Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt

Cauchy-Produkt - Stetigkeit

Betrachtet man zwei Polynome $p,q\in A[t]$ in dem normierten Raum $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_D)$.

$$p(t):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k\text{ und }q(t):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_k\cdot t^k$$

Dann liefert die Definition der Norm für das Produkt $p\cdot q$:

$$\Vert |p\cdot q|{\Vert }_{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(\alpha )\cdot {\Vert \sum _{k=0}^n{p}_k\cdot q_{n-k}\Vert }_{\alpha }$$

Halbnormeigenschaften

Für die folgenden Abbildung $\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha }:\to {ℝ}^{+}$ sind Halbnormen auf der Polynomalgebra $A[t]$. Die Halbnormeigenschaften und die Hausdorff-Eigenschaft auf $A[t]$ werden nun gezeigt. Diese bestehen aus elementaren Anwendungen der Halbnormeigenschaften des gegebenen Halbnormensystems auf $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$.

Homogenität

Für alle $p\in A[t]$ und alle $\lambda \in 𝕂$ gilt:

$$\begin{array}{ccc}\Vert |\lambda \cdot p|{\Vert }_{\alpha }& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k(\alpha )\cdot {\Vert \lambda \cdot p_k\Vert }_{\alpha }\\ & =& |\lambda |\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k(\alpha )\cdot {\Vert p_k\Vert }_{\alpha }\\ & =& |\lambda |\cdot \Vert |p|{\Vert }_{\alpha }\end{array}$$

Definitheit

Gilt für $p\in A[t]$, dass $p=0_{{}_{A[t]}}$ das Nullpolynom in $A[t]$, dann gibt ein $k\in {\mathbb{N}}_0$ mit $p_k=0_{{}_A}$, d.h., das Polynom muss wenigsten einen vom Nullvektor verschiedenen Koeffizienten haben und man erhält mit der Hausdorff-Eigenschaft der gegebenen topologischen Algebra $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ mindestens eine Halbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ mit $\alpha \in 𝒜$ mit:

$\Vert p_k{\Vert }_{\alpha }>0\Rightarrow C_k(\alpha )\cdot \Vert p_k{\Vert }_{\alpha }>0\Rightarrow \Vert |p|{\Vert }_{\alpha }>0$

Dreiecksungleichung

$$\begin{array}{ccc}\Vert |p+q|{\Vert }_{\alpha }& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(\alpha )\cdot {\Vert p_k+q_k\Vert }_{\alpha }\\ & \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(\alpha )\cdot ({\Vert p_k\Vert }_{\alpha }+{\Vert q_k\Vert }_{\alpha })\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(\alpha )\cdot {\Vert p_n\Vert }_{\alpha }+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(\alpha )\cdot {\Vert q_n\Vert }_{\alpha }\\ & =& \Vert |p|{\Vert }_{\alpha }+\Vert |q|{\Vert }_{\alpha }\end{array}$$

Stetigkeit der Multiplikation

Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ gibt es zu jedem $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$, sodass für alle $x,y\in A$

$\Vert x\cdot y{\Vert }_{\alpha }\le \Vert x{\Vert }_{\beta }\cdot \Vert y{\Vert }_{\beta }$

Diese Halbnorm wird nun verwendet, um auf für die Cauchy-Multiplkation auf $A[t]$ eine entsprechend Halbnorm $\Vert |\cdot |{\Vert }_{\beta }$ zu definieren, mit der die Cauchy-Multiplikation stetig wird.

TGP-Regularitätskriterium

Aus der Negation der Eigenschaft, dass ein Element topologisch kleine Potenzen besitzt, erhält man Konstanten $D_n(\alpha )>0$, die als Folge von positive Konstanten ${(D_n(\alpha ))}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ entweder direkt oder über das TGP-Regularitätskriterium für Elemente mit topologisch großen Potenzen für jedes $\alpha \in 𝒜$ gewählt werden können. Diese Konstantenfolge ${(D_n(\alpha ))}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ wird in Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation verwendet.

Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation

Mit dem Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation und $K_{\alpha }=1$ Stetigkeitskonstante der Addition einer Halbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$. Ferner seien zwei Folgen positiver Zahlen $(C_n(\alpha ){)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ und $(D_n(\alpha ){)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ gegeben. Dann gibt es eine Folge $(C_n(\beta ){)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:

• (KL1) $C_i(\beta )\ge D_i(\alpha )$ für alle $i\in {\mathbb{N}}_0$
• (KL2) $C_{i+j}(\alpha )\le C_i(\beta )\cdot C_j(\beta )$ für alle $i,j\in {\mathbb{N}}_0$.

Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra

Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf $A$ und der Anwendung des Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation erhält man:

$\begin{array}{ccc}\Vert |p\cdot q|{\Vert }_{\alpha }& \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(\alpha )\cdot {\Vert \sum _{k=0}^n{p}_k\cdot q_{n-k}\Vert }_{\alpha }\\ & \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(\alpha )\cdot \sum _{k=0}^n{\Vert p_k\cdot q_{n-k}\Vert }_{\alpha }\\ & \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\underset{=C_k(\beta )\cdot C_{n-k}(\beta )}{\underbrace{C_n(\alpha )}}\cdot {\Vert p_k\Vert }_{\beta }\cdot {\Vert q_{n-k}\Vert }_{\beta }\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n{C}_k(\beta )\cdot {\Vert p_k\Vert }_{\beta }\cdot C_{n-k}(\beta )\cdot {\Vert q_{n-k}\Vert }_{\beta }\\ & =& \Vert |p|{\Vert }_{\beta }\cdot \Vert |q|{\Vert }_{\beta }\end{array}$

Bemerkung: Indizes der Halbnormen

Mit der obigen Abschätzung für alles $\alpha \in 𝒜$ erhält man, dass die Multiplikation auf $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_{𝒜})$ stetig ist. Die Indizes $\alpha ,\beta \in 𝒜$ induzieren durch das gegebene Halbnormensystem ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ auch für das Halbnormensystem $\Vert |\cdot |{\Vert }_{𝒜}$ auf $A[t]$ induziert. Der Zusammenhang von $\alpha ,\beta \in 𝒜$ bzgl. der Stetigkeit der Multiplikation bleibt auch auf $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_{𝒜})$ erhalten.

Stetigkeitssequenzen

Bei dem obigen Vorgehen muss man nun wieder zu dem $\beta \in 𝒜$ wieder ein $\gamma \in 𝒜$ und entsprechende Konstanten finden, um die Halbnorm nach oben submultiplikativ abzuschätzen.

$\Vert |p\cdot q|{\Vert }_{\beta }\le \Vert |p|{\Vert }_{\gamma }\cdot \Vert |q|{\Vert }_{\gamma }$

Dadurch entstehen Stetigkeitssequenzen der Multiplikation ${(\Vert |\cdot |{\Vert }_{(\alpha ,n)})}_{n\in {\mathbb{N}}_o}$, die bei einem $\alpha \in 𝒜$ starten.

Siehe auch

• Halbnorm
• Stetigkeit Cauchy-Produkt in Banachalgebren
• PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt
• TGP-Regularitätskriterium
• Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation - (Foliensatz)

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