Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität

Einführung

Wenn wir die ${ℳ𝒫𝒞}^k$-Regularität eines Elementes $z\in A$ für eine multiplikativ pseudokonvexe topologische Algebra $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ sprechen, suchen wir nach einer multiplikativ pseudokonvexen Algebraerweiterungen $(B,\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}})$ von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ in der $z\in A$ invertierbar ist. Dabei besteht

• $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}:=\{\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }:\alpha \in 𝒜\}$ und
• $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}:=\{\Vert \cdot {\Vert }_{\tilde{\alpha }}:\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}\}$

aus einem System von submultiplikativen p-Halbnormen, die die Topologie auf $A$ bzw. $B$ erzeugen.

Geschichte

Der Beweis der Charakterisierung $ℳℒ𝒞$-Regularität in kommutativen lokalkonvexen Algebren basiert vollständig auf der Beweisidee von Zelazko von 1971 permanent sigulären Elemente von kommutativen $ℳℒ𝒞$-Algebren zu charakterisieren. Die Beweisidee unter Verwendung $p$-Normen ist zwar eine Verallgemeinerung des Begriffs einer submultiplikativen Norm, allerdings verändert sich dabei das Vorgehen für die Charakterisierung bei einem Übergang zu Quotientenalgebren im Vergleich zu multiplikativ pseudokonvexen Räumen nicht und man kann den Beweis von Zelazko aus dem Jahr 1971 auch analog auf ${ℳ𝒫𝒞}^k$-Regularität übertragen.

MLC-Regularität als Spezialfall der MPC-Regularität

Der Nachweis der Charakterisierung der ${ℳℒ𝒞}^k$-Regularität ist ein Spezialfall der ${ℳ𝒫𝒞}^k$-Regularität für multplikative pseudokonvexe Räume, wobei die $p$-Normen mit $p=1$ homogen sind und damit die Eigenschaften einer Halbnorm erfüllen. Der hier vorgestellt Beweis erzeugt die Algebraerweiterung direkt ohne direkte Verwendung der Charakterisierung der ${ℬ}^k$-Regularität für Quotientenräume $A_{\beta }$ (siehe MLC-Regularität).

Zielsetzung

Zielsetzung einer multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung $(B,\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}})$ zu einer gegebenen topologischen Algebra $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit $z\in A$ ist es, die gegebene multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element $z^{-1}:=b\in B$ in der multiplikativ lokalkonvexen Algebraerweiterung $B$ besitzt. Als topologieerzeugende $p$-Gaugefunktionale werden hier Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ und $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ verwendet.

Charakterisierung der MPC-Regularität

Für kommutative multiplikativ pseudokonvexe Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit unital positivem System von submultiplikativen $p$-Halbnormen erhält man folgende Charakterisierung:

• $z\in A$ $ℳℒC_{ℯ}^{𝓀}$-singulär $⟺$ $z\in ℳ𝒯𝒩𝒯(A)$ (multiplikativer topologischer Nullteiler)
• $z\in A$ $ℳℒC_{ℯ}^{𝓀}$-regulär $⟺$ für alle $\alpha \in 𝒜$ und ein $D_{\alpha }>0$ mit $\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le D_{\alpha }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\alpha }$ für alle $x\in A$

Dabei sind $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ submultiplikative $p$-Halbnormen.

Quotientenalgebren

Die entscheidende Idee von Zelazko (1971) für den Beweis war die Algebraerweiterung von $A$ in eine Produktraum von Quotientenalgebren $\prod _{\alpha \in 𝒜}A/N_{\alpha }$, wobei ein Ideal $N_{\alpha }\subset A$ über submultiplikativen Halbnormen erzeugt wird. Diese Grundidee ist identisch für eine submultiplikatives $p$-Halbnormensystem für die Charakterisierung der ${ℳ𝒫𝒞}^k$-Regularität.

Algebraerweiterung von MPC-Quotientenalgebren

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen $p$-Halbnormen bzw. Quasihalbnormen.

