Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal

Einleitung

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Zielsetzung

Diese Lernressource hat das Ziel, den Zusammenhang von Äquivalenzklassen bis hin zum Ideal zu behandeln. Die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den damit zusammenhängenden Aspekten führen dann zu eine Quotientenraum bzgl. eines Ideals $I \subset A [t]$ , der dann die Algebraerweiterung $B : = A [t] / I$ bildet, in der ein $z \in A$ invertierbar ist.

Einführung

Unter einer Äquivalenzrelation versteht man in der Mathematik eine zweistellige Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Äquivalenzrelationen sind für die Mathematik und für die Logik von großer Bedeutung. Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte (elementfremde) Untermengen, Äquivalenzklassen genannt. Die Klassenbildung mit Hilfe des Äquivalenzbegriffes zerlegt den Polynomraum $A [t]$ in Mengen, die dann die Elemente der Algebraerweiterung $B$ bilden.

Äquivalenz

In der Mathematik werden Objekte, die sich in einem bestimmten Zusammenhang gleichen, als gleichwertig bzw. äquivalent angesehen. Auf Polynomraum $A [t]$ werden dabei zwei Polynome $p, q \in A [t]$ als äquivalent angesehen, wenn die Differenz $p - q \in I$ also ein Element eines Ideals $I \subset A [t]$ ist.

Äquivalenz als spezielle Relation

Ein solcher Zusammenhang lässt sich für alle Elemente einer nichtleeren Menge $A$ stets durch eine Relation $R \subset A \times A$ darstellen, indem man genau dann zwei Elemente $a, b \in A$ als zueinander „äquivalent“ bezeichnet und diese Beziehung durch $a \sim b$ symbolisiert, wenn das Paar $(a, b) \in R$ also ein Element der Relation ist. Diese Relation wird zu einer Äquivalenzrelation, wenn 3 Eigenschaften erfüllt sind.

Definition - Äquivalenzrelation

Eine Relation $R \subseteq A \times A$ auf einer nichtleeren Menge $A$ heißt Äquivalenzrelation, wenn diese die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

(Refexivität) Jedes Objekt $a$ ist zu sich selbst äquivalent.
(Symmetrie) Wenn $a$ äquivalent zu $b$ ist, dann ist auch $b$ äquivalent zu $a$ .
(Transitivität) Wenn $a$ äquivalent zu $b$ und $b$ äquivalent zu $c$ ist, dann ist auch $a$ äquivalent zu $c$ .

Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $A \neq \emptyset$ ist eine zweistellige Relation $\sim \subseteq A \times A$ , die folgende Bedingungen erfüllt:

Reflexivität: $(a, a) \in R$ für alle $a \in A$ .

Symmetrie: $(a, b) \in R ⟹ (b, a) \in R$ für alle $a, b \in A$ .

Transitivität: $(a, b) \in R$ und $(b, c) \in R ⟹ (a, c) \in R$ für alle $a, b, c \in A$ .

Schreibweise

Wie bei zweistelligen Relationen üblich, schreibt man statt $(a, b) \in R$ auch einfacher $a \sim b$ , dann nehmen diese Eigenschaften die oben genannte Form an.

Polynomalgebra - Relation

Die Polynome $p, q \in A [t]$ stehen in Relation $(p, q) \in R$ , wenn gilt $p - q \in I$ . Dabei ist $I$ ein Ideal bzw. das abgeschlossene Hauptideal bzgl. $r (t) = z \cdot t - e_{A}$ und $I : = \overline{r \cdot A [t]}$ mit $B : = A [t] / I$ die gesuchte Algebraerweiterung.

Beispiel

Gleichheit von Brüchen ist eine Äquivalenzrelation $\frac{1}{2} = \frac{10}{20} = \frac{3}{6} = . . .$ , Dabei gibt es unterschiedliche Zahldarstellungen, die die gleiche Zahl darstellen.
Den gleichen Anfangsbuchstaben beim Nachnamen zu haben, fasst Namen zu einer Äquivalenzklasse zusammen, die den gleichen Anfangsbuchstaben besitzen (hilfreich bei alphabetischen Ordnungsprinzipien in Telefonbüchern und Nachschlagewerken).
Bei Restklassen werden ganze Zahlen zu einer Äquivalenzklasse zusammengefasst, wenn diese bei Division den gleichen Rest lassen.

