Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit

Einleitung

Der Satz zur p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräumen $(V,𝒯)$ stellt einen Zusammenhang zwischen p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie $𝒯$ her. Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung $U_o$ exisitiert. Insgesamt ist Satz über p-Normierbarkeit zusammen mit dem Satz zur Quasinormierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen und Quasinormen (siehe Köthe, Lineare Räume)

Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit

Jeder topologische Vektorraum ist genau dann $p$-normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:

$\begin{array}{ccc}(A,{𝒯}_A)\text{ quasinormierbar }& \iff & (A,{𝒯}_A)\text{ lokalbeschränkt }\\ & \iff & (A,{𝒯}_A)\text{ p-normierbar }\end{array}$.

Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Vektorräume

Ein topologischer Vektorraum $(V,{𝒯}_V)$ ist genau dann $p$-normierbar, wenn dieser eine $p$-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit $0<p\le 1$.

Beweis

Sei $V$ $p$-normierbar mit $p$-Norm $\Vert \cdot \Vert$. $\{{\mathrm{B}}_{\epsilon }(0)=:U_{\epsilon }{\}}_{\epsilon >0}$ sei die Menge der von der $p$-Norm erzeugten $\epsilon$-Kugeln um $0$.

Beweisschritt 1: Nullumgebung beschränkt

Die Nullumgebung $U_{1/2}$ ist beschränkt, denn ${\epsilon }^p{U}_{1/2}\subset U_{\epsilon }$.

Beweisschritt 2: Homogenität - Dreieckungleichung

Aus der Bedingung $(Q2)$ und $(Q3)$ der Definition der $p$-Norm folgt, dass die Kugel $B_{\epsilon }(0_V)$ absolut $p$-konvex ist, denn es gilt für $x,y\in U_{\epsilon }$ und $|\lambda {|}^p+|\mu {|}^p\le 1$:

$$\Vert \lambda x+\mu y\Vert \le |\lambda {|}^p\cdot \underset{<\epsilon }{\underbrace{\Vert x\Vert }}+|\mu {|}^p\cdot \underset{<\epsilon }{\underbrace{\Vert y\Vert }}<(|\lambda {|}^p+|\mu {|}^p)\cdot \epsilon \le \epsilon .$$

Beweisschritt 3: Beschränkte Nullumgebung gegeben

Sei umgekehrt $U$ eine beschränkte $p$-konvexe Nullumgebung, dann enthält $U$ mit der Stetigkeit der Skalarmultiplikation eine kreisförmige Nullumgebung $W$.

Beweisschritt 4: p-konvexe Darstellung

Sei nun $0_V=x\in {\mathrm{\Gamma }}_p(W)$ mit

$\begin{array}{ccc}x& =& \sum _{j=1}^n{\alpha }_j{x}_j\text{ mit }{x}_j\in W\subset U\text{ und }{\mu }^p:=\sum _{j=1}^n|{\alpha }_j{|}^p\le 1\\ ⟹x& =& \sum _{j=1}^n\underset{=:{\beta }_j}{\underbrace{\frac{|{\alpha }_j|}{\mu }}}\underset{=:y_j\in W\subset U}{\underbrace{\left(\frac{{\alpha }_j}{|{\alpha }_j|}\mu x_j\right)}}\text{ mit }|\frac{{\alpha }_j}{|{\alpha }_j|}\cdot \mu |=\underset{=1}{\underbrace{\left|\frac{{\alpha }_j}{|{\alpha }_j|}\right|}}\cdot \underset{\le 1}{\underbrace{\mu }}\le 1.\end{array}$

Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung

Man erhält somit eine "$p$-konvexe Darstellung" von Elementen aus der absolut $p$-konvexen Menge ${\mathrm{\Gamma }}_p(W)$ durch Elemente aus $U$, denn

$$x=\sum _{j=1}^n{\beta }_j{y}_j\text{ mit }{y}_j\in W\subset U,\sum _{j=1}^n{\beta }_j^p=1,{\beta }_j\ge 0$$

Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung

Da die $y_j\in U$ und $U$ $p$-konvex gewählt war, gilt ${\mathrm{\Gamma }}_p(W)\subset U$. Insgesamt enthält jede $p$-konvexe Nullumgebung eine absolut $p$-konvexe Nullumgebung als Teilmenge und man kann daher $U$ als absolut $p$-konvex voraussetzen.

