Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität

Einführung

Wenn wir die $ℳℒ𝒞$-Regularität eines Elementes $z\in A$ für eine multiplikativ lokalkonvexe topologische Algebra $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ sprechen, suchen wir nach einer multiplikativ lokalkonvexen Algebraerweiterungen $(B,\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}})$ von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ in der $z\in A$ invertierbar ist. Dabei besteht

• $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}:=\{\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }:\alpha \in 𝒜\}$ und
• $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}:=\{\Vert \cdot {\Vert }_{\tilde{\alpha }}:\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}\}$

aus einem System von submultiplikativen Halbnormen, die die Topologie auf $A$ bzw. $B$ erzeugen.

Zielsetzung

Zielsetzung einer multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung $(B,\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}})$ zu einer gegebenen topologischen Algebra $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit $z\in A$ ist es, die gegebene multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element $z^{-1}:=b\in B$ in der multiplikativ lokalkonvexen Algebraerweiterung $B$ besitzt. Als topologieerzeugende $p$-Gaugefunktionale werden hier Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ und $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ verwendet.

Charakterisierung der MLC-Regularität

Für kommutative multiplikativ lokalkonvexe Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mit unital positivem System von erhält man folgende Charakterisierung:

• $z\in A$ $ℳℒC_{ℯ}^{𝓀}$-singulär $⟺$ $z\in ℳ𝒯𝒩𝒯(A)$ (multiplikativer topologischer Nullteiler)
• $z\in A$ $ℳℒC_{ℯ}^{𝓀}$-regulär $⟺$ für alle $\alpha \in 𝒜$ und ein $D_{\alpha }>0$ mit $\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le D_{\alpha }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\alpha }$ für alle $x\in A$

Dabei sind $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ submultiplikative Halbnormen.

Veranschaulichung

Algebraerweiterung $B$ von $A$ ist hier eine mulitplikative lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element $b=z^{-1}\in B$ zu einem gegebenen $z\in A$ enthält.

Aufgabe

• Negieren Sie die Aussage, dass $z\in A$ kein topologischer Nullteiler ist und formulieren $z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$ für ein submultiplikative Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$.
• Zeigen Sie, dass in einer $ℳℒ𝒞$-Algebra mit $z\in A$ $ℳℒ𝒞(A)$-regulär ist, wenn folgende Bedingung gilt (siehe Zelazko 1971)

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in 𝒜,D_{\beta }>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le \Vert x{\Vert }_{\beta }\le D_{\beta }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }$.

• Zeigen Sie mit der Charakterisierung der $ℳ𝒫𝒞(A)$-Regularität, dass die $ℳℒ𝒞(A)$-singulären Elemente genau die topologischen Nullteiler sind.

Multiplikative lokalkonvexe Algebraerweiterung

Sei ${ℳℒ𝒞}_e$ die Klasse der multiplikativen lokalkonvexen unitalen Algebren und $A\in {ℳℒ𝒞}_e$. Die Algebraerweiterung $B\in {ℳℒ𝒞}_e$ bzw. $ℳℒ𝒞$-Erweiterung von $A$ benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus $\tau :A⟶A^{\prime }\subset B$ mit:

• $\tau (e_{{}_A})=e_{{}_B}$, wobei $e_{{}_A}$ ist das Einselement von $A$ und $e_{{}_B}\in A^{\prime }$ das Einselement von $B$ ist.
• $A$ ist homöomorph zu $A^{\prime }$; d.h. $\tau$ und ${\tau }^{-1}:A^{\prime }⟶A$ sind stetig.

Algebraisomorphismus in den Quotientenräumen

Der Algebraisomorphismus wird über normierte Quotientenalgebren $A_{\alpha }$ definiert. wobei mit  :${\tau }_{\alpha }:A_{\alpha }\to A{\text{'}}_{\alpha }\subset B_{\alpha }$ mit ${\tau }_{\alpha }(x)=[x{]}_{\alpha }\in A{\text{'}}_{\alpha }$ bezeichnet und

$\tau :A⟶A^{\prime }\subset \prod _{\alpha \in 𝒜}{A}_{\alpha }\subset \prod _{\alpha \in 𝒜}{B}_{\alpha }=B\text{ mit }\tau (x):=({\tau }_{\alpha }(x){)}_{\alpha \in 𝒜}$

Algebraerweiterung von MLC-Quotientenalgebren

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen.

Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung

• Im allgemeinen identifiziert man $A$ mit $A^{\prime }$ und schreibt $A\subset B$. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus $x\in A$ mit Elementen $\tau (x)=x+I\in B$ in einem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ identifiziert werden.
• Sei ${𝔘}_{A^{\prime }}(0)$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von $B$ auf $A^{\prime }$ und ${𝔘}_A(0)$ eine Nullumgebungsbasis von $A$, dann kann man die Homöomorphie zwischen $A$ und $A^{\prime }$ wie immer über die Topologie ausdrücken:

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{V\in {𝔘}_A(0)}{\mathrm{\exists }}_{U\in {𝔘}_{A^{\prime }}(0)}& :& U\subset V(\tau (U)\subset V)\\ {\mathrm{\forall }}_{U\in {𝔘}_{A^{\prime }}(0)}{\mathrm{\exists }}_{V\in {𝔘}_A(0)}& :& V\subset U({\tau }^{-1}(V)\subset U).\end{array}$

Stetigkeit über Halbnormen

Betrachtet man die Halbnormen ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜},C_1(\alpha )>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert x\Vert }_{\alpha }\le C_1(\alpha )\cdot {\Vert \tau (x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ \text{ bzw. }& & {\Vert \cdot \Vert }_A\le C_1\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{A^{\prime }}\circ \tau \\ {\mathrm{\forall }}_{\tilde{\alpha }\in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜,C_2(\tilde{\alpha })>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert \tau (x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le C_2\tilde{\alpha }\cdot {\Vert x\Vert }_{\alpha }\\ \text{ bzw. }& & {\Vert \cdot \Vert }_{A^{\prime }}\circ \tau \le C_2\cdot {\Vert \cdot \Vert }_A.\end{array}$

Konstruktion Algebraisomorphismus

Für die Konstruktion des Algebraisomorphismus geht man wie folgt vor:

• (KA1) man konstruiert zunächst einen Algebrahomomorphismus $\tau :A\to B$ und zeigt, dass dieser stetig ist.
• (KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist $Kern(\tau )=\{0_A\}$
• (KA3) man definiert mit $A^{\prime }:=\tau (A)\subset B$, die Umkehrabbildung ${\tau }^{-1}:A^{\prime }\to A$ und zeigt, dass ${\tau }^{-1}$ ebenfalls stetig ist (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Verwendung der Charakterisierung B-regulärer Elemente

Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ und nutzen die Charakterisierung $ℬ$-Regularität für die $ℳℒ𝒞$-Erweiterung von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_A)$.

Halbnormensystem unital positiv

Ohne Einschränkung seien die submultiplikativen Halbnormen unital positiv, d.h. $\Vert e_A{\Vert }_{\alpha }>0$ für alle $\alpha \in 𝒜$. Falls das nicht der Fall ist, geht man zu einem äquivalenten Halbnormensystem über $\Vert e_A{\Vert }_{\alpha }^{(+)}>0$ über. Weil $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ Hausdorffraum ist, gibt es ein ${\alpha }_o\in 𝒜$ mit $\Vert e_A{\Vert }_{{\alpha }_o}>0$. Man definiert dann $U_{\alpha }=B_1^{\alpha }(0_A)\cap B_1^{{\alpha }_o}(0_A)$ und

$\Vert x{\Vert }_{\alpha }^{(+)}:=p_{U_{\alpha }}(x)=\max \{\Vert x{\Vert }_{\alpha },\Vert x{\Vert }_{{\alpha }_o}\}$

als Minkowski-Funktional von $U_{\alpha }$ und $U_{\alpha }\cdot U_{\alpha }\subset U_{\alpha }$, da $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ und damit auch $\Vert \cdot {\Vert }_{{\alpha }_o}$ submultiplikativ sind. $U_{\alpha }$ ist eine offene Menge in $A$, da $U_{\alpha }$ als Schnitt von zwei offenen Mengen definiert ist und der endliche Schnitt von offenen Mengen in einer Topologie ist wieder offen.

Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - unital positiv

Zeigen Sie, dass die Halbnormensysteme $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ und $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}^{(+)}$ äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind!

Aufgabe - TNT-Negation und unital positives Halbnormensystem

Ohne Einschränkung sei das gegebene Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ auf einer unital positiven $ℳℒ𝒞$-Algebra $A$. Ferner sei $z\in A$ kein topologischer Nullteiler ($z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$). Zeigen Sie, dass für alle $\alpha \in 𝒜$ ebenfalls $\Vert z{\Vert }_{\alpha }>0$ gilt.

