ein inverses Element in einer Algebraerweiterung der Klasse $𝒦$ besitzt, entsteht ein topoligisches Invertierbarkeitskriterien.

• Algebraische Eigenschaften - permament singulär - (Foliensatz)
• Topologische Nullteiler - (Foliensatz)
  • TNT-Kriterium für Gaugefunktionale - (Foliensatz)
• Multiplikative topologische Nullteiler - (Foliensatz)
• Kleine Potenzen - (Foliensatz)
• Topologisch kleine Potenzen - (Foliensatz)
  • Satz - TKP und Gaugefunktionale - (Foliensatz)
  • Satz - KP-TNT-Summen - (Foliensatz)
  • Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität - (Foliensatz)

Kapitel 3: K-reguläre Elemente

In diesem Kapitel werden mit den gegebenen topologischen Kriterien Algebraerweiterungen Algebraerweiterung der Klasse $𝒦$ konstruiert, in denen ein gegebenes $𝒦$-reguläres Element invertierbar ist.

• Eigenschaften K-Regularität - (Foliensatz)
• Konstruktion des Algebraisomorphismus - (Foliensatz)

(3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren

• B-Regularität - Banachalgebren (Foliensatz)
  • Von Äquivalenzklassen zum Ideal - (Foliensatz)
  • Normeigenschaften Stetigkeit - Cauchy-Produkt in Banachalgebren - (Foliensatz)
  • Konstruktion des Algebraisomorphismus - (Foliensatz)
• P-Regularität - lokal beschränkte Algebren (Foliensatz)
  • Beispiel p-nomierbarer Raum - (Foliensatz)
  • absolut p-konvexe Hülle - (Foliensatz)
  • Satz - Quasinormierbarkeit - (Foliensatz)
  • Satz p-Normierbarkeit - (Foliensatz)
  • Satz - Konkavitätsmodul - (Foliensatz)
  • Konstruktion des Algebraisomorphismus - (Foliensatz)
  • P-Regularität über p-Normen - (Foliensatz)
  • P-Regularität über Quasinormen - (Foliensatz)
  • P-Algebra - Beispiel - (Foliensatz)

(3.2) Multiplikative toplogische Algebren

• MLC-Regularität - (Foliensatz)
  • Multiplikative topologische Nullteiler - (Foliensatz)
  • MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt - (Foliensatz)
  • Konstruktion des Algebraisomorphismus submultiplikative Halbnormen - (Foliensatz)
• MPC-Regularität - (Foliensatz)
  • Quotientenraum (Foliensatz)
  • Multiplikative topologische Nullteiler - (Foliensatz)
  • Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen - (Foliensatz)
  • MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt - (Foliensatz)

(3.3) Lokalkonvexe und pseudokonvexe Algebren

• LC-Regularität - (Foliensatz)
  • /Beispiele lokalkonvexer Raum/
  • LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt - (Foliensatz)
  • LC-Regularitätskriterium für Halbnormensysteme
  • Konstruktion des Algebraisomorphismus - (Foliensatz)
• PC-Regularität - (Foliensatz)
  • /Beispiele pseudokonvexer Raum/
  • Konstruktion des Algebraisomorphismus - (Foliensatz)
  • Topologisch große Potenzen - (Foliensatz)
  • PC-Regularitätskriterium für Quasihalbnormensysteme
  • Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation - (Foliensatz)
  • PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt - (Foliensatz)
  • PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus - (Foliensatz)

(3.4) Topologische Algebren

• T-Regularität - (Foliensatz)
  • Topologisierungslemma für Algebren - (Foliensatz)
  • Konstruktion des Algebraisomorphismus - (Foliensatz)
  • Topologisch große Potenzen - (Foliensatz)
  • Lemma - Kaskadensummen - (Foliensatz)
  • Lemma - Kaskadenprodukte - (Foliensatz)
  • Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität - (Foliensatz)
  • T-Stetigkeit Cauchy-Produkt - (Foliensatz)
  • T-Regularitätskriterium - (Foliensatz)

• Hauptsatz über K-reguläre Elemente - (Foliensatz)

Kapitel 4: Lösbarkeit von Gleichungen

In diesem Kapitel wird die Invertierbarkeit $z\cdot x=x\cdot z=e$ mit $x=z^{-1}$ als speziellen Fall der Lösbarkeit einer Gleichung $z_1\cdot x=z_2$ mit $z_1,z_2\in A$ betrachtet. Hier wird in einer Algebraerweiterung $B$ von $A$ nach einer Lösung $x\in B$ gesucht, die die Gleichung $z_1\cdot x=z_2$ löst.

Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen

Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format (PanDocElectron-SLIDE) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug Wiki2Reveal in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit PanDocElectron die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit Wiki2Reveal können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen.

Ursprung der Materialen

Im Sinne der OER (Open Educational Resources) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die Vorlesungsinhalte entlang eines Skriptes in Wikiversity abgebildet. Eine direkte Nutzung in Lehrveranstaltung aus Folien erfordert eine Anpassung der Inhalten und eine Segmentierung der Inhalte in Unterabschnitte, die als Folien dargestellt werden. Entsprechend von Rückfragen und Anmerkungen in Vorlesungen wurden in erstellten Foliensätze mit zusätzlichen Begründung ergänzt, damit eine bessere eigenständige Nacharbeit der Vorlesungsinhalte möglich wird.

PDF-Export und digitale handschriftliche Annotation

Ein PDF-Export ist standardmäßig als PDF in Wikiveristy möglich. Studierende können die PDF exportieren und in der OpenSource-Software Xournal auf Linux, Windows oder Mac editieren und eigene handschriftliche Anmerkungen digital ergänzen.

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Siehe auch

• Kurs:Funktionalanalysis
• Wiki2Reveal für Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien
• Hilfe: Erstellung Quiz für Vorlesungsinhalte
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen

Wiki-Bücher

• Wikibook: Functional Analysis