Beweisschritt 6: Minkowski-Funktionale beschränkter Mengen

Das Minkowskifunktional ${\Vert \cdot \Vert }_U$ von der beschränkten Menge $U$ und $\Vert \cdot \Vert :={\Vert \cdot \Vert }_U^p$ erzeugen die Topologie auf $V$. Das Funktional $\Vert \cdot \Vert$ erfüllt die Bedingungen $(PN1)-(PN2)$ aus Definition p-Norm.

Beweisschritt 7: Dreiecksungleichung

Es bleibt für $x,y\in V$ die Dreieckungleichung $(PN3)$ zu zeigen:

$$\lambda :={\Vert x\Vert }_U+\epsilon \mu :={\Vert y\Vert }_U+\epsilon \epsilon >0\text{ beliebig }⟹\frac{x}{\lambda },\frac{y}{\mu }\in U$$

Beweisschritt 8: Absolut p-konvex

Da $U$ absolut $p$-konvex ist gilt:

$\begin{array}{ccc}\frac{x+y}{({\lambda }^p+{\mu }^p{)}^{\frac{1}{p}}}& =& \frac{\lambda }{({\lambda }^p+{\mu }^p{)}^{\frac{1}{p}}}\cdot \frac{x}{\lambda }+\frac{\mu }{({\lambda }^p+{\mu }^p{)}^{\frac{1}{p}}}\cdot \frac{y}{\mu }\in U\\ & ⟹& x+y\in ({\lambda }^p+{\mu }^p{)}^{\frac{1}{p}}\cdot U\\ & ⟹& \Vert x+y\Vert \le {\lambda }^p+{\mu }^p=({\Vert x\Vert }_U+\epsilon {)}^p+({\Vert y\Vert }_U+\epsilon {)}^p.\end{array}$

Beweisschritt 9:

Da $\epsilon >0$ beliebig gewählt war, folgt die Behauptung. $◻$

Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Algebren

Ein topologischer Vektorraum $(A,{𝒯}_A)$ ist genau dann $p$-normierbar, wenn dieser eine $p$-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit $0<p\le 1$ für die gilt:

${\mathrm{\exists }}_{C>0}{\mathrm{\forall }}_{x,y\in A}:\Vert x\cdot y{\Vert }_p\le C\cdot \Vert x{\Vert }_p\cdot \Vert y{\Vert }_p$

Beweisaufgabe für Studierende

• Weisen Sie unter Verwendung des Satzes für die Äquivalenz der p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie und der Eigenschaft der Stetigkeit der Multiplikation die Ungleichung

${\mathrm{\exists }}_{C>0}{\mathrm{\forall }}_{x,y\in A}:\Vert x\cdot y{\Vert }_p\le C\cdot \Vert x{\Vert }_p\cdot \Vert y{\Vert }_p$

• Hinweis: Verwenden Sie u.a. das Topologisierungslemma für Algebren.

Beispiel: Folgenräume

Sei $V:=\{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}:\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p<\mathrm{\infty }\}$ mit $0<p<1$ als Folgenraum gegeben.

• Zeigen Sie, dass mit $\Vert x{\Vert }_p:=\Vert (x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}{\Vert }_p:=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p$ die Menge $B_1(0_V):=\{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in V:\Vert (x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}{\Vert }_p<1\}$ eine absolut $p$-konvexe Menge ist!
• Starten Sie mit $|{\lambda }_1{|}^p+|{\lambda }_2{|}^p\le 1$ und zeigen Sie, dass ${\lambda }_1\cdot x+{\lambda }_2\cdot y\in B_1(0_V)$ für $x,y\in B_1(0_V)$ gilt.

Aufgabe: Endlichdimensionale p-normierbare Räume

Sei $(V,{𝒯}_V)$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, dessen Topologie ${𝒯}_V$ durch eine $p$-Norm $\Vert \cdot {\Vert }_p:V\to {ℝ}_o^{+}$ erzeugt wurde. Zeigen Sie, dass die Topologie auch durch eine äquivalente Norm $\Vert \cdot \Vert :V\to {ℝ}_o^{+}$ erzeugt werden kann.

Siehe auch

• Normen, Metriken, Topologie
• Minkowski-Funktional
• Satz über die Quasinormierbarkeit lokalbeschränkter Räume
• P-Regularität
• LC-Regularität
• PC-Regularität
• Topologisierungslemma für Algebren

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