Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität

Einführung

Wenn wir die $𝒫𝒞$-Regularität eines Elementes $z\in A$ für eine pseudokonvexe topologische Algebra $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ sprechen, suchen wir nach einer pseudokonvexen Algebraerweiterungen $(B,\Vert \cdot {\Vert }_{ℬ})$ von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ in der $z\in A$ invertierbar ist. Dabei besteht

• $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}:=\{\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }:\alpha \in 𝒜\}$ und
• $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}:=\{\Vert \cdot {\Vert }_{\tilde{\alpha }}:\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}\}$

Systeme von $p$-Halbnormen mit $p\in (0,1]$ sind, die die Topologie auf $A$ bzw. $B$ erzeugen.

Zielsetzung

Zielsetzung einer pseudokonvexe Algebraerweiterung $(B,\Vert \cdot {\Vert }_{ℬ})$ zu einer gegebenen topologischen Algebra $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit $z\in A$ ist es, die gegebene pseudokonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element $z^{-1}:=b\in B$ in der pseudokonvexen Algebraerweiterung $B$ besitzt. Als topologieerzeugende $p$-Gaugefunktionale werden hier $p$-Halbnormen $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ und $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ verwendet. Dieses Ziel ist eine kleine Erweiterung einer äquivalenten Charakterisierung von Zelazko (1984) für lokalkonvexe Räume.

Topologisch kleine Potenzen und PC-Singularität

Für kommutative pseudokonvexe Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit unital positivem $p$-Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ erhält man folgende Charakterisierung:

$z\in 𝒯𝒦𝒫(A)$ (topologisch kleine Potenzen) $⟹$ $z\in A$ $𝒫C_{ℯ}^{𝓀}$-singulär

Charakterisierung der PC-Regularität

Für kommutative pseudokonvexe Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit unital positivem $p$-Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ erhält man folgende Charakterisierung:

$z\in A$ erfüllt das PC-Regularitätskriterium $⟺$ $z\in A$ $𝒫C_{ℯ}^{𝓀}$-regulär

PC-Regularitätskriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau ${𝒫𝒞}_e^k$-regulär in $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒫𝒞}_e^k$, wenn es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und eine isotone Folge von Quasihalbnormen ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit der Stetigkeitskonstante der Addition $K_{\alpha }\ge 1$ und positive Konstanten $D_{(\alpha ,k)}$ gibt, für die gilt:

• (PC1) ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_{(\alpha ,k)}\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$ und
• (PC2) ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Bemerkung

Die Stetigkeitskonstante der Addition $K_{\alpha }\ge 1$ kann dabei für alle Quasihalbnormen ${\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}$ mit $k\in {\mathbb{N}}_0$ gewählt werden.

Stetigkeitskonstante der Addition

Die Stetigkeitskonstante der Addition $K_{\alpha }$ gilt für alle Quasihalbnormen ${\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}$ mit $k\in {\mathbb{N}}_o$. Die untere Schranke $K_{(\alpha ,k)}\le K_{\alpha }$ der Stetigkeitskonstanten für die einzelnen Quasihalbnormen ${\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}$ können dabei durchaus unterschiedlich sein. Man verlangt hier lediglich, dass einzelnen Stetigkeitskonstanten $K_{(\alpha ,k)}$ für die Sequenz nach oben durch $K_{\alpha }$ beschränkt sind.

p-Homogenität der p-Normen

Überträgt man die Argumentation der Stetigkeitskonstanten der Addition $K_{\alpha }$ auf ein Regularitätskriterium, dass über $p$-Halbnormen definiert ist, so ergibt sich daraus, dass die $p$-Homogenitätsexponenten $p_{(\alpha ,k)}$ von ${\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}$ eine untere Schranke $p_{\alpha }\le p_{(\alpha ,k)}$ besitzen, wobei gilt:

${\Vert \lambda \cdot x\Vert }_{(\alpha ,k)}=|\lambda {|}^{p_{(\alpha ,k)}}\cdot {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}$

Veranschaulichung

Algebraerweiterung $B$ von $A$ ist hier eine lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element $b=z^{-1}\in B$ zu einem gegebenen $z\in A$ enthält.

Pseudokonvexe Algebraerweiterung

Sei ${𝒫𝒞}_e$ die Klasse der pseudokonvex unitalen Algebren und $A\in {𝒫𝒞}_e$. Die Algebraerweiterung $B\in {𝒫𝒞}_e$ bzw. $𝒫𝒞$-Erweiterung von $A$ benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus $\tau :A⟶A^{\prime }\subset B$ mit:

• $\tau (e_{{}_A})=e_{{}_B}$, wobei $e_{{}_A}$ ist das Einselement von $A$ und $e_{{}_B}\in A^{\prime }$ das Einselement von $B$ ist.
• $A$ ist homöomorph zu $A^{\prime }$; d.h. $\tau$ und ${\tau }^{-1}:A^{\prime }⟶A$ sind stetig.

