Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler

Einleitung

Multiplikative topologische Nullteiler charakterisieren die $ℳ ℒ 𝒞$ -regulären (bzw. die $ℳ 𝒫 𝒞$ -regulären Elemente) in kommuntativen multiplikativen topologischen Algebren mit einem submultiplikativen Halbnormensystem (bzw. submultiplikativen $p$ -Halbnormensystem).

\forall_{α \in 𝒜, x, y \in A} : ‖ x \cdot y ‖_{α} \leq ‖ x ‖_{α} \cdot ‖ y ‖_{α}

MPC- bzw. MLC-Regularität

Die Negation der Eigenschaft, ein multiplikativer topologischer Nullteiler zu sein, führt dazu, dass ein $z \in A \in {ℳ 𝒫 𝒞}_{e}^{k}$ mit $z \notin ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A)$ ein $ℳ 𝒫 𝒞$ -reguläres Element in kommuntativen unitalen topologische Algebren $(A, ‖ \cdot ‖_{𝒜})$ ist. Dies gilt analog für die Algebrenklasse ${ℳ ℒ 𝒞}_{e}^{k}$ . Daher werden die multiplikativen topologischen Nullteiler in dieser Lerneinheit genauer untersucht.

Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

In einer Nullumgebung kann man die skalar-unbeschränkten Teilmenge einer Nullumgebung identifizieren. Das sind die Elemente $u \in A$ einer Nullumgebung $U \in 𝔘 (0_{A})$ , bei denen beliebige skalare Vielfache $λ \cdot u$ der Vektoren ebenfalls wieder in der Nullumgebung liegen (i.e. $λ \cdot u \in U$ für alle $λ \in 𝕂$ ).

Definition: Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

Sei $(A, 𝒯_{A})$ eine topologische Algebra mit $𝒯_{A}$ als System von offenen Mengen und $U_{0} \in 𝔘 (0_{A})$ eine Nullumgebung. Die skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung $Λ (U_{0}) \subseteq U_{0}$ wird dann wie folgt definiert:

Λ (U_{0}) : = {u \in U_{0} : \forall_{λ \in 𝕂} : λ \cdot u \in U_{0}}

Bemerkung: Nullvektor

Für jede Nullumgebung $U_{0}$ gilt $Λ (U_{0}) = \emptyset$ , denn der Nullvektor $0_{A} \in U_{0}$ liegt in der skalar-unbeschränkten Teilmenge $Λ (U_{0})$ von beliebigen Nullumgebungen $U_{0} \in 𝔘 (0_{A})$ , denn für alle $λ \in 𝕂$ erhält man die Bedingung:

λ \cdot 0_{A} = 0_{A} \in U_{0} .

Aufgabe 1 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

Sei $(𝒞 (ℝ, ℝ), ‖ \cdot ‖_{ℕ})$ die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$ mit dem Halbnormensystem $‖ \cdot ‖_{ℕ}$ und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

‖ f ‖_{n} : = \int_{- n}^{+ n} | f (x) | d x

Geben Sie zu dem lokalkonvexen topologischen Vektorraum $(𝒞 (ℝ, ℝ), ‖ \cdot ‖_{ℕ})$ zu der offenen Menge

B_{ε}^{(n)} (0_{V}) : = {f : ‖ f ‖_{n} = \int_{- n}^{+ n} | f (x) | d x < ε}

die Elemente aus $Λ (B_{ε}^{(n)} (0_{V}))$ an.

Aufgabe 2 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

Sei $(𝒞 (ℝ, ℝ), ‖ \cdot ‖_{ℕ}^{(*)})$ die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$ mit dem Halbnormensystem $‖ \cdot ‖_{ℕ}^{(*)}$ und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

‖ f ‖_{n}^{(*)} : = \max {x \in [- n, + n]} | f (x) |

Geben Sie in $(𝒞 (ℝ, ℝ), ‖ \cdot ‖_{ℕ})$ zu der offenen Menge $B_{ε}^{(n, *)} (0_{V}) : = {f : ‖ f ‖_{n}^{(*)} < ε}$ wieder alle Elemente aus $Λ (B_{ε}^{(n, *)} (0_{V}))$ an. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen Aufgabe 1 und 2 bzgl. der skalaren Unbeschränktheit?