Terminologie

Das geordnete Paar $(A, \sim)$ nennt man in diesem Fall auch Setoid oder E-set (englische Bezeichnung: extensional set, auch Bishop set).^[1]

Äquivalenzklassen

Ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge (Klasse) $A \neq \emptyset$ , so nennt man die Teilmenge (bzw. Teilklasse)

[a]_{\sim} : = {b \in A ∣ b \sim a}

,

aller zu $a \in A$ äquivalenten Elemente, die $\sim$ -Äquivalenzklasse von $a$ .

Ist aus dem Kontext klar, dass Äquivalenzklassen bezüglich $\sim$ gebildet werden, lässt man den Zusatz $\sim$ weg:

[a]

,

andere Schreibweisen sind

a / \sim

sowie

\bar{a}

.

Repräsentantensysteme

Vorlage:Anker Elemente einer Äquivalenzklasse werden ihre Vertreter oder Repräsentanten genannt. Jedes Element von $A$ ist in genau einer Äquivalenzklasse enthalten. Die Äquivalenzklassen zu je zwei Elementen $a, b \in A$ sind entweder gleich oder disjunkt. Ersteres genau dann, wenn die Elemente äquivalent sind:

[a] = [b] ⟺ a \in [b] ⟺ a \sim b ⟺ b \in [a]

.

Eine Teilmenge $S \subseteq A$ nennt man ein (vollständiges) Vertreter- oder Repräsentantensystem von $\sim$ , wenn es für jede Äquivalenzklasse $[a]$ genau ein $s \in S$ gibt mit $s \in [a]$ .

Quotientenmenge und Partition

Vorlage:Anker Die Faktor- oder Quotientenmenge einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf der Menge $A$ ist die Menge aller Äquivalenzklassen:

A / \sim : = {[a]_{\sim} ∣ a \in A}

.

Sie bildet eine Zerlegung oder Partition von $A$ .

Ist umgekehrt $𝒫$ eine Partition von $A$ , dann ist durch

a \sim b : ⟺ \exists B \in 𝒫 : a, b \in B

eine Äquivalenzrelation gegeben.

Mächtigkeit

Die Mächtigkeit (Kardinalität) $| A / \sim |$ wird manchmal auch als der Index der Äquivalenzrelation $\sim$ bezeichnet. Ein Spezialfall ist der Index einer Untergruppe.

Quotientenabbildung

Die surjektive Funktion

q_{\sim} : A ↠ A / \sim, a \mapsto [a]_{\sim}

,

die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet, heißt kanonische Abbildung oder Quotientenabbildung.

Bemerkung - Quotientenabbildung

Diese Abbildung ist nur dann injektiv, wenn es sich bei der Äquivalenzrelation auf $A$ um die Identitätsrelation $I_{A}$ handelt.

Homomorphismen

Homomorphismen als strukturerhaltende Abbildungen findet man z.B. bei

Gruppenhomomorphismen,
Vektorraumhomomorphismen (Lineare Abbildungen)
Algebrahomomorphismen (Vektorräume mit eine Multiplikation als innere Verknüpfung)

liefern als Eigenschaften die Verträglichkeit mit den Verknüpfungen auf dem Grundraum.

Gruppenhomomorphismus

Gegeben seien zwei Gruppen $(G, *)$ und $(H, ⋆) .$ Eine Funktion $ϕ : G \to H$ heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente $g_{1}, g_{2} \in G$ gilt:

τ (g_{1} * g_{2}) = ϕ (g_{1}) ⋆ ϕ (g_{2}) .

Vektorraumhomomorphismus - Lineare Abbildung

Gegeben seien zwei Vektorräume $(V, +, \cdot_{v})$ und $(W, +_{w}, \cdot_{w})$ . Eine Funktion $τ : V \to W$ heißt Vektorraumhomomorphismus oder linear, wenn für alle Elemente $λ \in 𝕂$ und $v_{1},_{2} \in V$ gilt:

$τ (λ \cdot_{v} v_{1}) = λ \cdot_{w} ϕ (v_{1})$ und
$τ (v_{1} +_{v} v_{2}) = τ (v_{1}) +_{w} τ (v_{2})$

Dabei wurden hier die innere additive Verknüpfung und äußere Verknüpfung einmal indiziert, um deutlich zu machen, dass es sich um unterschiedliche Verknüpfungen handelt. Diese Unterscheidung wird in der Regel vernachlässigt.