Veranschaulichung - Algebraisomorphismus

Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung

• Im allgemeinen identifiziert man $A$ mit $A^{\prime }$ und schreibt $A\subset B$. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus $x\in A$ mit Elementen $\tau (x)=x+I\in B$ in einem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ identifiziert werden.
• Sei ${𝔘}_{A^{\prime }}(0)$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von $B$ auf $A^{\prime }$ und ${𝔘}_A(0)$ eine Nullumgebungsbasis von $A$, dann kann man die Homöomorphie zwischen $A$ und $A^{\prime }$ wie immer über die Topologie ausdrücken:

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{V\in {𝔘}_A(0)}{\mathrm{\exists }}_{U\in {𝔘}_{A^{\prime }}(0)}& :& U\subset V(\tau (U)\subset V)\\ {\mathrm{\forall }}_{U\in {𝔘}_{A^{\prime }}(0)}{\mathrm{\exists }}_{V\in {𝔘}_A(0)}& :& V\subset U({\tau }^{-1}(V)\subset U).\end{array}$

Stetigkeit über p-Halbnormen

Betrachtet man die p-Halbnormen ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜},C_1>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert x\Vert }_{\alpha }\le C_1\cdot {\Vert \tau (x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ \text{ bzw. }& & {\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\le C_1\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}\circ \tau \\ {\mathrm{\forall }}_{\tilde{\alpha }\in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜,C_2>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert \tau (x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le C_2\cdot {\Vert x\Vert }_{\alpha }\\ \text{ bzw. }& & {\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}\circ \tau \le C_2\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }.\end{array}$

Wesentliche Schritte bei der Konstruktion der Algebraerweiterung

Wir betrachten zunächst kommutative Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_A)$.

• Quasihalbnormensystem auf $A[t]$ definieren,
• Hauptideal $I$ definieren,
• Algebraerweiterung als Quotientenraum $B:=A[t]/I$ definieren.
• Algebraische und topologische Eigenschafte auf $B$ nachweisen.

Quasihalbnormensystem

• Ausgehend von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_A)$ wird die Polynomalgebra $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_{A[t]})$ mit einer Quasihalbnorm $\Vert |\cdot |{\Vert }_{A[t]}$ topologisiert.
• Quasihalbnorm $\Vert |\cdot |{\Vert }_{A[t]}$ macht $A[t]$ zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der algebraischen Operationen (insbesondere die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation) nachzuweisen ist.

Hauptideal und Quotientenraum

Übergang zu dem Quotientenraum $B:=A[t]/I$, wobei das Polynom $o(t):=z\cdot t-e_A$ das Hauptideal $I:=o\cdot A[t]$ definiert und $o\in A[t]$ ein Repräsentant des Nullvektors $0_B:=I=o+I$ in $B$ ist.

• Die Konstruktion des Ideals $I$ liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit $b(t):=e_A\cdot t$ ist $b_I:=b+I\in B=A[t]/I$ das inverse Element zu $z\in A$ mit $z_I:=\tau (z)=z+I\in B$ mit $z_I\cdot b_I-e_B=0_B$ bzw. $z_I\cdot b_I=e_B$. Die Kommutativität liefert dann, dass auch $b_I\cdot z_I=e_B$ gilt.

Algebraerweiterung

Der Algebrahomomorphismus $\tau :A\to B$ bildet nun jedes Element $x\in A$ auf die Nebenklasse $x+I\in B:=A[t]/I$ ab. Dabei seien $A,B\in {𝒫𝒞}_e^k(𝕂)$ kommutative unitale $𝒫𝒞$-Algebren über dem Körper $𝕂$.

Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra

Für das gegebene $z\in A$ in der kommutativen pseudokonvexen topologische Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_A)$ definiert man ein Polynom $o\in A[t]$ mit $o(t):=z\cdot t-e_A$, wobei $e_A$ das Einselement der Multiplikation in $A$ ist. Als Ideal definiert man $I:=\overline{o\cdot A[t]}$ als abgeschlossenes Hauptideal in $A[t]$. Als Untervektorraum $I$ wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des Ideals sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist.

Topologisierung der Polynomalgebra

Mit dem Korrespondenzsatz für p-Halbnormen und Quasihalbnormen wird die Topologie auf $A[t]$ über Stetigkeitssequenzen und Quasihalbnormen mit $\alpha \in 𝒜$ erzeugt. Im Folgenden sind alle Gaugefunktionale homogen.