Submultiplikativität

Dabei ist die Submultiplikativität der $p$-Halbnorm wesentlich für die Idealeigenschaft, denn mit

$\begin{array}{ccc}{N}_{\alpha }& :=& \{u\in A:\Vert u{\Vert }_{\alpha }=0\}\\ & \Rightarrow & {\mathrm{\forall }}_{u\in N_{\alpha },x\in A}:\Vert u\cdot x{\Vert }_{\alpha }\le \underset{=0}{\underbrace{\Vert u{\Vert }_{\alpha }}}\cdot \Vert x{\Vert }_{\alpha }=0\\ & \Rightarrow & u\cdot x\in N_{\alpha }\end{array}$

Analog erhält man $x\cdot u\in N_{\alpha }$ über die Submultiplikativität.

Dreiecksungleichung

Ebenfalls ist die Dreiecksungleichung der $p$-Halbnorm wesentlich für die Idealeigenschaft, denn mit

$\begin{array}{ccc}{u}_1,u_2\in N_{\alpha }& \Rightarrow & \Vert u_1+u_2{\Vert }_{\alpha }\le \underset{=0}{\underbrace{\Vert u_1{\Vert }_{\alpha }}}+\underset{=0}{\underbrace{\Vert u_2{\Vert }_{\alpha }}}=0\\ & \Rightarrow & u_1+u_2\in N_{\alpha }\end{array}$

p-Homogenität

Anolog liefert die $p$-Homogenität der $p$-Halbnorm die letzte noch fehlendeIdealeigenschaft, denn mit

$\begin{array}{ccc}\lambda \in 𝕂,u\in N_{\alpha }& \Rightarrow & \Vert \lambda \cdot u{\Vert }_{\alpha }=\Vert \lambda {\Vert }^p\cdot \underset{=0}{\underbrace{\Vert u{\Vert }_{\alpha }}}=0\\ & \Rightarrow & \lambda \cdot u\in N_{\alpha }\end{array}$

Quotientalgebra

Mit dem Ideal $N_{\alpha }$ definiert man die Quotientenalgebra $A_{\alpha }:=A/N_{\alpha }$ mit der submultiplikativen $p$-Norm:

$\Vert |[x{]}_{\alpha }|{\Vert }_{\alpha }:=\Vert |x+N_{\alpha }|{\Vert }_{\alpha }:=\underset{u\in N_{\alpha }}{\inf }\Vert x+u{\Vert }_{\alpha }$

Aufgabe für Studierende

• Zeigen Sie, dass $\Vert |[x{]}_{\alpha }|{\Vert }_{\alpha }=\Vert x{\Vert }_{\alpha }$ für alle $\alpha \in 𝒜$ gilt!
• Zeigen Sie, dass das $\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha }$ eine $p$-Norm auf $A_{\alpha }:=A/N_{\alpha }$ ist, indem Sie die 3 Eigenschaften einer $p$-Norm entweder direkt nachweisen oder die Eigenschaft aus ersten Teilaufgabe verwenden.

Charakterisierung der MPC-Singularität

Für kommutative multiplikativ pseudokonvexe Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit einem unital positiven Halbnormensystem erhält man folgende Charakterisierung:

• $z\in A$ permanent singulär $⟺$ es gibt ein $\alpha \in 𝒜$ mit $[z{]}_{\alpha }\in 𝒯𝒩𝒯(A_{\alpha })$ also $[z{]}_{\alpha }$ zumindest in einer Quotientenalgebra $A_{\alpha }$ ein topologischer Nullteiler ist.
• $z\in A$ permanent singulär $⟺{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜}:\underset{\Vert x{\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }\Vert z\cdot x{\Vert }_{\alpha }=0$

Charakterisierung der MPC-Regularität

Für kommutative multiplikativ pseudokonvexe Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit einem unital positiven Halbnormensystem erhält man folgende Charakterisierung:

• Ein Element $z\in A$ ist ${ℳ𝒫𝒞}^k$-regulär, wenn für alle $\alpha \in 𝒜$ die Äquivalenzklasse $[z{]}_{\alpha }$ kein topologischer Nullteiler ist.
• $z\in A$ ${ℳ𝒫𝒞}^k$-regulär $⟺{\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{D_{\alpha }>0}:\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le D_{\alpha }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\alpha }$

Submultiplikative p-Halbnorm bzw. Quasihalbnorm

Bei den oben genannten Charakterisierungen ist $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ eine submultiplikative $p$-Norm bzw. eine submulitplikative Quasinorm.

Veranschaulichung

Algebraerweiterung $B$ von $A$ ist hier eine mulitplikative lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element $b=z^{-1}\in B$ zu einem gegebenen $z\in A$ enthält.

Multiplikative pseudokonvexe Algebraerweiterung

Sei ${ℳ𝒫𝒞}_e$ die Klasse der multiplikativ pseudokonvex unitalen Algebren und $A\in {ℳ𝒫𝒞}_e$. Die Algebraerweiterung $B\in {ℳℒ𝒞}_e$ bzw. $ℳ𝒫𝒞$-Erweiterung von $A$ benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus $\tau :A⟶A^{\prime }\subset B$ mit:

• $\tau (e_{{}_A})=e_{{}_B}$, wobei $e_{{}_A}$ ist das Einselement von $A$ und $e_{{}_B}\in A^{\prime }$ das Einselement von $B$ ist.
• $A$ ist homöomorph zu $A^{\prime }$; d.h. $\tau$ und ${\tau }^{-1}:A^{\prime }⟶A$ sind stetig.

Veranschaulichung der Einbettung in die Algebraerweiterung

Die Abbildung zeigt, wie die Algebra $A$ in die Algebraerweiterung über $\tau :A⟶A^{\prime }\subset B$ eingebettet wird.

Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung

• Im allgemeinen identifiziert man $A$ mit $A^{\prime }$ und schreibt $A\subset B$. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus $x\in A$ mit Elementen $\tau (x)=x+I\in B$ in einem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ identifiziert werden.
• Sei ${𝔘}_{A^{\prime }}(0)$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von $B$ auf $A^{\prime }$ und ${𝔘}_A(0)$ eine Nullumgebungsbasis von $A$, dann kann man die Homöomorphie zwischen $A$ und $A^{\prime }$ wie immer über die Topologie ausdrücken:

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{V\in {𝔘}_A(0)}{\mathrm{\exists }}_{U\in {𝔘}_{A^{\prime }}(0)}& :& U\subset V(\tau (U)\subset V)\\ {\mathrm{\forall }}_{U\in {𝔘}_{A^{\prime }}(0)}{\mathrm{\exists }}_{V\in {𝔘}_A(0)}& :& V\subset U({\tau }^{-1}(V)\subset U).\end{array}$

Stetigkeit über p-Halbnormen

Betrachtet man die Halbnormen ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜},C_1>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert x\Vert }_{\alpha }\le C_1\cdot {\Vert \tau (x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ \text{ bzw. }& & {\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\le C_1\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}\circ \tau \\ {\mathrm{\forall }}_{\tilde{\alpha }\in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜,C_2>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert \tau (x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le C_2\cdot {\Vert x\Vert }_{\alpha }\\ \text{ bzw. }& & {\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}\circ \tau \le C_2\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }.\end{array}$

Analogie zu Vorgehen bei der Charakterisierung P-regulärer Elemente

Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ und nutzen das Vorgehen bei der Charakterisierung $𝒫$-Regularität für die $ℳ𝒫𝒞$-Erweiterung von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$. Für $p=1$ erhalten wir damit auch die Charakterisierung der $ℳℒ𝒞$-Regularität.

