Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt

Cauchy-Produkt - Stetigkeit

Betrachtet man zwei Polynome $p,q\in A[t]$ in dem normierten Raum $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_D)$.

$$p(t):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k\text{ und }q(t):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_k\cdot t^k$$

Dann liefert die Definition der Norm für das Produkt $p\cdot q$:

$$\Vert |p\cdot q|{\Vert }_D=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}^n\cdot {\Vert \sum _{k=0}^n{p}_k\cdot q_{n-k}\Vert }_A$$

Normeigenschaften

Für die folgende Abbildung $\Vert |\cdot |{\Vert }_D:\to {ℝ}^{+}$ gelten die Normeigenschaften, denn es gilt:

Homogenität

$$\Vert |\lambda \cdot p|{\Vert }_D=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}^n\cdot {\Vert \lambda \cdot p_k\Vert }_A|\lambda |\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}^n\cdot {\Vert p_k\Vert }_A=|\lambda |\cdot \Vert |\lambda \cdot p|{\Vert }_D$$

Definitheit

Gilt für $p\in A[t]$, dass $p=0_{{}_{A[t]}}$ das Nullpolynom in $A[t]$, dann gibt ein $k\in {\mathbb{N}}_0$ mit $p_k=0_{{}_A}$, d.h., das Polynom muss wenigsten einen vom Nullvektor verschiedenen Koeffizienten haben und man erhältmit den Normeigenschaften von $\Vert \cdot {\Vert }_A$ auch:

$\Vert p_k{\Vert }_A>0\Rightarrow D^k\cdot \Vert p_k{\Vert }_A>0\Rightarrow \Vert |\lambda \cdot p|{\Vert }_D>0$

Dreiecksungleichung

$$\begin{array}{ccc}\Vert |p+q|{\Vert }_D& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}^n\cdot {\Vert p_k+q_k\Vert }_A\\ & \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}^n\cdot ({\Vert p_k\Vert }_A+{\Vert q_k\Vert }_A)\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}^n\cdot {\Vert p_n\Vert }_A+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}^n\cdot {\Vert q_n\Vert }_A\\ & =& \Vert |p|{\Vert }_D+\Vert |q|{\Vert }_D\end{array}$$

Submultiplikativität

$\begin{array}{ccc}\Vert |p\cdot q|{\Vert }_D& \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}^n\cdot {\Vert \sum _{k=0}^n{p}_k\cdot q_{n-k}\Vert }_A\\ & \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}^n\cdot \sum _{k=0}^n{\Vert p_k\cdot q_{n-k}\Vert }_A\\ & \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\underset{=D^k\cdot D^{n-k}}{\underbrace{D^n}}\cdot {\Vert p_k\Vert }_A\cdot {\Vert q_{n-k}\Vert }_A\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n{D}^k\cdot {\Vert p_k\Vert }_A\cdot D^{n-k}\cdot {\Vert q_{n-k}\Vert }_A\\ & =& \Vert |p|{\Vert }_D\cdot \Vert |q|{\Vert }_D\end{array}$

D.h., dass die Multiplikation auf $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_D)$ stetig ist. Der Index $D\in {ℝ}^{+}$ bezeichnet die gewählte Basis für die Koeffizienten $D^n$.

Siehe auch

• B-Regularität
• P-Regularität
• Stetigkeit - Cauchymultiplikation - T-Regularität - (Foliensatz)
• LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt - (Foliensatz)
• PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt - (Foliensatz)

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