Algebrahomomorphismus

Gegeben seien zwei Algebren $(V, +, \cdot_{v}, ⊙_{v})$ und $(W, +_{w}, \cdot_{w}, ⊙_{w})$ . Eine Funktion $τ : V \to W$ heißt Algebrahomomorphismus, wenn für alle Elemente $λ \in 𝕂$ und $v_{1},_{2} \in V$ gilt:

$τ (λ \cdot_{v} v_{1}) = λ \cdot_{w} ϕ (v_{1})$ und
$τ (v_{1} +_{v} v_{2}) = τ (v_{1}) +_{w} τ (v_{2})$
$τ (v_{1} ⊙_{v} v_{2}) = τ (v_{1}) ⊙_{w} τ (v_{2})$

Dabei wurden die multiplikative innere Verknüpfungen $⊙_{v}$ bzw. $⊙_{w}$ zur Unterscheidung mit der Multiplikation mit Skalaren $\cdot_{v}$ bzw. $\cdot_{w}$ unterschiedlich bezeichnet. Diese Unterscheidung wird in der Regel vernachlässigt und wurde nur hier zur Darstellung der Strukturerhaltung verwendet.

Beispiele

Nutztiere in einem landwirtschaftlichen Betrieb

Ein anschauliches Beispiel aus der Landwirtschaft soll die eingeführten Begriffe verdeutlichen. Betrachtet wird eine Menge $T$ von Nutztieren in einem landwirtschaftlichen Betrieb. Wir definieren die folgende zweistellige Relation $\sim$ auf $T$ :

Für je zwei Nutztiere

t

und

v

aus

T

soll

t \sim v

genau dann gelten, wenn

t

und

v

Tiere derselben Art sind.

Für die Kuh $k$ und den Ochsen $o$ gilt immer $k \sim o$ . Für das Huhn $h$ dagegen gilt dies aber nicht: $h ≁ o$ . Die Relation $\sim$ erfüllt die drei Forderungen für Äquivalenzrelationen:

Reflexivität: Jedes Tier ist von derselben Art wie es selbst (im Sinne von: Jedes Tier gehört einer Art an).

Symmetrie: Ist ein Tier von derselben Art wie ein zweites, dann ist das zweite auch von derselben Art wie das erste.

Transitivität: Wenn $k$ und $o$ Tiere derselben Art sind und ebenso $o$ und $b$ von derselben Art sind, dann sind auch $k$ und $b$ von derselben Art (nämlich von der Art, zu der dann jedes der drei Tiere gehört).

Eine Äquivalenzklasse besteht hier aus den Tieren einer Art. Die Rinder bilden eine und die Hühner eine andere Äquivalenzklasse. Die Quotientenmenge ist die Menge der Tierarten des landwirtschaftlichen Betriebes.

Ähnlichkeit und Kongruenz geometrischer Figuren

Zwei geometrische Figuren $F$ und $G$ in der euklidischen Ebene sind genau dann einander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander überführt werden können. Durch die Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation

F \sim G : ⟺ F

und

G

sind einander ähnlich

auf der Menge $𝐅$ aller Figuren der Ebene gegeben.

Darüber hinaus sind $F$ und $G$ genau dann kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung, also eine längentreue Ähnlichkeitsabbildung, ineinander überführt werden können. Auch durch

F ≅ G : ⟺ F

und

G

sind kongruent

ist eine Äquivalenzrelation auf $𝐅$ gegeben.

Partition einer endlichen Zahlenmenge

Wir definieren zunächst sechs Mengen von natürlichen Zahlen von 1 bis 23:

A_{1} : = {1, 7, 10, 13, 17}

,

A_{2} : = {2, 5, 8, 16}

,

A_{3} : = {3, 4, 6, 11, 18, 22}

,

A_{4} : = {9, 12, 14, 15, 23}

,

A_{5} : = {19}

,

A_{6} : = {20, 21}

.