Algebraerweiterung

Der Algebrahomomorphismus $\tau :A\to B$ bildet nun jedes Element $x\in A$ auf die Nebenklasse $x+I\in B:=A[t]/I$ ab. Dabei seien $A,B\in {ℳ𝒫𝒞}_e^k(𝕂)$ kommutative unitale $ℳ𝒫𝒞$-Algebren über dem Körper $𝕂$.

Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra

Für das gegebene $z\in A$ in der kommutativen normierten topologische Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_A)$ definiert man ein Polynom $o\in A[t]$ mit $o(t):=z\cdot t-e_A$, wobei $e_A$ das Einselement der Multiplikation in $A$ ist. Als Ideal definiert man $I:=\overline{o\cdot A[t]}$ als abgeschlossenes Hauptideal in $A[t]$. Als Untervektorraum $I$ wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des Ideals sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist.

Topologisierung der Polynomalgebra

Die Topologie auf $A[t]$ wird über die folgende submultiplikative $p$-Halbnormen mit $\alpha \in 𝒜$ erzeugt:

$\begin{array}{ccc}\Vert |p|{\Vert }_{\alpha }& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\alpha }^k\cdot \Vert p_k{\Vert }_{\alpha }\text{ mit}\\ \\ p(t)& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k\end{array}$

Aufgabe für Lernende

Betrachten Sie eine kommutative Algebra $A\in {ℳ𝒫𝒞}_e^k(𝕂)$ über dem Körper $𝕂$.

• Zeigen Sie, dass mit der Abbildung $\tau :A\to B$ und $\tau (x)=x_{{}_I}=x+I$ eine Algebraerweiterung von $A$ nach $B$ definiert wurde!
• Zeigen Sie, dass mit der Abbildung ${\tau }_{{}_{A[t]}}:A\to A[t]$ und ${\tau }_{{}_{A[t]}}(x)=p_x$ mit $p_x(t):=x\cdot t^0$ eine Algebraerweiterung von $A$ nach $A[t]$ definiert wurde!
• Begründen Sie, dass das algebraische Vorgehen zu für die Invertierbarkeit mit $e_{{}_B}:=e_{{}_A}+I$ als neutrales Element der Multiplikation in $B$ sich nicht vom dem Vorgehen in bei der $𝒫$-Regularität bzw. $𝒫$-Regularität von kommuntativen Algebren unterscheidet.
• Zeigen Sie, dass $A[t]$ und auch $B:=A[t]/I$ Hausdorffräume sind!

Topologisierung der Algebraerweiterung

Die Algebraerweiterung wird mit submultiplikative Quotientenhalbnorm mit $\alpha \le \beta$ versehen, die wie folgt definiert ist:

$\Vert q_{{}_I}{\Vert }_{\beta }:=\Vert q+I{\Vert }_{\beta }:=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |q+r|{\Vert }_{\beta }$

Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit $q_I\in B$, wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:

$q_{{}_I}:=q+I:=\{q+r:r\in I\}$

Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.

Stetigkeit Algebrahomomorphismus

Sei $x\in A$ beliebig gewählt, dann gilt mit der Norm $\Vert \cdot {\Vert }_B$ auf dem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ die folgende Abschätzung

$\begin{array}{ccc}\Vert \tau (x){\Vert }_{\beta }& =& \Vert x_I{\Vert }_{\beta }=\Vert x+I{\Vert }_{\beta }:=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |x+r|{\Vert }_{\beta }\\ & \le & \Vert |x+0_{A[t]}|{\Vert }_{\beta }=D_{\beta }^0\cdot \Vert x{\Vert }_{\beta }=\Vert x{\Vert }_{\beta }\end{array}$

Damit ist $\tau$ stetig (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Struktur der Polynome aus dem Ideal

Betrachten nun das Bild $\tau (A)\subset B$ von $\tau$ in $B$. Sei nun $A^{\prime }=\tau (A)=\{x_I:x_I=x+I=\tau (x)\}$ gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges $q\in A[t]$ mit $r=o\cdot q\in I$ mit $o(t)=z\cdot t-e_A$. Dabei gilt:

$\begin{array}{ccc}r(t)& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{r}_k\cdot t^k=o(t)\cdot q(t)\\ & =& -q_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(z\cdot q_{k-1}-q_k)\cdot t^k\end{array}$

Halbnormabschätzung

Bei der Verwendung der Abschätzung $\Vert x{\Vert }_{\beta }\le D_{\beta }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }$ kann man $\beta \in 𝒜$ so wählen, dass $\beta \ge \alpha$ gilt. Ist das nicht der Fall ersetzt man $\Vert \cdot {\Vert }_{\beta }$ durch eine andere multiplikative Halbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\gamma }$ mit:

$\Vert x{\Vert }_{\gamma }:=\max \{\Vert x{\Vert }_{\alpha },\Vert x{\Vert }_{\beta }\}$

und es gilt:

$\Vert x{\Vert }_{\gamma }\le D_{\gamma }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\gamma }\text{ und }\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le \Vert x{\Vert }_{\gamma }.$

Mit diesem Vorgehen kann man u.a. unital positive Halbnormensysteme auf $A$ generieren in den sowohl $\Vert e_A{\Vert }_{\gamma }>0$ und damit auch $\Vert z{\Vert }_{\gamma }>0$ erfüllt ist.

Halbnormindexabbildung

Man kann also mit dieser Halbnormabschätzung $\alpha \in 𝒜$ ein $\mathrm{\Gamma }(\alpha ):=\gamma \in 𝒜$ zuordnen, dass die folgende Bedingung erfüllt:

$\Vert x{\Vert }_{\gamma }\le D_{\gamma }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\gamma }\text{ und }\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le \Vert x{\Vert }_{\gamma }.$

Damit definiert man einer Abbildung $\mathrm{\Gamma }:𝒜\to 𝒜$ eine Abbildung, die im Folgenden für die Definition eines submultiplikativen Halbnormensystems auf $A[t]$ verwendet wird mit

$\widetilde{𝒜}:=\mathrm{\Gamma }(𝒜):=\{\mathrm{\Gamma }(\alpha ):\alpha \in 𝒜\}$.

Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung

Unter Verwendung der Abschätzung $\Vert x{\Vert }_{\beta }\le D_{\beta }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }$ erhält man mit $\beta \ge \alpha$

$\begin{array}{ccc}\Vert |x+r|{\Vert }_{\beta }& =& D_{\beta }^0\cdot \Vert x-q_0{\Vert }_{\beta }+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\beta }^k\cdot \Vert z\cdot q_{k-1}-q_k{\Vert }_{\beta }\\ \\ & \ge & D_{\beta }^0\cdot \Vert x-q_0{\Vert }_{\beta }+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\beta }^k\cdot (\Vert z\cdot q_{k-1}{\Vert }_{\beta }-\Vert q_k{\Vert }_{\beta })\\ \\ & \ge & D_{\beta }^0\cdot \Vert x-q_0{\Vert }_{\beta }+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\beta }^k\cdot \Vert z\cdot q_{k-1}{\Vert }_{\beta }-D_{\beta }^k\cdot \Vert q_k{\Vert }_{\beta }\\ & \ge & \Vert x-q_0{\Vert }_{\beta }+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\beta }^{k-1}\cdot \Vert q_{k-1}{\Vert }_{\beta }-D_{\beta }^k\cdot \Vert q_k{\Vert }_{\beta }\\ & \ge & \Vert x-q_0{\Vert }_{\beta }+\Vert q_0{\Vert }_{\beta }\ge \Vert x{\Vert }_{\beta }\ge \Vert x{\Vert }_{\alpha }\end{array}$

Teleskopierende Summen

Bei teleskopierenden Summen werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme

$D_{\beta }^{k-1}\cdot \Vert q_{k-1}{\Vert }_{\beta }-D_{\beta }^k\cdot \Vert q_k{\Vert }_{\beta }$

eine Telekopsumme.