Topologische große Potenzen

Aus der Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen erhält man für $z\in 𝒯𝒢𝒫(A)=A\setminus 𝒯𝒦𝒫(A)$, dass es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und Konstanten $D_k(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt:

${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }$

(siehe topologisch große Potenzen)

Notation der Konstanten

Im Folgenden werden die Konstanten $D_k^n(\alpha )>0$ wie folgt bzgl. der Stetigkeitssequenzen auf der Polynomalgebra $A[t]$ indiziert.

• $n\in {\mathbb{N}}_0$ ist der Index der Quasihalbnorm bzw. des $𝒯𝒢𝒫$-Gaugefunktionals auf $A[t]$,
• $k\in {\mathbb{N}}_0$ ist der Koeffizientenindex der Polynome und bzgl. des $𝒯𝒢𝒫$-Gaugefunktionals auf $A[t]$ der Index des Gaugefunktionals, das auf den $k$-ten Koeffizienten $q_k\in A$ des Polynoms $q\in A[t]$ angewendet wird.

PC-Regularitätskriterium für n=0

Mit dem PC-Regularitätskriterium erhält man: Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒦}_e^k$, $z\in A$, dann ist $z\in A$ genau dann, wenn es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und eine Folge von Quasihalbnormen ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit der Stetigkeitskonstante der Addition $K_{\alpha }\ge 1$, positiven Konstanten $D_k^0(\alpha )$ gibt, für die gilt:

• ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}\le D_k^0(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$ und
• ${\Vert x\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}\le {\Vert zx\Vert }_{(0,k+1)}^{(\alpha )}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Quasihalbnormen - Korrespondenzsatz

Das erzeugende System von Gaugefunktionalen ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\right)}_{\alpha \in 𝒜}$ sind Quasihalbnormen und damit homogen und subadditiv mit Stetigkeitskonstante $K_{\alpha }\ge 1$ und $D_k^0(\alpha )\ge 1$:

• ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}\le D_k^0(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$ und
• ${\Vert x\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}\le {\Vert zx\Vert }_{(0,k+1)}^{(\alpha )}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.
• ${\Vert x+y\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}\le K_{(\alpha ,0)}\cdot ({\Vert x\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}+{\Vert y\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )})$ bzw.
• ${\Vert x+y\Vert }_{\beta }\le K_{\beta }\cdot ({\Vert x\Vert }_{\beta }+{\Vert y\Vert }_{\beta })$ mit $K_{(\alpha ,0)},K_{\beta }\ge 1$.

Anfang der Stetigkeitssequenz

Man definiert auf der Algebra induktiv eine Stetigkeitssequenz auf $A$ und auf $A[t]$ und man parallel zu $\Vert |\cdot |{\Vert }_{(\alpha ,0)}$ auch $\Vert \cdot {\Vert }_0^{(\alpha )}:=\Vert \cdot {\Vert }_{\beta }$. Die erste Folge von Quasihalbnormen auf $A[t]$ mit einer Stetigkeitskonstanten $K_{\alpha }\ge 1$ wird direkt über das $𝒫𝒞$-Kriterium definiert mit $C_k(\alpha )=\max \{1,D_k(\alpha ),C_{k-1}(\alpha )\}$ für $k>0$ und $C_0^0(\alpha ):=\max \{1,D_0(\alpha )\}$ (siehe auch PC-Regularitätskriterium).

$\begin{array}{ccc}\Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,0)}& :=& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^0(\alpha )\Vert p_k{\Vert }_{\beta }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{\ge D_k(\alpha )}{\underbrace{C_k^0(\alpha )}}\cdot \Vert p_k{\Vert }_0^{(\alpha )}\\ & \ge & \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_k(\alpha )\cdot \Vert p_k{\Vert }_0^{(\alpha )}\\ & \ge & \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert p_k{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}=\Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,0)}^{(z)}\end{array}$

Erste Quasihalbnorm der PC-Stetigkeitssequenz

Gleichzeitig zu der Folge von Quasihalbnormen auf $A[t]$ wird auch eine Sequenz von Quasihalbnormen definiert, die man über das $𝒫𝒞$-Regularitätskriterium erhält. Da die Folge in Abhängigkeit von einem konkreten $z\in {𝒢}_{𝒫𝒞}(A)$ und einem beliebigen $\alpha \in 𝒜$ abhängig sind, definiert man diese Gaugefunktionale

$\begin{array}{ccc}\Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,0)}^{(z)}& :=& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert p_k{\Vert }_k^{(\alpha )}\text{ mit}\\ p(t)& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k\end{array}$

