Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität

Einführung

Wenn wir die $ℒ𝒞$-Regularität eines Elementes $z\in A$ für eine lokalkonvexe topologische Algebra $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ sprechen, suchen wir nach einer lokalkonvexen Algebraerweiterungen $(B,\Vert \cdot {\Vert }_{ℬ})$ von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ in der $z\in A$ invertierbar ist. Dabei besteht

• $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}:=\{\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }:\alpha \in 𝒜\}$ und
• $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}:=\{\Vert \cdot {\Vert }_{\tilde{\alpha }}:\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}\}$

aus einem System von Halbnormen, die die Topologie auf $A$ bzw. $B$ erzeugen.

Zielsetzung

Zielsetzung einer lokalkonvexe Algebraerweiterung $(B,\Vert \cdot {\Vert }_{ℬ})$ zu einer gegebenen topologischen Algebra $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit $z\in A$ ist es, die gegebene lokalkonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element $z^{-1}:=b\in B$ in der lokalkonvexen Algebraerweiterung $B$ besitzt. Als topologieerzeugende $p$-Gaugefunktionale werden hier Halbnormen $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ und $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ verwendet.

LC-Singularität und topologisch kleine Potenzen

Für kommutative lokalkonvexe Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit unital positivem Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ erhält man folgende Charakterisierung:

$z\in 𝒯𝒦𝒫(A)$ (topologisch kleine Potenzen) $z\in A$ $⟹$ $ℒC_{ℯ}^{𝓀}$-singulär

Charakterisierung der LC-Regularität

Für kommutative lokalkonvexe Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit unital positivem $p$-Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ erhält man folgende Charakterisierung:

$z\in A$ erfüllt das LC-Regularitätskriterium $⟺$ $z\in A$ $ℒC_{ℯ}^{𝓀}$-regulär

LC-Regularitätskriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau ${ℒ𝒞}_e^k$-regulär in $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {ℒ𝒞}_e^k$, wenn es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und eine isotone Folge von Halbnormen ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit positiven Konstanten $D_{(\alpha ,k)}$ gibt, für die gilt:

• (LC1) ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_{(\alpha ,k)}\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$ und
• (LC2) ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Veranschaulichung

Algebraerweiterung $B$ von $A$ ist hier eine lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element $b=z^{-1}\in B$ zu einem gegebenen $z\in A$ enthält.

Lokalkonvexe Algebraerweiterung

Sei ${ℒ𝒞}_e$ die Klasse der lokalkonvex unitalen Algebren und $A\in {ℒ𝒞}_e$. Die Algebraerweiterung $B\in {ℒ𝒞}_e$ bzw. $ℒ𝒞$-Erweiterung von $A$ benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus $\tau :A⟶A^{\prime }\subset B$ mit:

• $\tau (e_{{}_A})=e_{{}_B}$, wobei $e_{{}_A}$ ist das Einselement von $A$ und $e_{{}_B}\in A^{\prime }$ das Einselement von $B$ ist.
• $A$ ist homöomorph zu $A^{\prime }$; d.h. $\tau$ und ${\tau }^{-1}:A^{\prime }⟶A$ sind stetig.

Veranschaulichung - Algebraisomorphismus

Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung

• Im allgemeinen identifiziert man $A$ mit $A^{\prime }$ und schreibt $A\subset B$. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus $x\in A$ mit Elementen $\tau (x)=x+I\in B$ in einem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ identifiziert werden.
• Sei ${𝔘}_{A^{\prime }}(0)$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von $B$ auf $A^{\prime }$ und ${𝔘}_A(0)$ eine Nullumgebungsbasis von $A$, dann kann man die Homöomorphie zwischen $A$ und $A^{\prime }$ wie immer über die Topologie ausdrücken:

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{V\in {𝔘}_A(0)}{\mathrm{\exists }}_{U\in {𝔘}_{A^{\prime }}(0)}& :& U\subset V(\tau (U)\subset V)\\ {\mathrm{\forall }}_{U\in {𝔘}_{A^{\prime }}(0)}{\mathrm{\exists }}_{V\in {𝔘}_A(0)}& :& V\subset U({\tau }^{-1}(V)\subset U).\end{array}$

Stetigkeit über Halbnormen

Betrachtet man die Halbnormen ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜},C_1>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert x\Vert }_{\alpha }\le C_1\cdot {\Vert \tau (x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ \text{ bzw. }& & {\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\le C_1\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}\circ \tau \\ {\mathrm{\forall }}_{\tilde{\alpha }\in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜,C_2>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert \tau (x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le C_2\cdot {\Vert x\Vert }_{\alpha }\\ \text{ bzw. }& & {\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}\circ \tau \le C_2\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }.\end{array}$

Wesentliche Schritte bei der Konstruktion der Algebraerweiterung

Wir betrachten zunächst multiplikative kommuntative Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_A)$.