Infimumbildung

Durch Infimumbildung über alle Polynome $r\in I$ bleibt die obige Ungleichung erhalten und man erhält die Stetigkeit von ${\tau }^{-1}$. $\Vert x+I{\Vert }_{\beta }=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |x+r|{\Vert }_{\beta }\ge \Vert x{\Vert }_{\alpha }=\Vert {\tau }^{-1}(x+I){\Vert }_{\alpha }$

Umgekehrte Abschätzung

Für die Stetigkeit der Abbildung ${\tau }^{-1}$ gibt es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in \widetilde{𝒜}\subseteq 𝒜$ und setzt das Nullpolynom $0_{A[t]}\in I$ ein:

$\Vert x+I{\Vert }_{\beta }:=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |x+r|{\Vert }_{\beta }\le \Vert |x+0_{A[t]}|{\Vert }_{\beta }=D_{\beta }^0\cdot \Vert x{\Vert }_{\beta }\ge \Vert x{\Vert }_{\alpha }$

Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von $A$ in $A^{\prime }\subset B:=A[t]/I$ eine Hömöomorphismus mit ${\tau }^{-1}(x+I)=x$ bzw. $\tau (x)=x+I$.

Stetigkeit - Homöomorphismus

Betrachtet man die submultiplikativen Halbnormen ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}}^{(\tau )}$ und ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ auf $A$ für Nullumgebungen, so kann man nun die Konstanten analog zum Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen wie folgt mit $\widetilde{𝒜}:=\mathrm{\Gamma }(𝒜)$ angeben:

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in \widetilde{𝒜}}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert \tau (x)\Vert }_{\beta }={\Vert x\Vert }_{\beta }^{(\tau )}\text{ mit }\beta :=\mathrm{\Gamma }(\alpha )\\ {\mathrm{\forall }}_{\beta \in \widetilde{𝒜}}{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert x\Vert }_{\beta }^{(\tau )}\le {\Vert x\Vert }_{\beta }\text{ mit }\alpha :=\beta \end{array}$

Aufgabe - Algebraisomorphismus und Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen

In den obigen beiden Abschätzungen wird die Stetigkeit von lineare Abbildung bzw. von Algebrahomomorphismen verwendet, um die Stetigkeit von $\tau$ und ${\tau }^{-1}$ über Gaugefunktionale auszudrücken. Wir betrachten nun zwei Gaugefunktionalsysteme $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ auf $A$ und $\Vert |\cdot |{\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ auf $A[t]$ und definieren eine weiteres Halbnormensystem $\Vert |\cdot |{\Vert }_{\widetilde{𝒜}}^{({\tau }_3)}$ auf $A$ mit

$\Vert |\cdot |{\Vert }_{\tilde{\alpha }}^{({\tau }_3)}:=\Vert |\cdot |{\Vert }_{\tilde{\alpha }}\circ {\tau }_3\text{ bzw. }\Vert |x|{\Vert }_{\tilde{\alpha }}^{({\tau }_3)}:=\Vert |{\tau }_3(x)|{\Vert }_{\tilde{\alpha }}$

Dabei wird ${\tau }_3(x)=p\in A[t]$ mit $p(t)=x\cdot t^0$. Zeigen Sie, dass Gaugefunktionalsysteme $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ und $\Vert |\cdot |{\Vert }_{\widetilde{𝒜}}^{({\tau }_3)}$ auf $A$ äquivalente Halbnormensysteme sind (siehe Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)).