Abschätzung für erste PC-Quasihalbnorm

Für die $𝒫𝒞$-Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden Quasihalbnormen auf $A[t]$ gilt folgende Abschätzung für $n=0$:

$\begin{array}{ccc}\Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,n)}^{(z)}& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{\le D_k^0(\alpha )\cdot \Vert p_k{\Vert }_0^{(\alpha )}}{\underbrace{\Vert p_k{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}}}\\ & \le & \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^0(\alpha )\cdot \Vert p_k{\Vert }_0^{(\alpha )}=\Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,n)}\end{array}$

Für $n=0$ wurden daher für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$ die Koeffizienten $C_k^0(\alpha )\ge D_k^0(\alpha )$ definieren.

Bedeutung der Abschätzung

Diese Abschätzung ist wesentlich, um

• einerseits die Stetigkeit des Algebraisomorphismus $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ bzw. ${\tau }^{-1}:A^{\prime }\to A$ nachzuweisen (siehe auch Elemente mit topologisch großen Potenzen) und
• andererseits dürfen die Gaugefunktionale $\Vert |\cdot |{\Vert }_n^{(\alpha ,z)}$ auch keine feinere Topologie erzeugen, als das Quasihalbnormensystem der Quasihalbnormen $\Vert |\cdot |{\Vert }_{(\alpha ,n)}$ mit $\alpha \in 𝒜$ und $n\in {\mathbb{N}}_0$.

Induktive Definition des Stetigkeitssequenzen

Seien nun die Quasihalbnormen $\Vert \cdot {\Vert }_n^{(\alpha )}$, $\Vert |\cdot |{\Vert }_{(\alpha ,n)}$ und das $𝒯𝒢𝒫$-Gaugefunktional $\Vert |\cdot |{\Vert }_n^{(\alpha ,z)}$ bereits gegeben, dann definiert man die nächsten Quasihalbnormen und das $𝒯𝒢𝒫$-Gaugefunktional über folgende beiden Lemmata:

• $𝒯𝒢𝒫$-Regularitätskriterium und
• Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation

Anwendung des PC-Regularitätskriteriums

Zu der gegebenen Quasihalbnormen $\Vert \cdot {\Vert }_n^{(\alpha )}$ kann man mit $𝒫𝒞$-Regularitätskriterium ein $\gamma \in 𝒜$, eine Folge von Gaugefunktionalen ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit positiven Konstanten $D_k^{n+1}(\alpha )$ finden, für die gilt:

• ${\Vert x\Vert }_n^{(\alpha )}\le {\Vert x\Vert }_{(n+1,k)}^{(\alpha )}\le D_k^{n+1}(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{\gamma }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$ und
• ${\Vert x\Vert }_{(n+1,k)}^{(\alpha )}\le {\Vert zx\Vert }_{(n+1,k+1)}^{(\alpha )}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Definition eine Stetigkeitssequenz der Multiplikation

Man definiert nun schon einmal $\Vert x{\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}:={\Vert x\Vert }_{\hat{\gamma }}$ für alle $x\in A$, wobei $\hat{\gamma }\in 𝒜$ mit der Stetigkeit der Multiplikation und dem Topologisierungslemma für Algebren so gewählt wurde, dass für alle $x,y\in A$ gilt:

$\Vert x\cdot y{\Vert }_{\gamma }\le \Vert x{\Vert }_{\hat{\gamma }}\cdot \Vert y{\Vert }_{\hat{\gamma }}$

Damit erhält man eine Stetigkeitssequenz der Multiplikation mit:

$\Vert x\cdot y{\Vert }_n^{(\alpha )}\le \Vert x{\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}\cdot \Vert y{\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}$

Anwendung - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation

Nun definiert man über das Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation zunächst die Koeffizienten für die Quasihalbnormen der Stetigkeitssequenz, damit die Cauchy-Multiplikation auf $A[t]$ stetig wird. Bzgl. der topologischen Algebra $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ ist basiserzeugendes Quasihalbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ gegeben aus dem die Halbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}$ mit dem $𝒯𝒢𝒫$-Regularitätskriterium gewählt wurde. Als $K_{(\alpha ,n+1)}:=\max \{K_{\gamma },K_{(\alpha ,n)}\}\ge 1$ setzt man die Stetigkeitskonstante der Addition einer Quasihalbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}:=\Vert \cdot {\Vert }_{\gamma }$. Damit gilt u.a. $K_{(\alpha ,n+1)}\ge K_{(\alpha ,n)}$ und

$\Vert x+y{\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}\le K_{(\alpha ,n+1)}\cdot (\Vert x{\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}+\Vert y{\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}).$