Sie haben die Eigenschaft, dass jede Zahl aus dem Bereich von 1 bis 23 in genau einer der sechs Mengen vorkommt, die damit eine Zerlegung oder Partition der Menge $A = {1, \dots, 23}$ bilden. Wie jede Partition von $A$ sind sie die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf $A$ , nämlich

a \sim b : ⟺ \exists i \in {1, \dots, 6} : a, b \in A_{i}

.

Die Mengen wurden durch Würfeln ermittelt, also willkürlich aus den rund 44 Billiarden^[2] Partitionen – und damit ebenso vielen Äquivalenzrelationen – dieser 23-elementigen Menge ausgewählt. Äquivalente Zahlen nach dieser Relation weisen keine einfach beschreibbaren Gemeinsamkeiten auf.

Äquivalenzklasse eines Elementes $a$ ist diejenige Menge $A_{i}$ , die $a$ enthält.
Die Quotientenmenge ist die sechselementige Menge ${A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}}$ .

Rationale Zahlen

Es sei $P : = {(z, n) \in ℤ^{2} ∣ n \neq 0}$ die Menge der Paare ganzer Zahlen, deren zweiter Eintrag von Null verschieden ist. Für zwei Paare $(z_{1}, n_{1}), (z_{2}, n_{2}) \in P$ soll folgende Äquivalenz gelten:

(z_{1}, n_{1}) \sim (z_{2}, n_{2}) : ⟺ z_{1} \cdot n_{2} = z_{2} \cdot n_{1}

.

Die Äquivalenzklasse des Paares $(z, n)$ ist dann der Bruch oder (totale) Quotient $\frac{z}{n} : = [(z, n)]_{\sim}$ .
Mit der Quotientenmenge erhält man gerade die Menge der rationalen Zahlen $ℚ : = P / \sim = {\frac{z}{n} | (z, n) \in P}$ .

Kommensurabilität reeller Zahlen

Zwei reelle Zahlen $x$ und $y$ heißen kommensurabel, wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten reellen Zahl $z$ sind. Kommensurabilität ist eine Äquivalenzrelation, wenn man die Null gesondert betrachtet:

x \sim y : ⟺ {\begin{matrix} \frac{x}{y} \in ℚ^{\times}, & falls x, y \neq 0, \\ x = y = 0, & falls x \cdot y = 0 \end{matrix}

mit $ℚ^{\times} : = ℚ ∖ {0}$ als der multiplikativen Gruppe von $ℚ$ .

Äquivalenzklasse einer reellen Zahl $x$ ist die Menge $x \cdot ℚ^{\times}$ der mit $x$ kommensurablen Zahlen, die für $x \neq 0$ abzählbar unendlich ist.
Die Quotientenmenge ist überabzählbar. Anders als bei anderen ähnlich einfachen Äquivalenzrelationen bietet sich hier jedoch kein Repräsentantensystem an.
Die Multiplikation ist mit $\sim$ verträglich, denn ist $x \sim y$ und $x^{'} \sim y^{'}$ , dann folgt $x x^{'} \sim y y^{'}$ z. B. aus $\frac{x x^{'}}{y y^{'}} \in ℚ^{\times} .$
Die reelle Addition ist jedoch nicht mit $\sim$ verträglich, denn z. B. ist $- 1 \sim 1$ , aber $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = 3 - 2 \sqrt{2} \notin ℚ^{\times},$ also $\sqrt{2} - 1 \sim̸ \sqrt{2} + 1 .$

Topologische Äquivalenz von Metriken

$(X, d)$ sei ein metrischer Raum und

𝒯_{d} : = {O \subseteq X ∣ O

offen in

(X, d)}

die zu $d$ gehörende Topologie. Ist $d^{'}$ eine weitere Metrik auf $X$ und $𝒯_{d^{'}}$ deren zugehörige Topologie, dann heißen $d$ und $d^{'}$ topologisch äquivalent, wenn $𝒯_{d}$ und $𝒯_{d^{'}}$ übereinstimmen:

d \sim d^{'} : ⟺ 𝒯_{d} = 𝒯_{d^{'}}

.