Topologische Nullteiler in MLC-Algebren

Wenn $z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ erfüllt ist, gibt es ein $\alpha \in 𝒜$, sodass für alle $\beta \in 𝒜$ gilt

$\underset{x\in A\Vert x{\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }\Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }=0$

Topologische Nullteiler in Quotientenalgebren

Damit ist insbesondere für $\beta \in 𝒜$ mit $\beta \ge \alpha$ (d.h. $\Vert x{\Vert }_{\beta }\ge \Vert x{\Vert }_{\alpha }$ für alle $x\in A$ die folgende Bedingung erfüllt

$\underset{\Vert x{\Vert }_{\beta }=1}{\inf }\Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }=0.$

Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 1

Man erhält die folgenden Abschätzung für $\gamma \ge \alpha$, d.h. $\frac{1}{\Vert x{\Vert }_{\gamma }}\le \frac{1}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}$ für alle $\beta \in 𝒜$ und alle $x\in A$:

$\begin{array}{ccc}0& =& \underset{\Vert x{\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=\underset{\Vert x{\Vert }_{\alpha }>0}{\inf }{\Vert z\cdot \frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}\Vert }_{\beta }\\ & \ge & \underset{\Vert x{\Vert }_{\gamma }>0}{\inf }{\Vert z\cdot \frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}\Vert }_{\beta }\ge \underset{\Vert x{\Vert }_{\gamma }>0}{\inf }{\Vert z\cdot \frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\gamma }}\Vert }_{\beta }\\ & \ge & \underset{\Vert x{\Vert }_{\gamma }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }\ge 0\end{array}$

Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 2

Insgesamt erhält man für $z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ die äquivalente Bedingung:

${\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\forall }}_{\beta \in 𝒜,\gamma \ge \alpha }{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\underset{\Vert x{\Vert }_{\gamma }=1}{\inf }\Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }=0.$

Insbesondere gilt für alle $\beta \ge \alpha$

${\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\forall }}_{\beta \in 𝒜,\beta \ge \alpha }{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\underset{\Vert x{\Vert }_{\beta }=1}{\inf }\Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }=0$.

TNT-Eigenschaft in Quotientenalgebren

Also gibt es mindestens ein $\alpha \in 𝒜$, sodass für alle $\beta \ge \alpha$ gilt:

$z_{\beta }\in 𝒯𝒩𝒯(A_{\beta })=𝒯𝒩𝒯(A/N_{\beta })$.

MLC-Singularität 1

Wenn man die $ℳℒ𝒞$-Singularität betrachtet, gibt es zu jedem $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ mit $\beta \ge \alpha$, sodass $z_{\beta }\notin 𝒯𝒩𝒯(A_{\beta })$ und es gilt mit der Eigenschaft $z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$ erhält man die Eigenschaft:

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in 𝒜,D_{\beta }>0,\gamma \ge \alpha }{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\Vert x{\Vert }_{\gamma }\le D_{\beta }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }(\ast )$.

Negation der TNT-Eigenschaft

Mit der Eigenschaft $z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$ erhält man zunächst einmal die Abschätzung:

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in 𝒜,D_{\beta }>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le D_{\beta }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }(\ast )$.

Vergleich zur Charakterisierung der MLC-Singularität

Durch die Negation erhält man, dass es zu jedem $\alpha \in 𝒜:$ ein $\beta \in 𝒜$, in dem $z_{\beta }\in {𝒜}_{\mathcal{\beta }}$ also kein topologischer Nullteiler ist. Diese Negation liefert nach

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{{\beta }_{\alpha }\in 𝒜,D_{{\beta }_{\alpha }}>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le \Vert x{\Vert }_{\beta }\le D_{\beta }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }(\ast )$.

Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - TNT

Wir definieren darüber nun ein weiteres Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ aus submultiplikativen Halbnormen wie folgt über die Eigenschaft von $z\in A$, kein topologischer Nullteiler zu sein:

• $\widetilde{𝒜}\subseteq 𝒜$
• ${\beta }_{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$, wenn $\alpha \in 𝒜$ und ${\beta }_{\alpha }\in 𝒜$ mit $D_{{\beta }_{\alpha }}>0$ die obige Gleichung $(\ast )$ erfüllt. Zeigen Sie, dass $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind

Notation - Produktraum

Sei $I=\mathrm{\varnothing }$ eine Indexmenge. In der folgenden Charakterisierung der $ℳℒ𝒞$-Regularität werden Produkträume definiert bzw. als Algebraerweiterung konstruiert. Dabei wird folgende Kurzschreibweise des Produktraumes $M$ verwendet.