Wahl der Folgen - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation

In dem Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation werden die beiden Folgen positiver Zahlen $(a_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ und $(d_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ genannt. Diese werden induktiv in Abhängigkeit von $n\in {\mathbb{N}}_0$ und $\alpha \in 𝒜$ wie folgt gewählt:

• $(a_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}:=(C_k^n(\alpha ){)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ (Koeffizienten der Quasihalbnorm $\Vert |\cdot |{\Vert }_{(\alpha ,n)}$)
• $(d_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}:=(\max \{C_k^n(\alpha )\cdot D_k^{n+1}(\alpha ),K_{(\alpha ,n+1)}{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ (positive Konstanten des $𝒫𝒞$-Regularitätskriterium )

Eigenschaften der resultierende Folge aus dem Koeffizientenlemma

Das Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation liefert nun eine Folge ${(C_k^{n+1}(\alpha ))}_{k\in {\mathbb{N}}_0}:={\left(b_k\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:

• (KL1) $C_k^{n+1}(\alpha )\ge C_k^n(\alpha )\cdot D_k^{n+1}(\alpha )$ für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$
• (KL2) $K_{(\alpha ,n)}^{i+j}\cdot C_{i+j}^n(\alpha )\le C_i^{n+1}(\alpha )\cdot C_j^{n+1}(\alpha )$ für alle $i,j\in {\mathbb{N}}_0$.

Induktive Definition der Quasihalbnormen

Man definiert auf der Algebra nun induktiv das nächste Element der Stetigkeitssequenz auf $A[t]$ mit:

$\begin{array}{ccc}\Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,n+1)}& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{\ge C_k^n(\alpha )\cdot D_k^{n+1}(\alpha )}{\underbrace{C_k^{n+1}(\alpha )}}\cdot \Vert p_k{\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}\end{array}$

Dabei genügen die Koeffizienten der Ungleichung $C_k^{n+1}(\alpha )\ge C_k^n(\alpha )\cdot D_k^{n+1}(\alpha )$ auch dem TGP-Regularitätskriterium.

Indukutive Definition der PC-Quasihalbnorm bzgl. z

Gleichzeitig zu der Quasihalbnormen $\Vert |\cdot |{\Vert }_{(\alpha ,n+1)}$ auf $A[t]$ wird nun auch die $𝒫𝒞$-Quasihalbnorm definiert, die man über das $𝒫𝒞$-Regularitätskriterium erhält.

$\begin{array}{ccc}\Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,n+1)}^{(z)}& :=& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^n(\alpha )\cdot \Vert p_k{\Vert }_{(n+1,k)}^{(\alpha )}\text{ mit}\\ p(t)& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k\end{array}$

Abschätzung von PC-Quasihalbnorm in Stetigkeitssequenzen

Für die $𝒫𝒞$-Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden Quasihalbnormen auf $A[t]$ gilt folgende Abschätzung:

$\begin{array}{ccc}\Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,n+1)}^{(z)}& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^n(\alpha )\cdot \underset{\le D_k^{n+1}(\alpha )\cdot \Vert p_k{\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}}{\underbrace{\Vert p_k{\Vert }_{(n+1,k)}^{(\alpha )}}}\\ & \le & \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{\le C_k^{n+1}(\alpha )}{\underbrace{C_k^n(\alpha )\cdot D_k^{n+1}(\alpha )}}\cdot \Vert p_k{\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}\le \Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,n+1)}\end{array}$

Für $n=0$ kann man für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$ die Koeffizienten $C_k^0(\alpha ):=D_k^0(\alpha )$ definieren.

Subadditivität mit Stetigkeitskonstante

Das definierte Funktional $\Vert |\cdot |{\Vert }_{(\alpha ,n)}$ ist subadditiv mit Stetigkeitskonstante $K_{\alpha ,n)}\ge 1$, denn

$\begin{array}{ccc}\Vert |p+q|{\Vert }_{(\alpha ,n)}& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^n(\alpha )\cdot \Vert p_k+q_k{\Vert }_n^{(\alpha )}\\ & \le & \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^n(\alpha )\cdot K_{(\alpha ,n)}\cdot (\Vert p_k{\Vert }_n^{(\alpha )}+\Vert q_k{\Vert }_n^{(\alpha )})\\ & =& K_{(\alpha ,n)}\cdot \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^n(\alpha )\cdot \Vert p_k{\Vert }_n^{(\alpha )}+C_k^n(\alpha )\cdot \Vert q_k{\Vert }_n^{(\alpha )}\\ & =& K_{(\alpha ,n)}\cdot (\Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,n)}+\Vert q|{\Vert }_{(\alpha ,n)})\end{array}$

Stetigkeit der Cauchy-Multiplkation 1

Die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation in der Polynomalgebra kann man mit der PC-Stetigkeit des Cauchy-Produktes angewendet auf die Stetigkeitssequenz nachweisen.