Beispiele für skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

Wir betrachten die reelle $ℳ ℒ 𝒞$ -Algebra von Potenzreihen $ℝ^{\infty} [t]$ mit reellen Koeffizienten und der Partialsummentopologie. Dabei sind mit $ℝ^{\infty} [t]$ beliebige Potenzreihen gemeint, die nicht notwendig konvergent bzw. absolut konvergent mit Koeffizienten in $ℝ$ sind.

\begin{matrix} p (t) & : = & \sum_{k = 0}^{\infty} p_{k} \cdot t^{k} wie folgt definiert sind: \\ {| ‖ p ‖ |}^{↓ m} & : = & | ‖ p^{↓ m} ‖ | = \sum_{k = 0}^{m} | p_{k} | mit m \in ℕ . \end{matrix}

Aufgabe: Skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung

Sei $ε > 0$ beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass alle Potenzreihen $p \in A : = ℝ^{\infty} [t]$ mit $p_{k} = 0$ für alle $k \in {0, 1, \dots, m}$ zur skalar-unbeschränkten Teilmenge der Nullumgebungen $U_{m} \in 𝔘_{𝒯} (0_{A})$ gehören mit:

U_{m} : = B_{ε}^{m} (0_{A}) = {p \in A : ‖ p ‖^{↓ m} < ε}

Cauchy-Produkt auf der Potenzreihenalgebra

$ℝ^{\infty} [t]$ wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen $p, q$ als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.

\begin{matrix} p (t) & : = & \sum_{k = 0}^{\infty} p_{k} \cdot t^{k}, q (t) : = \sum_{k = 0}^{\infty} q_{k} \cdot t^{k} und \\ (p \cdot q) (t) & : = & p (t) \cdot q (t) : = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} p_{k} \cdot q_{n - k} \cdot t^{n} . \end{matrix}

Aufgabe 3 - Cauchy-Produkt - submultiplikative Halbnormen

Zeigen Sie, dass die Partialsummentopologie submultiplikative Halbnormen auf der Potenzreihenalgebra erzeugt.

Definition: Multiplikative topologische Nullteiler

Sei $(A, 𝒯_{A})$ eine topologische Algebra. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige multiplikative topologische Nullteiler. Dabei gilt für eine multiplikative Nullumgebung $U_{0} \in 𝔘 (0_{A})$ die Bedingung:

U_{0} \cdot U_{0} = U_{0}^{2} \subseteq U_{0}

Für das entsprechende Gaugefunktionale $‖ \cdot ‖_{α}$ gilt dann $‖ x \cdot y ‖_{α} \leq ‖ x ‖_{α} \cdot ‖ y ‖_{α}$ für alle $x, y \in A$ .

Definition: Rechtsseitiger multiplikativer topologische Nullteiler

Man nennt $z \in A$ einen rechtsseitgen multiplikativer topologischen Nullteiler in $A$ (Bezeichnung: $z \in {ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A)$ ), falls es eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung $U_{0} \in 𝔘 (0_{A})$ gibt, so dass gilt für alle $λ > 0$ :

λ \cdot U_{0} \cap z \cdot (A ∖ U_{0}) = \emptyset

Definition: Linksseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler

$z \in A$ heißt linksseitger multiplikativer topologischer Nullteiler in $A$ (Bezeichnung: $z \in {ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A)$ ), falls ese eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung $U_{0} \in 𝔘 (0_{A})$ gibt, so dass für alle $λ > 0$ gilt:

λ \cdot U_{0} \cap (A ∖ U_{0}) \cdot z = \emptyset

Definition: multiplikativer topologischer Nullteiler

$z \in A$ ist ein multiplikativer topologischer Nullteiler (Bezeichnung: $z \in ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A)$ ), falls $z$ ein rechtseitiger oder ein linkseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler ist.

Bemerkung: Multiplikative topologische Nullteiler

Die Definition eines multiplikativen topologischen Nullteilers basiert auf dem Charakterisierungssatz von Zelazko für ${ℳ ℒ 𝒞}_{e}^{k}$ -reguläre Elemente (1971)^[1], bei dem die Menge der multiplikativen topologischen Nullteiler genau die ${ℳ ℒ 𝒞}_{e}^{k}$ -singulären Elemente der Algebra darstellt.