Pseudokonvexe Polynomalgebra

Wir betrachten nun zu einer gegebenen (multiplikativ pseudokonvexen) $ℳ𝒫𝒞$-Algebra $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in ℬ(𝕂)$ die Menge der Polynome mit Koeffizienten in $A$.

$$p(t)=\sum _{k=0}^n{p}_k\cdot t^k\text{ mit }{p}_k\in A\text{ für }k\in \{0,1,...,n\}$$

und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra $A$

$$p(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k\text{ mit }{p}_k\in A\text{ für }k\in {\mathbb{N}}_o$$

Grad von Polynomen

Auch bei den unächst einmal würde man Polynome formal eher in der obigen Form mit $n\in {\mathbb{N}}_o$ notieren und mit $p_n=0_A$ würde $n$ den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen $p,q\in A[t]$ ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen $p,q\in A[t]$ die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

Schreibweise für die Polynomalgebra

Daher werden wie bei der P-Regularität die Polynome wie folgt über "endliche" Folgen $c_{oo}(A)$ definiert, die ab einer Indexschranke $n\in {\mathbb{N}}_o$ nur noch aus dem Nullvektor $0_A$ in $A$ besteht.

$$p(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k\text{ mit }(p_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}\in c_{oo}(A)$$

Topologisierung der Polynomalgebra

Die $p\in A[t]$ wird nun mit einer Folge $(D_{\beta }^k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ bzgl. einer positiven Konstanten in $D_{\beta }\in {ℝ}^{+}$ und einer submultiplikativen Halbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\beta }$ topologisiert.

$\Vert |p|{\Vert }_{\beta }:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\beta }^k\cdot \Vert p_k{\Vert }_{\beta }\text{ mit }(p_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}\in c_{oo}(A)$

Cauchy-Produkt - Stetigkeit

Betrachtet man zwei Polynome $p,q\in A[t]$ in dem normierten Raum $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_D)$.

$$p(t):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k\text{ und }q(t):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_k\cdot t^k$$

Dann liefert die Definition über $D_{\beta }>0$ die folgende Halbnorm für das Produkt $p\cdot q$:

$$\Vert |p\cdot q|{\Vert }_{\beta }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\beta }^n\cdot {\Vert \sum _{k=0}^n{p}_k\cdot q_{n-k}\Vert }_{\beta }$$

Aufgabe für die Lernende

Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung $\Vert |\cdot |{\Vert }_D:\to {ℝ}^{+}$ eine Norm ist und für alle $p,q\in A[t]$ gilt

$\Vert |p\cdot q|{\Vert }_{\beta }\le \Vert |p|{\Vert }_{\beta }\cdot \Vert |q|{\Vert }_{\beta }$

Begründen Sie ferner, dass die Multiplikation auf $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_{\widetilde{𝒜}})$ stetig ist, wobei man mit der Abbildung $\mathrm{\Gamma }:𝒜\to 𝒜$ jedem $\alpha \in 𝒜$ ein $\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\beta \in 𝒜$ zuordnet, mit $\widetilde{𝒜}:=\{\beta \in 𝒜:{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜}:\beta =\mathrm{\Gamma }(\alpha )\}$ und die Bedingung erfüllt ist, dass:

$\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le \Vert x{\Vert }_{\beta },\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le D_{\beta }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }\text{ und }\beta =\mathrm{\Gamma }(\alpha )$

Topologisierung der Algebraerweiterung

Die Algebraerweiterung wird mit einer Quotientennorm versehen, die wie folgt definiert ist:

$\Vert q_{{}_I}{\Vert }_{\beta }:=\Vert q+I{\Vert }_{\beta }:=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |q+r|{\Vert }_{\beta }$

Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit $q_I\in B$, wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:

$q_{{}_I}:=q+I:=\{q+r:r\in I\}$

Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.

Hausdorff-Eigenschaft

Zeigen Sie, dass die Polynomalgebra $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_{\widetilde{𝒜}})$ und $(B,\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}})$ Hausdorffräume sind!

Siehe auch

• Algebraerweiterung
• Konstruktion des Algebraisomorphismus
• Gaugefunktional
• p-Halbnorm
• Korrespondenzsatz p-Halbnormen
• Normen, Metriken, Topologie
• Minkowski-Funktional
• B-Regularität
• MLC-Regularität
• P-Regularität
• P-Regularität über p-Normen
• PC-Regularität
• Topologisierungslemma für Algebren
• Relativtopologie
• Neutrales Element

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