$\begin{array}{ccccc}q(t)& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_k\cdot t^k& \text{ bzw. }& p(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k\end{array}$

Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra

Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf $A$ und der Anwendung des Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation erhält man die Stetigkeit der Multiplikation auf $A[t]$:

$\begin{array}{ccc}\Vert |p\cdot q|{\Vert }_{(\alpha ,n)}& \le & \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^n(\alpha )\cdot {\Vert \sum _{i=0}^k{p}_i\cdot q_{k-i}\Vert }_n^{(\alpha )}\\ & \le & \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^n(\alpha )\cdot K_{(\alpha ,n)}^k\cdot \sum _{i=0}^k{\Vert p_i\cdot q_{k-i}\Vert }_n^{(\alpha )}\\ & \le & \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=0}^k\underset{=C_i^k(\beta )\cdot C_{k-i}^k(\beta )}{\underbrace{C_k^n(\alpha )\cdot K_{(\alpha ,n)}^k}}\cdot {\Vert p_i\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}\cdot {\Vert q_{k-i}\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}\\ & =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=0}^k{C}_i^{n+1}(\alpha )\cdot {\Vert p_k\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}\cdot C_{k-i}^{n+1}(\alpha )\cdot {\Vert q_{n-k}\Vert }_{n+1}^{(\alpha )}\\ & =& \Vert |p|{\Vert }_{(\alpha ,n+1)}\cdot \Vert |q|{\Vert }_{(\alpha ,n+1)}\end{array}$

Topologisierung der Algebraerweiterung

Die Algebraerweiterung wird mit induzierten Quasihalbnormen auf Quotientenraum über die oben definierten Stetigkeitsequenzen topologisiert, die wie folgt definiert ist:

$\Vert q_{{}_I}{\Vert }_n^{(\alpha ,B)}:=\Vert q+I{\Vert }_n^{(\alpha ,B)}:=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |q+r|{\Vert }_n^{(\alpha )}$

Dabei bezeichnen man die Äquivalenzklassen von Polynomen in Kurzform mit $q_I\in B$, wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:

$q_{{}_I}:=q+I:=\{q+r:r\in I\}$

Man muss hier keine Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen unterscheiden, da die Addition im Vektorraum und die Multiplikation in ${𝒫𝒞}^k$-Algebren auch eine kommuntative Cauchy-Multiplikation auf der Polynomalgebra induzieren.

Stetigkeit Algebrahomomorphismus

Sei $x\in A$ beliebig gewählt, dann gilt für eine beliebige Quasihalbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_n^{(\alpha ,B)}$ auf dem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ die folgende Abschätzung

$\begin{array}{ccc}\Vert \tau (x){\Vert }_n^{(\alpha ,B)}& =& \Vert x_I{\Vert }_n^{(\alpha ,B)}=\Vert x+I{\Vert }_n^{(\alpha ,B)}:=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |x+r|{\Vert }_n^{(\alpha )}\\ & \le & \Vert |x+0_{A[t]}|{\Vert }_n^{(\alpha )}=C_0^n(\alpha )\cdot \Vert x{\Vert }_n^{(\alpha )}\end{array}$

Damit ist $\tau$ stetig (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Struktur der Polynome aus dem Ideal

Betrachten nun das Bild $\tau (A)\subset B$ von $\tau$ in $B$. Sei nun $A^{\prime }=\tau (A)=\{x_I:x_I=x+I=\tau (x)\}$ gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges $q\in A[t]$ mit $r=o\cdot q\in I$ mit $o(t)=z\cdot t-e_A$. Dabei gilt:

$\begin{array}{ccc}r(t)& =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{r}_k\cdot t^k=o(t)\cdot q(t)\\ & =& -q_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(z\cdot q_{k-1}-q_k)\cdot t^k\end{array}$

Injektivität des Algebrahomomorphismus 1

Um eine Umkehrabbildung von ${\tau }^{-1}:A^{\prime }\to A$ definieren zu können, muss man zeigen, dass $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ injektiv ist, bzw. $Kern(\tau )=\{0_A\}$. Wir zeigen nun die Kontraposition von der Implikation für die Injektivität