$M=(M_i{)}_{i\in I}:=\prod _{i\in I}{M}_i:=\{(x_i{)}_{i\in I}:x_i\in M_i\text{ für alle }i\in I\}$

Beweisidee: Konstruktion der MLC-Algebraerweiterung

Ausgehend von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ wird ein Produktraum $((A_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜},\Vert |\cdot |{\Vert }_{𝒜})$ von normierten Algebren $(A_{\alpha },\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha })$ betrachtet und topologisiert. Auf die normierten Algebren wird mit der Eigenschaft $z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$ die gesuchte Eigenschaft $\Vert |[x{]}_{\alpha }|{\Vert }_{\alpha }\le D_{\alpha }\cdot \Vert |[z{]}_{\alpha }\cdot [x{]}_{\alpha }|{\Vert }_{\alpha }$ geliefert und auf alle normierten Algebren $(A_{\alpha },\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha })$ angewendet, um eine Algebraerweiterung $(B_{\alpha },\Vert |\cdot |{\Vert }_{B_{\alpha }})$ zu erhalten, in der $[z{]}_{\alpha }\in A_{\alpha }$ invertierbar ist.

Algebraisomorphismus in den Quotientenräumen

Der Algebraisomorphismus wird dann mit

${\tau }_{\alpha }:A_{\alpha }\to A{\text{'}}_{\alpha }\subset B_{\alpha }$,

mit ${\tau }_{\alpha }([z{]}_{\alpha })=z_{\alpha }\in A{\text{'}}_{\alpha }$ bezeichnet.

Algebraerweiterung von MLC-Quotientenalgebren

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen.

Schritt 1: Übergang zu Quotientenräumen

Man betrachtet für jede submultitplikative Halbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ das Ideal

$N_{\alpha }:=\{x\in A:\Vert x{\Vert }_{\alpha }=0\}$

Dann definiert man $A_{\alpha }$ als Quotientenraum $A_{\alpha }:=A/N_{\alpha }$.

Aufgabe: Idealeigenschaften nachweisen

Zeigen Sie, dass $N_{\alpha }$ ein Ideal in $A$ und $A_{\alpha }$ eine Algebra.

Schritt 2: Topologisierung der Quotientenräume

Man verwendet als Halbnorm auf dem Quotientenraum die $\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha }$ mit

$\Vert |[x{]}_{\alpha }|{\Vert }_{\alpha }:=\Vert |\underset{=[x{]}_{\alpha }}{\underbrace{x+N_{\alpha }}}|{\Vert }_{\alpha }=\underset{u\in N_{\alpha }}{\inf }\Vert x+u{\Vert }_{\alpha }$

Aufgaben: Submultiplikative Halbnorm im Quotientenraum

Zeigen Sie, dass $\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha }$ eine submultiplikative Norm auf dem Quotientenraum $A_{\alpha }$ ist und $\Vert |[x{]}_{\alpha }|{\Vert }_{\alpha }=\Vert x{\Vert }_{\alpha }$ gilt.

Schritt 3: Inverse im Quotientenraum

Für die normierten Algebren $(A_{\alpha },\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha })$ nutzt man die Charakterisierung der $ℬ$-Regularität und erhält Algebraerweiterungen $(B_{\alpha },\Vert |\cdot |{\Vert }_{B_{\alpha }})$ in denen $z_{\alpha }\in A_{\alpha }$ das inverse Element $[b_{\alpha }{]}_{\alpha }\in B_{\alpha }$ mit dem Algebraisomorphismus der Einbettung ${\tau }_{\alpha }:A_{\alpha }\to A{\text{'}}_{\alpha }\subset B_{\alpha }$ mit einem Inversen Element $b_{\alpha }\in B_{\alpha }$ zu $[z{]}_{\alpha }\in A_{\alpha }$ d.h.