• Ausgehend von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_A)$ wird die Polynomalgebra $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_{A[t]})$ mit einer Halbnorm $\Vert |\cdot |{\Vert }_{A[t]}$ topologisiert.
• Halbnorm $\Vert |\cdot |{\Vert }_{A[t]}$ macht $A[t]$ zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der algebraischen Operationen (insbesondere die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation) nachzuweisen ist.
• Übergang zu dem Quotientenraum $B:=A[t]/I$, wobei das Polynom $o(t):=z\cdot t-e_A$ das Hauptideal $I:=o\cdot A[t]$ definiert und $o\in A[t]$ ein Repräsentant des Nullvektors $0_B:=I=o+I$ in $B$ ist.
• Die Konstruktion des Ideals $I$ liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit $b(t):=e_A\cdot t$ ist $b_I:=b+I\in B=A[t]/I$ das inverse Element zu $z\in A$ mit $z_I:=\tau (z)=z+I\in B$ mit $z_I\cdot b_I-e_B=0_B$ bzw. $z_I\cdot b_I=e_B$. Die Kommutativität liefert dann, dass auch $b_I\cdot z_I=e_B$ gilt.

LC-Charakterisierung nach Zelazko

Zelazko hat die ${ℒ𝒞}_e^k$-regulären Elemente 1984 über die folgende Bedingung charakterisiert. Dabei liefert die von Zelazko angegebene Bedingung unmittelbare eine Topologisierung der Polynomalgebra, wobei die Topologie auf dem Quotientenraum $B:=A[t]/I$, in der ein gegebenes $z\in A$ invertierbar ist, immer noch die Punkte von $A$ über den Algebraisomorphismus $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ trennt.

Satz: LC-Charakterisierung nach Zelazko

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {ℒ𝒞}_e^k$, dann gilt: Ein Element $z\in A$ ist genau dann ${ℒ𝒞}_e^k$-regulär, falls es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und eine Folge positiver Zahlen $(D_k(\alpha ){)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ gibt, so dass

$${\Vert x_o\Vert }_{\alpha }\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_k(\alpha )\cdot {\Vert z\cdot x_{k-1}-x_k\Vert }_{\beta }$$

für alle endlichen Folgen $(x_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}\in c_{oo}(A)$ in $A$ gilt.

Aufgabe für Studierende

Für den Beweis der ${ℒ𝒞}_e^k$-Charakterisierung muss man die Koeffizienten $D_k(\alpha )\le C_k(\alpha )$ so vergrößeren, dass die Cauchy-Multiplikation auf $A[t]$ stetig ist.

• Seien ${\left|\Vert p\Vert \right|}_{\alpha }=\sum _{k:=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k(\alpha )\cdot {\Vert p_k\Vert }_{\alpha }$ die Halbnormen auf $B:=A[t]/I$. Zeigen Sie, dass die Halbnorm folgende Eigenschaft erfüllt: ${\Vert x_I\Vert }_{B,\alpha }\ge {\Vert x\Vert }_{\alpha }$ für alle $\alpha \in 𝒜$.
• Erläutern Sie über die Definition des Ideals, warum das Kriterium von Zelazko die obigen Summen erzeugen.

LC-Charakterisierung über topologische große Potenzen

Die Charakterisierung der ${ℒ𝒞}_e^k$-regulären Elemente kann man als Spezialfall der pseudokonvexen kommutativen Algebren auffassen (siehe $𝒫𝒞$-Regularität), wobei für alle $p$-Halbnormen $p=1$ gesetzt wird. Die Topologisierung der Polynomalgebra erfolgt dann analog über eine Halbnorm statt Quasihalbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}$ und damit werden die Koeffizienten $p_k\in A$ von $p_k\cdot t^k$ gemessen und gehen mit $C_k^n(\alpha )\cdot \Vert p_k{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}$ additiv in den Wert des Halbnorm ${\left|\Vert p\Vert \right|}_{(\alpha ,n)}$ ein. Für das genau Vorgehen siehe (siehe $𝒫𝒞$-Regularität).

Siehe auch

• Algebraerweiterung
• Konstruktion des Algebraisomorphismus
• Halbnorm
• P-Regularität
• B-Regularität
• MLC-Regularität
• PC-Regularität
• Normen, Metriken, Topologie
• Minkowski-Funktional
• Konvexkombination
• Topologisierungslemma für Algebren
• Relativtopologie
• Neutrales Element

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