$x\in Kern(\tau )⟹x=0_A$

und zeigen

$x=0_A⟹x\notin Kern(\tau )\text{ bzw. }\tau (x)=0_B$

Injektivität des Algebrahomomorphismus 2

Sei $x=0_A$ und mit der Hausdorff-Eigenschaft von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ erhält man ein $\alpha \in 𝒜$ mit $\epsilon :=\Vert x{\Vert }_{\alpha }>0$ und verwendet ferner folgende Abschätzungen für Quasinormen und das $𝒫𝒞$-Regularitätskriterium:

• $\Vert x-y{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}\ge \frac{1}{K_{\alpha }}\cdot \Vert x{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}-\Vert y{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}$
• $\Vert x{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}\le \Vert z\cdot x{\Vert }_{(0,k+1)}^{(\alpha )}$

Injektivität des Algebrahomomorphismus 3

$\begin{array}{c}\Vert |x+r|{\Vert }_{(\alpha ,0)}\ge \Vert |x+r|{\Vert }_0^{(\alpha ,z)}=\\ =D_0^0(\alpha )\cdot \Vert x-q_0{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{(\alpha ,0)}^k\cdot D_k^0(\alpha )\cdot \Vert z\cdot q_{k-1}-q_k{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}\\ \\ \ge \Vert x-q_0{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{(\alpha ,0)}^{k-1}(\Vert z\cdot q_{k-1}{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}-K_{(\alpha ,0)}^k\Vert q_k{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )})\\ \\ \ge \Vert x-q_0{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{(\alpha ,0)}^{k-1}\cdot \Vert q_{k-1}{\Vert }_{(0,k-1)}^{(\alpha )}-K_{(\alpha ,0)}^k\cdot \Vert q_k{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}\\ \\ \ge \Vert x-q_0{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}+\Vert q_0{\Vert }_{(0,k)}^{(\alpha )}\ge \frac{1}{K_{(\alpha ,0)}}\Vert x{\Vert }_0^{(\alpha )}\ge \frac{\epsilon }{K_{(\alpha ,0)}}>0\end{array}$

Injektivität Algebrahomomorphismus 4

Über Infimumbildung über alle $r\in I$ bleibt die Ungleichung erhalten und es gilt:

$\Vert x_{{}_I}{\Vert }_0^{(\alpha ,B)}:=\Vert x+I{\Vert }_0^{(\alpha ,B)}:=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |x+r|{\Vert }_0^{(\alpha )}\ge \frac{1}{K_{(\alpha ,0)}}\Vert x{\Vert }_{\alpha }>0$

Damit gilt auch $x_{{}_I}=0_B=0_A+I$ für $x=0_A$. Damit ist der Algebrahomomophismus injektiv.

Existenz der Umkehrabbildung

Mit der Injektivität von $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ existiert die Umkehrabbildung von ${\tau }^{-1}:A^{\prime }\to A$ und man kann die Stetigkeit der Umkehrabbildung mit der Stetigkeitssequenzen analog zur Injektivität für beliebige $n\in {\mathbb{N}}_0$ und $\alpha \in 𝒜$-

Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung

$\begin{array}{c}\Vert |x+r|{\Vert }_{(\alpha ,n+1)}\ge \Vert |x+r|{\Vert }_{n+1}^{(\alpha ,z)}=\\ \ge D_0^{n+1}(\alpha )\cdot \Vert x-q_0{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{(\alpha ,n)}^k\cdot D_k^n(\alpha )\cdot \Vert z\cdot q_{k-1}-q_k{\Vert }_{(n+1,k)}^{(\alpha )}\\ \\ =\Vert x-q_0{\Vert }_n^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{(\alpha ,n)}^k\cdot \Vert z\cdot q_{k-1}-q_k{\Vert }_n^{(\alpha )}\\ \\ \ge \Vert x-q_0{\Vert }_n^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{(\alpha ,n)}^{k-1}\Vert z\cdot q_{k-1}{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}-K_{(\alpha ,n)}^k\Vert q_k{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}\\ \\ \ge \Vert x-q_0{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{(\alpha ,n)}^{k-1}\cdot \Vert q_{k-1}{\Vert }_{(n,k-1)}^{(\alpha )}-K_{(\alpha ,n)}^k\cdot \Vert q_k{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}\\ \\ \ge \Vert x-q_0{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}+\Vert q_0{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}\ge \frac{1}{K_{(\alpha ,n)}}\Vert x{\Vert }_n^{(\alpha )}\end{array}$

Begründungen für die Umformungen

• (1. Gleichungszeile) $\Vert |q|{\Vert }_{(\alpha ,n)}\ge \Vert |q|{\Vert }_n^{(\alpha ,z)}$ gilt für alle $q\in A[t]$
• (2. Gleichungszeile) Definition von $\Vert |q|{\Vert }_n^{(\alpha ,z)}$ für $q\in A[t]$ eingesetzt,
• (3. Gleichungszeile) $D_n^k(\alpha )\ge 1$ für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$ verwendet,

• (4. Gleichungszeile) ${\displaystyle }$
• (2. Gleichungszeile) ${\displaystyle }$

Teleskopierende Summen

Bei teleskopierenden Summen werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme

$K_{(\alpha ,n)}^{k-1}\cdot \Vert q_{k-1}{\Vert }_{(n,k-1)}^{(\alpha )}-K_{(\alpha ,n)}^k\cdot \Vert q_k{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}$

eine Telekopsumme.