Erzeugung von Äquivalenzrelationen

Eine Äquivalenzrelation explizit zu beschreiben ist manchmal nicht einfach. Oft möchte man eine Äquivalenzrelation konstruieren, die gewisse vorgegebene Elemente miteinander identifiziert und zugleich gewisse Eigenschaften erhält, beispielsweise eine Kongruenzrelation ist (siehe unten).

Sei $R$ eine beliebige Relation auf der Menge $A$ . Als Äquivalenzhülle von $R$ bezeichnet man die kleinste Äquivalenzrelation, die $R$ als Teilrelation enthält, in Zeichen:

R^{äq} : = ⋂ {\sim \subseteq A \times A ∣ \sim

ist Äquivalenzrelation auf

A

mit

R \subseteq \sim}

^[3]

Es gilt: Die Äquivalenzhülle ist die reflexiv-transitive Hülle der symmetrischen Hülle, formal:

R^{äq} = (R^{\leftrightarrow})^{*} = (R \cup R^{- 1})^{*} = ⋃_{n \in ℕ_{0}} (R \cup R^{- 1})^{n}

.

Dabei bezeichnet $R^{\leftrightarrow}$ die symmetrische Hülle,^[4] $R^{- 1}$ die konverse (inverse) Relation und Potenzen von Relationen werden vermöge Verkettung gebildet.

Spezielle Äquivalenzen

Gleichmächtigkeit von Mengen

Zwei beliebige Mengen $A$ und $B$ sind gleichmächtig genau dann, wenn es eine Bijektion $f : A ↠ ↣ B$ gibt. Durch die Festlegung

A \sim B : ⟺ A

und

B

sind gleichmächtig

ist eine Äquivalenz auf der Klasse aller Mengen gegeben.

Isomorphie von Strukturen

Strukturen $𝐀$ und $𝐁$ nennt man isomorph genau dann, wenn es eine strukturverträgliche Bijektion $φ : 𝐀 ↠ ↣ 𝐁$ gibt, für die auch $φ^{- 1}$ strukturverträglich ist. Die Isomorphie von Strukturen ist eine Äquivalenz

𝐀 ≅ 𝐁 : ⟺ 𝐀

und

𝐁

sind isomorph.

Kongruenzrelation

Vorlage:Hauptartikel Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $A$ hat nicht notwendigerweise etwas mit der Struktur zu tun, die darauf definiert ist. Von besonderem Interesse sind jedoch solche Äquivalenzrelationen $\equiv$ , deren Quotientenabbildung

q_{\equiv} : A \to A / \equiv, a \mapsto [a]_{\equiv},

mit der Struktur auf $A$ verträglich bzw. ein Homomorphismus ist, weil dann die von $q_{\equiv}$ erzeugte Struktur auf der Quotientenmenge $A / \equiv$ von der gleichen Art ist wie die von $A$ . Eine solche Äquivalenzrelation $\equiv$ nennt man eine Kongruenzrelation auf der strukturierten Menge $A$ .

Insbesondere sind dann auch alle zur Struktur gehörenden Funktionen mit $\equiv$ verträglich.

Verallgemeinerungen

Partielle Äquivalenzrelation

Eine zweistellige Relation $⌢$ auf einer Menge $A$ nennt man beschränkte oder partielle Äquivalenzrelation, wenn sie symmetrisch und transitiv ist.

Jede partielle Äquivalenzrelation $⌢$ auf einer Menge $A$ ist auf der Untermenge

D_{⌢} : = {a \in A ∣ a ⌢ a} \subseteq A

eine totale Äquivalenzrelation. Die durch die Äquivalenzklassen $[a]_{⌢}$ definierte Zerlegung von $D_{⌢}$ heißt auch partielle Zerlegung von $A$ .

Eine partielle Äquivalenzrelation $⌢$ kann auf verschiedene Weise zu einer (totalen) Äquivalenzrelation $\sim$ fortgesetzt werden:

Jedes $a \in A ∖ D_{⌢}$ bildet eine eigene Äquivalenzklasse ${a}$ : $a \sim b : ⟺ {\begin{matrix} a ⌢ b, & falls a, b \in D_{⌢}, \\ a = b, & sonst . \end{matrix}$
Alle $a \in A ∖ D_{⌢}$ bilden eine einzige Äquivalenzklasse $A ∖ D_{⌢}$ : $a \sim b : ⟺ {\begin{matrix} a ⌢ b, & falls a, b \in D_{⌢}, \\ a, b \in A ∖ D_{⌢}, & sonst . \end{matrix}$

Das Ergebnis ist jeweils eine totale Zerlegung von $A$ .