Lemma: MTNT - Gaugefunktionale

Sei $(A, ‖ \cdot ‖_{𝒜})$ ein submultiplikatives $p$ -Gaugefunktionalsystem $‖ \cdot ‖_{𝒜}$ , dann gilt mit $ℳ (𝒜)$ als Menge der Gaugefunktionalindizes, die submultiplikativ, sind folgende Äquivalenz:

$z \in {ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A) ⟺ \exists_{α \in ℳ (𝒜)} : \inf_{‖ x ‖_{α} = 1} ‖ z \cdot x ‖_{α} = 0$
$z \in {ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A) ⟺ \exists_{α \in ℳ (𝒜)} : \inf_{‖ x ‖_{α} = 1} ‖ x \cdot z ‖_{α} = 0$

In kommutativen Algebren gilt ${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A) = {ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A) = ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A)$ .

Beweis - MTNT - Gaugefunktionale

Beweis siehe MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale.

Lemma: Negation MTNT - Gaugefunktionale

Sei $(A, ‖ \cdot ‖_{𝒜})$ ein unital positives submultiplikatives $p$ -Halbnormensystem $‖ \cdot ‖_{𝒜}$ einer ${ℳ 𝒫 𝒞}^{k}$ -Algebra, dann gilt:

z \notin ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A) : ⟺ \forall_{α \in 𝒜} \exists_{D_{α} > 0} : ‖ x ‖_{α} \leq D_{α} ‖ z \cdot x ‖_{α}

Bemerkung: MPC-Regularität

Bei der Charakterisierung der ${ℳ 𝒫 𝒞}_{e}^{k}$ -Regularität sind die ${ℳ 𝒫 𝒞}_{e}^{k}$ -singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler und die ${ℳ 𝒫 𝒞}_{e}^{k}$ -regulären Elemente die Elemente, die die folgenden Ungleichung für alle $α \in 𝒜$ mit geeignet gewählten $D_{α} > 0$ erfüllen für alle $x \in A$ :

‖ x ‖_{α} \leq D_{α} ‖ z \cdot x ‖_{α}

Lemma: Zusammenhang MTNT - TNT

Sei $(A, {‖ \cdot ‖}_{𝒜}) \in 𝒦$ eine topologische Algebra mit einem unital-positiven Gaugefunktionalsystem ${‖ \cdot ‖}_{𝒜}$ , dann gilt $𝒯 𝒩 𝒯 (A) \subseteq ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A)$ .

Beweis - Zusammenhang MTNT - TNT

Sei $(A, {‖ \cdot ‖}_{𝒜}) \in 𝒦$ , dann gilt $z \in {𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A)$ genau dann, wenn es ein $α \in 𝒜$ gibt, so dass für alle $β \in 𝒜$ gilt:

\inf_{{‖ x ‖}_{α} = 1} {‖ z \cdot x ‖}_{β} = 0

Wenn $‖ \cdot ‖_{α}$ submultiplikativ ist, dann gilt die Aussage insbesondere für $β = α$ und man erhält die Behauptung. $◻$

Spezialfall für MTNT-Elemente

Für multiplikative topologische Nullteiler muss das Infimum aber nur 0 sein für das spezielle $α \in 𝒜$ . Für rechtsseitige (linksseitige) topologische Nullteiler muss das Infimum aber für alle $β \in 𝒜$ gelten. Also folgt insbesondere:

\inf_{{‖ x ‖}_{α} = 1} {‖ z \cdot x ‖}_{α} = 0

Damit gilt auch $z \in {ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A)$ .

Linksseitige und allgemeine TNT und MTNT

Der Beweis für den Zusammenhang zwischen multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale verläuft für inksseitige und allgemeine TNT und MTNT analog.