Infimumbildung

Durch Infimumbildung über alle Polynome $r\in I$ bleibt die obige Ungleichung erhalten und man erhält die Stetigkeit von ${\tau }^{-1}:A^{\prime }\to A$.

$\begin{array}{ccc}\Vert x+I{\Vert }_{(\alpha ,n)}& =& \underset{r\in I}{\inf }\Vert |x+r|{\Vert }_{(\alpha ,n)}\ge \frac{1}{K_{(\alpha ,n)}}\cdot \Vert x{\Vert }_n^{(\alpha )}\\ & \ge & \frac{1}{K_{(\alpha ,n)}}\cdot \Vert {\tau }^{-1}(x+I){\Vert }_n^{(\alpha )}\end{array}$

Die Stetigkeit $\Vert {\tau }^{-1}(x+I){\Vert }_n^{(\alpha )}\le \underset{:=C_1>0}{\underbrace{K_{(\alpha ,n)}}}\cdot \Vert x+I{\Vert }_{(\alpha ,n)}$ erhält man mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen.

Umgekehrte Abschätzung

Für die Stetigkeit der Abbildung $\tau$ gibt es für alle $\alpha \in 𝒜$ und alle $n\in {\mathbb{N}}_0$ setzt das Nullpolynom $0_{A[t]}\in I$ ein:

$\Vert x+I{\Vert }_{(\alpha ,n)}:=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |x+r|{\Vert }_{(\alpha ,n)}\le \Vert |x+0_{A[t]}|{\Vert }_{(\alpha ,n)}=\underset{=C_2>0}{\underbrace{C_0^n(\alpha )}}\cdot \Vert x{\Vert }_n^{(\alpha )}$

Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von $A$ in $A^{\prime }\subset B:=A[t]/I$ eine Hömöomorphismus mit ${\tau }^{-1}(x+I)=x$ bzw. $\tau (x)=x+I$.

Aufgabe - Algebraisomorphismus und Äquivalenz von p-Halbnormensystemen

In den obigen beiden Abschätzungen wird die Stetigkeit von lineare Abbildung bzw. von Algebrahomomorphismen verwendet, um die Stetigkeit von $\tau$ und ${\tau }^{-1}$ über Quasihalbnormen auszudrücken. Wir betrachten nun zwei Quasihalbnormensysteme $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ auf $A$ und $\Vert |\cdot |{\Vert }_{𝒜\times {\mathbb{N}}_0}$ auf $A[t]$ und definieren eine weiteres Halbnormensystem $\Vert |\cdot |{\Vert }_{𝒜\times {\mathbb{N}}_0}^{({\tau }_3)}$ auf $A$ mit

$\Vert |\cdot |{\Vert }_{(\alpha ,n)}^{({\tau }_3)}:=\Vert |\cdot |{\Vert }_{(\alpha ,n)}\circ {\tau }_3\text{ bzw. }\Vert |x|{\Vert }_{(\alpha ,n)}^{({\tau }_3)}:=\Vert |{\tau }_3(x)|{\Vert }_{(\alpha ,n)}$

Dabei wird ${\tau }_3(x)=p\in A[t]$ mit $p(t)=x\cdot t^0$. Zeigen Sie, dass $p$-Halbnormensysteme $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ und $\Vert |\cdot |{\Vert }_{𝒜\times {\mathbb{N}}_0}^{({\tau }_3)}$ auf $A$ äquivalente Quasihalbnormensysteme sind (siehe Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)).

Siehe auch

• Algebraerweiterung
• PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt
• Polynomalgebra
• Topologisch kleine Potenzen
• Topologisch große Potenzen
• Konstruktion des Algebraisomorphismus
• p-Halbnorm
• Korrespondenzsatz p-Halbnormen
• MPC-Regularität
• LC-Regularität
• LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt
• T-Regularität
• Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen
• Neutrales Element
• Normen, Metriken, Topologie
• Vollständigkeit
• Vervollständigung topologischer Vektorräume

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