$z_{\alpha }\cdot b_{\alpha }=b_{\alpha }\cdot z_{\alpha }=e_{\alpha }=t_{\alpha }(\underset{[e_A{]}_{\alpha }}{\underbrace{e_A+N_{\alpha }}})$

Aufgabe: Positivität der Halbnorm für das inverse Element

Zeigen Sie, dass $\Vert |z_{\alpha }|{\Vert }_{B_{\alpha }}>0$ und $\Vert |b_{\alpha }|{\Vert }_{B_{\alpha }}>0$ für alle $\alpha \in 𝒜$ erfüllt sind, wenn $z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$ ist. Nutzen Sie dazu die Eigenschaft, dass das Halbnormensystem $\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha }$ unital positiv ist und mit ${\tau }_{\alpha }:A_{\alpha }\to A{\text{'}}_{\alpha }$ eine Isometrie vorliegt.

Aufgabe: Unitale Positivität der Halbnormen und inverse Elemente in Quotientenräumen

Zeigen Sie, dass in einem unital positiven multipliklativen Halbnormensystem $(\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ ein Element $z\in A$ genau dann in $ℳℒ𝒞$-regulär ist, wenn es $ℬ$-regulär in jeder normierten Algebra $(A_{\alpha },\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha })$ für alle $\alpha \in 𝒜$ ist mit:

$\Vert |[x{]}_{\alpha }|{\Vert }_{\alpha }:=\Vert |\underset{=[x{]}_{\alpha }}{\underbrace{x+N_{\alpha }}}|{\Vert }_{\alpha }=\underset{u\in N_{\alpha }}{\inf }\Vert x+u{\Vert }_{\alpha }$

Schritt 4: Definition des Algebraisomorphismus

Der Algebraisomorphismus $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ setzt sich aus zwei verketteten Abbildungen $\tau :={\tau }_2\circ {\tau }_1$ zusammen mit $\hat{A}:=\{([x{]}_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}:x\in A\}$:

• ${\tau }_1:A\to \hat{A}\subset (A_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$ mit ${\tau }_1(x)=([x{]}_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$
• ${\tau }_2:\hat{A}\to A^{\prime }\subset (A{\text{'}}_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}\subset B=(B_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$ mit ${\tau }_2(x^{\prime })={\tau }_2(([x{]}_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜})=(x_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$

Aufgabe: Surjektivität und Produktraum

Zeigen Sie zunächst, dass ${\tau }_1$ und ${\tau }_2$ Algebraisomorphismen von Algebraerweiterungen sind!

Aufgabe: Surjektivität und Produktraum

Ersetzt man den Wertebereich $\hat{A}:=\{([x{]}_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}:x\in A\}$ durch den Produktraum der Quotientenräume $(A_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$, so ist die modifizierte Abbildungen $\widetilde{{\tau }_1}$ keine Algebraisomorphismen mehr. Begründen Sie, warum ist $\widetilde{{\tau }_1}:A\to (A_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$ mit geändertem Wertebereich nicht mehr surjektiv ist, wenn $𝒜$ mehr als einen Index enthält?

Schritt 5: Neutrales Element im Produktraum

Das neutrale im Produktraum erhält man damit über $\tau$ mit:

$\tau (e_A)={\tau }_2(([e_A{]}_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜})={\tau }_2((e_A+N_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜})=(e_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}=:e_B$.

Die Invertierbarkeit im Produktraum $B=(B_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$ erhält man über

$\begin{array}{ccc}{e}_B& =& \tau (e_A)=(e_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}=(z_{\alpha }\cdot b_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}\\ & =& (z_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}\cdot (b_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}=\tau (z)\cdot b\end{array}$.

Bermerkung: Notation der Elemente in der Algebraerweiterung

Man muss bei der Notation in der Algebraerweiterung folgenden Notationen unterscheiden:

• $(b_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}\in (B_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$
• $([z{]}_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}=(z+N_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}\in (A_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$ mit $z\in A$

In der zweiten Schreibweise gibt es in jeder Komponente $\alpha \in 𝒜$ des Produktraumes $(A_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$ den gleichen Repräsentanten $z\in A$, während in der ersten Schreibweise für die Notation des Inversen die Repräsentanten $b_{\alpha }$ für jedes $\alpha \in 𝒜$ unterschiedlich sein können.