Bemerkung: MTNT - über Nullumgebungen

Sei $(A, 𝒯_{A})$ und $z \in {𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A)$ ein rechtseitiger topologischer Nullteiler, für den gilt nach Definition, dass es eine Nullumgebung $U_{0} \in 𝔘 (0_{A})$ gibt, so dass gilt:

0_{A} \in \overline{z \cdot (A ∖ U_{0})}

Damit gilt u.a., dass es für jede Nullumgebgung $U \in 𝔘_{𝒯} (0_{A})$ gilt:

0_{A} \in U \cap z \cdot (A ∖ U_{0}) = \emptyset

Skalar unbeschränkte Teilmengen

Da der Nullvektor $0_{A} \in A$ in jeder skalar unbeschränkten Teilmengen $Λ (U)$ von beliebigen Nullumgebungen $U \in 𝔘 (0_{A})$ enthalten ist, gilt für alle $λ \in 𝕂$ die Bedingung:

λ \cdot 0_{A} = 0_{A} \in U_{0}

Lemma: Zusammenhang MTNT und TNT

Sei $(A, 𝒯_{A})$ eine topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen. Dann gelten folgende Teilmengenbeziehungen:

${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A) \supseteq {𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A)$
${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A) \supseteq {𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A)$
$ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A) \supseteq 𝒯 𝒩 𝒯 (A)$

Aufgabe 4 - Teilmengenbeziehung zu MTNT

Die folgenden Beweisaufgaben beziehen sich auf den Zusammenhang von multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteilern. Zeigen Sie die folgenden Aussagen über die Verwendung eines unital-positiven Gaugefunktionalsystems $‖ \cdot ‖_{𝒜}$ auf $(A, ‖ \cdot ‖_{𝒜})$ z.B. für $𝒯 𝒩 𝒯 (A) \subseteq ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A)$ .

Beweis Lemma Zusammenhang MTNT und TNT

Beweisen Sie, dass in einer topologische Algebra $(A, 𝒯_{A})$ mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen die folgende Teilmengenbeziehungen gelten:

${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A) \supseteq {𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A)$
${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A) \supseteq {𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A)$
$ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A) \supseteq 𝒯 𝒩 𝒯 (A)$

Banachalgebren - Lokalbeschränkte Algebren

Zeigen Sie, dass in Banachalgebren bzw. lokalbeschränkten Algebren die Gleichheit gilt:

${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A) = {𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A)$
${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A) = {𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A)$
$ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A) = 𝒯 𝒩 𝒯 (A)$

MLC- und MPC-Regularität

Begründen Sie, dass die ${ℳ ℒ 𝒞}_{e}^{k}$ -singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler sind, d.h. für ein $z \in A \in {ℳ ℒ 𝒞}_{e}^{k}$ gilt:

z \in ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A) ⟺ z \notin 𝒢_{ℳ ℒ 𝒞} (A)

Lemma: Zusammenhang MTNT und TKP

Sei $(A, 𝒯_{A})$ eine topologische Algebra. Dann gelten die Teilmengenbeziehung auf für Elemente mit topologisch kleinen Potenzen über folgende Teilmengenbeziehungen:

${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A) \supseteq {𝒯 𝒦 𝒫}_{l} (A)$
${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A) \supseteq {𝒯 𝒦 𝒫}_{r} (A)$
$ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A) \supseteq 𝒯 𝒦 𝒫 (A)$

Bemerkung TNT - TKP

Da topologische Nullteiler auch Elemente mit topologisch kleinen Potenzen sind, folgt die Übungsaufgabe obenin einer topologische Algebra $(A, 𝒯_{A})$ mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen auch unmittelbar aus der folgenden Teilmengenbeziehung:

${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A) \supseteq {𝒯 𝒦 𝒫}_{l} (A) \supseteq {𝒯 𝒩 𝒯}_{l} (A)$
${ℳ 𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A) \supseteq {𝒯 𝒦 𝒫}_{r} (A) \supseteq {𝒯 𝒩 𝒯}_{r} (A)$
$ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A) \supseteq 𝒯 𝒦 𝒫 (A) \supseteq 𝒯 𝒩 𝒯 (A)$

Bezug zum Haupsatz über K-reguläre Elemente

Über die Teilmengenbeziehung $ℳ 𝒯 𝒩 𝒯 (A) \supseteq 𝒯 𝒦 𝒫 (A)$ kann es Elemente in eine $ℳ ℒ 𝒞$ -Algebra $A$ geben, die zwar ein multiplikativer topologischer Nullteiler sind, aber dennoch topologisch große Potenzen besitzen. In einem solchen Fall kann ein $ℳ ℒ 𝒞$ -singuläres Element dennoch $ℒ 𝒞$ -regulär sein.

Quellennachweis

↑ Zelazko, W., (1971), On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37, S. 181-190;

Siehe auch

Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler
siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.

[1] Zelazko, W., (1971), On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37, S. 181-190;

[1]