Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen

Definition: kreisförmige Mengen

Sei $V$ ein Vektorraum über $𝕂$, dann heißt $N\subset V$ kreisförmig, falls für alle $|\lambda |\le 1$ und für alle $x\in N$ auch $\lambda \cdot x\in N$ gilt.

Lemma: Kreisförmige Nullumgebungsbasis

In einem topologischen $𝕂$-Vektorraum $(V,𝒯)$ gibt es ein Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.

Beweis

Sei $U\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ beliebig gewählt. Mit der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gibt es ein $\epsilon >0$ und ein Nullumgebung $U_{\epsilon }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ mit

$B_{\epsilon }^{|\cdot |}(0)\cdot U_{\epsilon }\subseteq U$

mit $B_{\epsilon }^{|\cdot |}(0):=\{\lambda \in 𝕂:|\lambda |<\epsilon \}$. Die Menge $\hat{U}:=B_{\epsilon }^{|\cdot |}(0)\cdot U_{\epsilon }$ ist dabei kreiförmig.

Beweis durch Widerspruch

Wir zeigen nun, dass $\hat{U}:=B_{\epsilon }^{|\cdot |}(0)\cdot U_{\epsilon }$ ebenfalls eine Nullumgebung in ${𝔘}_{𝒯}(0_V)$ ist. Annahme ist, dass $\hat{U}$ keine Nullumgebung ist. Ohne Einschränkung sei $\epsilon <1$.

Beweis 1: Existenz eines Netzes

Wenn $\hat{U}=B_{\epsilon }^{|\cdot |}(0)\cdot U_{\epsilon }$ keine Nullumgebung ist, existiert ein Netz $(x_i{)}_{i\in I}$, das gegen den Nullvektor $0_V$ konvergiert und bei dem für alle $i\in I$ die Komponenten des Netzes $x_i$ außerhalb der Nullumgebung $\hat{U}$ liegen, d.h. $x_i\notin \hat{U}$ gilt.

Beweis 2: Konvergenz gegen Nullvektor

Wenn ein Netz $(x_i{)}_{i\in I}$ gegen den Nullvektor $0_V\in V$ konvergiert, gibt es auch für das gegebene $U_{\epsilon }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ eine Indexschranke $i_o\in I$, für das alle $x_i\in U_{\epsilon }$ sind, falls $i\ge i_o$ gilt. Mit "$\ge$" ist die partielle Ordnung auf der Indexmenge $I$ gemeint.

Beweis 3: Skalare Multiplikation für konvergente Netze

Wenn ein Netz $(x_i{)}_{i\in I}$ gegen den Nullvektor $0_V\in V$ konvergiert, konvergiert auch $(\lambda \cdot x_i{)}_{i\in I}$ wegen der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren in einem topologischen Vektorraum gegen den Nullvektor $0_V\in V$.

Beweis 4: Skalare Multiplikation für konvergente Netze

Definieren nun ein Netz $(y_i{)}_{i\in I}$ mit $y_i:=\frac{1}{{\epsilon }^2}\cdot x_i\in V$ für alle $i\in I$, das nach Beweisschritt 3 ebenfalls gegen den Nullvektor $0_V$ konvergiert. Dann gibt es wieder eine Indexschranke $i_1\in I$, für das alle $y_i\in U_{\epsilon }$ sind, falls $i\ge i_1$ gilt. Auch hier ist mit "$\ge$" die partielle Ordnung auf der Indexmenge $I$ gemeint.

Beweis 5: Widerspruch

Wähle in der Indexmenge $i_2\in I$ so, dass $i_2\ge i_0$ und $i_2\ge i_1$. Für alle $i\ge i_2$ gilt dann mit Beweisschritt 1, 4 und ${\epsilon }^2<\epsilon <1$:

• $x_i\notin \hat{U}$
• $x_i={\epsilon }^2\cdot \frac{1}{{\epsilon }^2}\cdot x_i={\epsilon }^2\cdot y_i\in B_{\epsilon }^{|\cdot |}(0)\cdot U_{\epsilon }=\hat{U}$.

Beweis 4: Kreisförmige Nullumgebung

Damit ist auch $\hat{U}\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ eine kreisförmige Nullumgebung und jede Umgebung $U\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ enthält eine kreisförmige Nullumgebung $\hat{U}\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ mit $\hat{U}\subseteq U$. Die Menge $\{\hat{U}:U\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)\}$ ist Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. $◻$

Bemerkung: Kreisförmige Nullumgebungsbasis

Mit dieser Aussage existiert in jedem topologischen Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.

Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen

In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) wird gezeigt, dass es eine Nullumgebungsbasis $\{U_{\alpha }:\alpha \in 𝒜\}$ aus kreisförmigen Mengen $U_{\alpha }$. Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale.

Lemma: Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen

Seien $U_{\alpha },U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ kreisförmige Nullumgebungen in einem topologischen Vektoraum $(V,𝒯)$, dann ist auch $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ eine kreisförmige Nullumgebung.

Beweis

Aus $U_{\alpha },U_{\beta }\subset V$ kreisförmig folgt, dass für alle $\lambda \in 𝕂$ mit $|\lambda |\le 1$, $x_{\alpha }\in U_{\alpha }$ und $x_{\beta }\in U_{\beta }$ auch $\lambda \cdot x_{\alpha }\in U_{\alpha }$ und $\lambda \cdot x_{\beta }\in U_{\beta }$.

Schnitt von offenen Mengen

In einem topologischen Raum (also insbesondere auch in einem topologischen Vektorraum) $(V,𝒯)$ ist der Schnitt von zwei offenen Mengen wieder offen, also $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in 𝒯$ (siehe Normen, Metriken, Topologie). $U_{\alpha },U_{\beta }$ Nullumgebung sind, gilt auch $0_V\in U_{\alpha },0_V\in U_{\beta }$. Damit ist $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ eine offen Menge, die den Nullvektor enthält und es gilt $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$.

Schnitt kreisförmig

Wir zeigen nun noch, dass $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ kreisförmig ist. Sei dazu $x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ und $\lambda \in 𝕂$ mit $|\lambda |\le 1$ beliebig gewählt. Damit gilt $x\in U_{\alpha }$ und $x\in U_{\beta }$. Die Kreisförmigkeit von $U_{\alpha }$ und $U_{\beta }$ liefert dann $\lambda \cdot x\in U_{\alpha }$ und $\lambda \cdot x\in U_{\beta }$ und damit auch $\lambda \cdot x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$. $◻$

Aufgabe

• Zeigen Sie für die Definition der $\hat{U}\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$, dass die Menge $\hat{U}$ kreisförmig ist.
• Überprüfen Sie, ob die Summe $U_{\alpha }+U_{\beta }:=\{u_{\alpha }+u_{\beta }:u_{\alpha }\in U_{\alpha }\wedge u_{\beta }\in U_{\beta }\}$ von zwei kreisförmigen Nullumgebungen $U_{\alpha },U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ wieder eine kreisförmige Nullumgebung ist.
• Überprüfen Sie, ob die Vereinigung $U_{\alpha }\cup U_{\beta }$ von zwei kreisförmigen Nullumgebungen $U_{\alpha },U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ wieder kreisförmig ist.

Siehe auch

• Netze (Mathematik)
• absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale
• Stetigkeitssequenzen und kreisförmige Mengen
• absolut pseudokonvex

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