Isometrische Abbildung

Nach Konstruktion der Algebraerweiterung der normierten Algebra $(A_{\alpha },\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha })$ Algebraerweiterungen auf $(B_{\alpha },\Vert |\cdot |{\Vert }_{B_{\alpha }})$ nach der Charakterisierung der $ℬ$-Regularität ist die Algebraerweiterung eine Isometrie, d.h. für alle $x\in A$ gilt für alle ${\alpha }_0\in 𝒜$:

$\Vert |([x_{\alpha }{]}_{\alpha }{)}_{{\alpha }_0\in 𝒜}|{\Vert }_{\alpha }=\Vert |{\tau }_2(([x_{\alpha }{]}_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜})|{\Vert }_{B_{{\alpha }_0}}$

Schritt 6: Topologisierung der Algebraerweiterung

Für alle ${\alpha }_o\in 𝒜$ definiert man mit $\tau (x)=([x{]}_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}\in (B_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$ und für $\hat{b}:=([{\hat{b}}_{\alpha }{]}_{\alpha \in \tilde{A}}\in B$ setzt man

$\Vert \hat{b}{\Vert }_{{\alpha }_o}:=\Vert ([{\hat{b}}_{\alpha }]{)}_{\alpha \in 𝒜}{\Vert }_{{\alpha }_o}:=\Vert |[{\hat{b}}_{{\alpha }_o}{]}_{{\alpha }_o}|{\Vert }_{{\alpha }_o}$.

Aufgabe: Zeigen Sie, dass der Algebraisomorphismus $\tau$ eine Isometrie ist, d.h.

${\mathrm{\forall }}_{{\alpha }_o\in 𝒜}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\Vert x{\Vert }_{{\alpha }_o}=\Vert |\tau (x)|{\Vert }_{{\alpha }_o}$

Schritt 7: Inverses Element in der Algebraerweiterung

Das inverse Element von $z$ ist dann in $B:=(B_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$ mit einem inversen Element $b\in B$, das komponentenweise als $b:=(b_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}\in B$ definiert wird mit $b_{\alpha }\in B_{\alpha }$ für alle $\alpha \in A$.

Bemerkung: Vollständigkeit

Die Vollständigkeit, die für die B-Regularität noch betrachtet wurde, spielt hier für die $ℳℒ𝒞$-Regularität keine Rolle, da nur das Vorgehen für Konstruktion einer Algebraerweiterung zu einer normierten Algebra $((A_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜},\Vert |\cdot |{\Vert }_{𝒜})$ benötigt wird.

Geschichte

Der Beweis der Charakterisierung $ℳℒ𝒞$-Regularität wurde von Zelazko bereits 1971 gezeigt als Charakterisierung der permant singulären Elemente von $ℳℒ𝒞$-Algebren.

Spezialfall der MPC-Regularität

Der Nachweis der Charakterisierung der $ℳℒ𝒞$-Regularität ist ein Spezialfall der $ℳ𝒫𝒞$-Regularität für multplikative pseudokonvexe Räume, wobei die $p$-Normen mit $p=1$ homogen sind und damit die Eigenschaften einer Norm erfüllt.

Algebraisomorphismen

Bei der $ℳℒ𝒞$-Regularität wurde die Algebraerweiterung $B$ über die $ℬ$-Regularität, die Definition von isometrischen Algebraisomorphismen und der Betrachtung von Quotientenräume konstruktiert, in der ein $z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$ invertierbar ist.

Direkte Konstruktion der Algebraerweiterung

Eine direkte Konstruktion der Algebraerweiterung über die topologische Eigenschaften von $z\in A$ ist für $ℳℒ𝒞$-Regularität ebenfalls möglich. Dabei wird wieder die Polynomalgebra $A[t]$ topologisiert und dann der Quotientenraum $A[t]/I$ betrachtet, wobei dann $I$ das Hauptideal $I:=o\cdot A[t]$ ist und $o(t):=z\cdot t-e_A$ ein Repräsentant des Nullvektors $0_B$ in der Algebraerweiterung $B=A[t]/I$ ist. Der direkte Beweis wird bei der Charakterisierung der $ℳ𝒫𝒞$-Regularität geführt und kann mit $p=1$ auf $ℳℒ𝒞$-Regularität übertragen werden.

Siehe auch

• Algebraerweiterung
• Konstruktion des Algebraisomorphismus
• Halbnorm
• Gaugefunktional
• Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)
• Ideal (Algebra)
• Normen, Metriken, Topologie
• Minkowski-Funktional
• P-Regularität
• P-Regularität über Quasinormen
• B-Regularität
• LC-Regularität
• MPC-Regularität
• Topologisierungslemma für Algebren
• topologische Nullteiler
• Relativtopologie

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