Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus

Einleitung

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Homöomorphie der Einbettung

Nun ist die Algebraerweiterung $B$ topologisiert und es ist noch nachzuweisen, dass die bijektive Abbildung $\tau$ und ${\tau }^{-1}$ als lineare Abbildungen stetig sind (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen)

Stetigkeit der Einbettung von A in B

Für die Stetigkeit der Umkehrabbildung ${\tau }^{-1}$ gilt bzgl. dem Nullpolynom $0_{A[t]}\in I$:

$\Vert x+I{\Vert }_{(\alpha ,n)}^{(B)}:=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |x+r|{\Vert }_{(\alpha ,n)}\le \Vert |x+0_{A[t]}|{\Vert }_{(\alpha ,n)}=C_0^n(\alpha )\cdot \Vert x{\Vert }_{(n,0)}^{(\alpha )}=\Vert x{\Vert }_{(\alpha ,n)}$

Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von $A$ in $A^{\prime }\subset B:=A[t]/I$ stetig mit $\Vert x+I{\Vert }_{(\alpha ,n)}^{(B)}\le \Vert x{\Vert }_{(\alpha ,n)}$.

Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung 1

Unter Verwendung der Abschätzung $\Vert x{\Vert }_A\le D\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_A$ erhält man

$\begin{array}{ccc}\Vert |x& +& r|{\Vert }_{(\alpha ,n)}=C_0^n(\alpha )\cdot \Vert x-q_0{\Vert }_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^n(\alpha )\cdot \Vert z\cdot q_{k-1}-q_k{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}\\ \\ & \ge & C_0^n(\alpha )\cdot \Vert x-q_0{\Vert }_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^n(\alpha )\cdot (\Vert z\cdot q_{k-1}{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}-\Vert q_k{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )})\\ \\ & \ge & C_0^n(\alpha )\cdot \Vert x-q_0{\Vert }_{(n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_k^n(\alpha )\cdot \Vert z\cdot q_{k-1}{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}-C_k^n(\alpha )\cdot \Vert q_k{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}\\ & \ge & \Vert x-q_0{\Vert }_{n,0)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{k-1}^n(\alpha )\cdot \Vert q_{k-1}{\Vert }_{(n,k-1)}^{(\alpha )}-C_k^n(\alpha )\cdot \Vert q_k{\Vert }_{(n,k)}^{(\alpha )}\\ & \ge & \Vert x-q_0{\Vert }_{(n,0)}^{(\alpha )}+\Vert q_0{\Vert }_{(n,0)}^{(\alpha )}\ge \Vert x{\Vert }_{(\alpha ,n)}\end{array}$

Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung 2

Durch Infimumbildung über alle Polynome $r\in I$ bleibt die obige Ungleichung erhalten. $\Vert x+I{\Vert }_{(\alpha ,n)}^{(B)}:=\underset{r\in I}{\inf }\Vert |x+r|{\Vert }_{(\alpha ,n)}\ge \Vert x{\Vert }_{(\alpha ,n)}$

Siehe auch

• Wiki2Reveal

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