Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär

Einführung

Zunächst werden algebraische Eigenschaften untersucht, die ein Element $z$ aus einer Algebra $A$ zu einem permanent singulären Element machen, d.h. bei dem also in beliebigen Algebraerweiterung kein inverses Element $b=z^{-1}\in B$ existieren kann.

Nullelement - permanent singulär

Sei $(A,{𝒯}_A)$ sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement $e\in A$ mit $e=0_A$. Der Nullvektor $0_A\in A$ ist permanent singulär.

Beweis durch Widerspruch

Annahme: Es gibt eine Algebraerweiterung $(B,{𝒯}_B)$ von $(A,{𝒯}_A)$, in der Nullvektor $0_A$ invertierbar ist, d.h. das multiplikative Inverse Element $b_o\in B$ besitzt:

$0_A\cdot b_o=0_A\cdot b_o=e$

Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis, dass $0_A\cdot b=b\cdot 0_A=0_A$ für alle $b\in B$ über die Algebraeigenschaften zeigt, denn es gilt mit den Eigenschaften von Vektorräumen bzw. Algebren (bitte ergänzen in den Übungen in Wikiversity)

Nilpotentes Element - permanent singulär

Sei $(A,{𝒯}_A)$ sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement $e\in A$ mit $e=0_A$ und $z\in A$ ein nilpotentes Element in $A$ mit $z^n=0_A$ und $z^{n-1}=0_A$ für $n\in \mathbb{N}$, dann ist $z\in A$ permanent singulär.

Beweis durch Widerspruch

Sei $z\in A$ ein nilpotentes Element in $A$ mit $z^n=0_A$ und $z^{n-1}=0_A$. Ferner definiert man $z^0:=e_A$ und $z^{n+1}:=z^n\cdot z$.

Annahme: Es gibt eine Algebraerweiterung $(B,{𝒯}_B)$ von $(A,{𝒯}_A)$, in der das nilpotente Element $z\in A$ invertierbar ist, d.h. es existiert ein multiplikatives inverses Element $b:=z^{-1}\in B$ mit:

$z\cdot b=b\cdot z=e$

Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis:

$0_A=0_A\cdot b=(z^{n-1}\cdot z)\cdot b=z^{n-1}\cdot (z\cdot b)=z^{n-1}\cdot e=z^{n-1}\Rightarrow 0_A=z^{n-1}$

Wiederspruch zu $z^{n-1}\ne 0_A$!

analog (da Multiplikation nicht kommutativ sein muss):

$0_A=b\cdot 0_A=\cdot b(z\cdot z{n-1}^{)}=(b\cdot z)\cdot z^{n-1}=e\cdot n^{n-1}=z^{n-1}\Rightarrow 0_A=z^{n-1}$

Wiederspruch zu $z^{n-1}\ne 0_A$!

Nullteiler - permanent singulär

Sei $(A,{𝒯}_A)$ sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement $e\in A$ mit $e=0_A$ und $z\in A$ ein Nullteiler in $A$, dann ist $z\in A$ permanent singulär.

Beweis durch Widerspruch

Annahme: Es gibt eine Algebraerweiterung $(B,{𝒯}_B)$ von $(A,{𝒯}_A)$, in ein Nullteiler $z_o\in A$ invertierbar ist, d.h. das multiplikative Inverse Element $z_o^{-1}\in B$ besitzt:

$z_o\cdot z_o^{-1}=z_o^{-1}\cdot z_o=e$

Ferner nutzen wir die Eigenschaft, dass $z_o\in A$ ein Nullteiler in $A$ ist, d.h. $z_o=0_A$ und es gibt ein Element $z_1=0_A$ mit $z_1\in A$ mit:

$z_o\cdot z_1=0_A\text{ bzw. }{z}_1\cdot z_o=0_A$.

Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis

$0_A=0_A\cdot z_0^{-1}=(z_1\cdot z_0)\cdot z_0^{-1}=z_1\cdot (z_0\cdot z_0^{-1})=z_1\cdot e=z_1\Rightarrow 0_A=z_1$

Dies ist ein Widerspruch zu $z_1\ne 0_A$

analog gilt, da die Multiplikation nicht zwingend kommutativ ist:

$0_A=z_0^{-1}\cdot 0_A=z_0^{-1}\cdot (z_0\cdot z_1)=(z_0^{-1}\cdot z_0)\cdot z_1=e\cdot z_1=z_1\Rightarrow 0_A=z_1$

Dies ist ein Widerspruch zu $z_1\ne 0_A$

$0_A=0_A\cdot z_0^{-1}=(z_1\cdot z_0)\cdot z_0^{-1}=z_1\cdot (z_0\cdot z_0^{-1})=z_1\cdot e=z_1$

$\Rightarrow 0_A=z_1$

Widerspruch zu: $z_1\ne 0_A$

Analog gilt (da Multiplikation nicht zwingend kommutativ):

$0_A=z_0^{-1}\cdot 0_A=z_0^{-1}\cdot (z_0\cdot z_1)=(z_0^{-1}\cdot z_0)\cdot z_1=e\cdot z_1=z_1$

$\Rightarrow 0_A=z_1$

Widerspruch zu: $z_1\ne 0_A$

Beweis durch Widerspruch:

$0_A=0_A\cdot z_0^{-1}=(z_1\cdot z_0)\cdot z_0^{-1}=z_1\cdot (z_0\cdot z_0^{-1})=z_1\cdot e=z_1\Rightarrow 0_A=z_1$

Dies steht in Widerspruch zu $z_1\ne 0_A$

Analog (da Multiplikation nicht zwingend kommutativ):

$0_A=z_0^{-1}\cdot 0_A=z_0^{-1}\cdot (z_0\cdot z_1)=(z_0^{-1}\cdot z_0)\cdot z_1=e\cdot z_1=z_1\Rightarrow 0_A=z_1$

Dies widerspricht $z_1\ne 0_A$

Bemerkung

Die oben genannten Elemente sind allein durch ihre algebraischen Eigenschaften permanent singulär. Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir auch topologische Eigenschaften betrachten, die ein Element permanent singulär machen. Dazu gehören die topologischen Nullteiler in einer Algebra. Jeder Nullteiler ist auch ein topologischer Nullteiler - aber nicht umgekehrt.

Aufgaben für Lernende

• Zeigen Sie, dass ein nilpotentes Element in einer Algebra auch ein Nullteiler ist.
• Erläutern Sie, warum in den Beweisen oben die Topologie auf $A$ keine Rolle spielt. Argumentieren Sie dabei über die Eigenschaften in der topologischen Algebra, die Sie für den Nachweis der permanenten Singulärität verwendet haben.

Siehe auch

• Nullteiler
• topologische Nullteiler
• nilpotent
• topologisch kleine Potenzen

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