Jede partielle Funktion $f : A ⇀ B$ nach einer beliebigen anderen Menge $B$ erzeugt eine partielle Äquivalenzrelation

a_{1} ⌢ a_{2} : ⟺ \exists b \in B : f (a_{1}) = f (a_{2}) = b

für alle

a_{1}, a_{2} \in A

.

Umgekehrt liefert eine partielle Äquivalenzrelation auf $A$ stets eine surjektive partielle Quotientenabbildung

q_{⌢} : A ⇀ D_{⌢} / ⌢, a \mapsto [a]_{⌢}

für alle

a \in D_{⌢}

.

Quasiordnung

Vorlage:Hauptartikel Eine zweistellige Relation $≲$ auf einer Menge $A$ heißt Prä- oder Quasiordnung, wenn sie reflexiv und transitiv ist.

Eine Relation $≲$ auf $A$ ist genau dann eine Quasiordnung, wenn für alle $a, b \in A$ gilt:

a ≲ b ⟺ \forall c \in A : (c ≲ a ⟹ c ≲ b)

.

Durch jede Quasiordnung $≲$ auf $A$ ist eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf $A$ gegeben durch die Festlegung

a \sim b : ⟺ a ≲ b

und

b ≲ a

.

Zwei Elemente sind also äquivalent, wenn sie gegenseitig vergleichbar sind.

Toleranzrelation

Eine zweistellige reflexive und symmetrische Relation wird Verträglichkeits-^[5] oder Toleranzrelation^[6] genannt (im endlichen Fall auch Abhängigkeitsrelation). Da eine Toleranzrelation nicht transitiv sein muss, ist Toleranz eine schwächere Forderung als Äquivalenz. Sie spielt eine Rolle in der Biomathematik und der Modelltheorie, in der Fuzzylogik wird sie zudem noch weiter verallgemeinert.^[7]

Bezeichne $⌣$ eine Toleranzrelation auf der Menge (oder Klasse) $A$ . Eine Teilmenge (oder -klasse) $P \subseteq A$ heißt Verträglichkeits- oder Toleranzpräklasse, falls alle $a, b \in P$ miteinander tolerant sind:^[6]

a ⌣ b

.

Eine maximale Präklasse $K \subseteq A$ ,^[6] also wenn jedes $a \in A ∖ K$ mit mindestens einem $k \in K$ nicht tolerant ist, nennt man wiederum eine Verträglichkeits- bzw. Toleranzklasse.

Die Menge der Toleranzklassen^[8] einer Toleranzrelation auf der Menge $A$ ist eine Überdeckung von $A$ .

Weitere Äquivalenzbegriffe

Literatur

Weblinks

Vorlage:Commonscat Vorlage:Wikiversity Vorlage:Wikibooks

Aufgaben für Studierende

Quellennachweise

↑ Vorlage:Literatur
↑ Vorlage:OEIS
↑ Vorlage:Literatur
↑ Notation wie in Symmetric Closure, auf: ProofWiki vom 12. September 2016
↑ Man unterscheide den Begriff der mit Relationen verträglichen Abbildung: Homomorphismus als strukturverträgliche Abbildung.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 Vorlage:Literatur
↑ Vorlage:Literatur
↑ Diese lassen sich bei jeder symmetrischen Relation (= partielle Toleranzrelation) bilden.

Siehe auch

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Wikipedia2Wikiversity

Diese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt:

[1] Vorlage:Literatur

[2] Vorlage:OEIS

[3] Vorlage:Literatur

[4] Notation wie in Symmetric Closure, auf: ProofWiki vom 12. September 2016

[5] Man unterscheide den Begriff der mit Relationen verträglichen Abbildung: Homomorphismus als strukturverträgliche Abbildung.

[Ling726-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 Vorlage:Literatur

[7] Vorlage:Literatur

[8] Diese lassen sich bei jeder symmetrischen Relation (= partielle Toleranzrelation) bilden.

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