Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen

Einführung

Für die Erzeugung einer Algebraerweiterung von pseudokonvexen topologischen Algebren $A\in 𝒫𝒞$ gibt es ein System von $p$-Halbnormen, die die Topologie erzeugen. Für die Topologisierung der Potenzreihenalgebra $A[t]\in 𝒫𝒞$ werden die Aussagen für die Algebraerweiterung aber über Quasihalbnormen geführt. Daher ist es wesentlich einen Zusammenhang zwischen Quasihalbnormen und $p$-Halbnormen herzustellen. Das Korrespondenz-Lemma stellt diese Beziehung zwischen einer $p$-Halbnorm und einer Quasinorm her.

Definition: p-Norm

Sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum und $\Vert \cdot \Vert :V\to {ℝ}_0^{+},x\mapsto \Vert x\Vert ,$ eine Abbildung. Erfüllt $\Vert \cdot \Vert$ die folgenden Axiome Axiome P1,P2, P3, so heißt $\Vert \cdot \Vert$ $p$-Norm auf $V$ mit $0<p\le 1$.

• (P1) Definitheit: $\Vert x\Vert =0\Rightarrow x=\mathrm{𝟘}$ für alle $x\in V$,
• (P2) p-Homogenität: $\Vert \lambda \cdot x\Vert =|\lambda {|}^p\cdot \Vert x\Vert$ für alle $x\in V$ und $\lambda \in 𝕂$
• (P3) Dreiecksungleichung: $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ für alle $x,y\in V$.

Gilt (P1) nicht, so nennt man $\Vert \cdot \Vert$ $p$-Halbnorm.

Einheitskreis einer p-Norm

Der Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist im ${ℝ}^2$ eine Astroide.

Einheitskreis p-Norm als Abrollkurve

Aufgabe

Sei $V={ℝ}^2$ der zweidimensionale $ℝ$-Vektorraum und $\Vert \cdot {\Vert }_p:V\to {ℝ}_0^{+},x\mapsto \Vert x{\Vert }_p,$ eine Abbildung, die mit $p=\frac{1}{2}$ wie folgt definiert ist.

$\Vert x{\Vert }_p=\Vert (x_1,x_2){\Vert }_p:=|x_1{|}^p+|x_2{|}^p$

• Zeigen Sie, dass $\Vert \cdot \Vert$ eine $p$-Norm ist. Warum erzeugt die $p$-Norm die gleiche Topologie, wie die Norm $\Vert x{\Vert }_2=\Vert (x_1,x_2){\Vert }_2:=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$?
• Skizzieren Sie die folgende Menge $S_1:=\{(x_1,x_2)\in {ℝ}^2:\Vert (x_1,x_2)\Vert =1\}$ und $S_2:=\{(x_1,x_2)\in {ℝ}^2:\Vert (x_1,x_2)\Vert \le 1\}$

Hinweis: Berechnen Sie $S_1$ zunächst für $x_1,x_2>0$ und $\Vert x{\Vert }_2=1$!

Definition: Quasi(halb-)norm

Sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum und $\Vert \cdot \Vert :V\to {ℝ}_0^{+},x\mapsto \Vert x\Vert ,$ eine Abbildung. Erfüllt $\Vert \cdot \Vert$ die folgenden Axiome Axiome Q1,Q2, Q3, so heißt $\Vert \cdot \Vert$ Quasinorm auf $V$ mit Konkavitätskonstante $K\ge 1$.

• (Q1) Definitheit: $\Vert x\Vert =0\Rightarrow x=\mathrm{𝟘}$ für alle $x\in V$,
• (Q2) absolute Homogenität: $\Vert \lambda \cdot x\Vert =|\lambda |\cdot \Vert x\Vert$ für alle $x\in V$ und $\lambda \in 𝕂$
• (Q3) Konkavitätsungleichung: $\Vert x+y\Vert \le K\cdot (\Vert x\Vert +\Vert y\Vert )$ für alle $x,y\in V$.

Gilt (Q1) nicht, so nennt man $\Vert \cdot \Vert$ Quasihalbnorm.

Bemerkung: konvex-konkav

Halbnormen erzeugen konvexe Nullumgebungen ist. Die Nullumgebungen von Quasihalbnormen bzw. $p$-Halbnormen sind nicht notwendigerweise konvex bei $K>1$ bzw. $p<1$. Für $K=1$ bzw. $p=1$ erhält man die Standarddefinition für Halbnormen bzw. Normen. Betrachtet man den Einheitskreis einer $p$-Norm mit $p=\frac{2}{3}$, so sieht man das die Einheitskugel nicht konvex ist. Durch den Zusammenhang durch den Korrespondenz-Satz und der Konkavitätskonstante in der Definition der Quasinorm ist zu erkennen, welchen geometrischen Einfluss das $p<1$ auf die Konkavität der Einheitskugel der $p$-Norm hat.

Korrespondenz-Lemma für p-Normen und Quasinormen

Ein topologischer Vektorraum $(V,𝒯)$ mit der Topologie $𝒯$, dann $(V,𝒯)$ genau dann $p$-normierbar, wenn die Topologie $𝒯$ durch eine Quasinorm $\Vert \cdot {\Vert }_Q$ erzeugt werden kann.

Beweis

Der Beweis nach Köthe wird in dem Abschnitt zur $𝒫$-Regulärität für lokalbeschränkte Algebren ausgeführt.

Korrolar - Korrespondenz-Lemma

Ein topologischer Vektorraum $(V,𝒯)$ mit der Topologie $𝒯$. Dann gilt: Ein Teilsystem der Topologie ${𝒯}_o\subseteq 𝒯$ wird genau dann durch eine $p$-Halbnorm erzeugt, wenn das System der offenen ${𝒯}_o$ auch durch eine Quasihalbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_Q$ erzeugt werden kann.

Beweis

Die Argumentation im Beweis zum Korrespondenz-Lemma für $p$-Normen und Quasinormen nutzt die Hausdorff-Eigenschaft der Topologie nicht, die durch die Bedingung

• $\Vert x\Vert =0⟺x=0_V$ bzw.
• $\Vert x{\Vert }_Q=0⟺x=0_V$

über das Norm bzw. Quasinorm ausgedrückt werden. Daher kann man die Beweisführung ebenfalls für ein Teilsystem der Topologie führen und erhält die Aussage für $p$-Halbnormen und Quasihalbnormen.

Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume

Ein topologischer Vektorraum $(V,𝒯)$ mit der Topologie $𝒯$ ist genau dann pseudokonvex, wenn die Topologie $𝒯$ durch eine System $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }^{(Q)}$ Quasihalbnormen topologisiert werden kann

Beweis

Betrachtet man nun eine $𝒫𝒞$-Algebra mit $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ als $p$-Halbnormensystem, so erzeugt jede einzelne p-Halbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ mit $\alpha \in 𝒜$ ein lokalbeschränktes, aber nicht notwendig Hausdorff’sches, topologisches Teilsystem ${𝒯}_{\alpha }\subset 𝒯$ von offenen Mengen der Ausgangstopologie $𝒯$.

Beweis 1: Anwendung des Korrespondenz-Lemmas

Dieses Teilsystem kann man mit dem Korrespondenz-Satz für $p$-Normen und Quasinormen auch durch eine Quasihalbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }^{(Q)}$ erzeugen, denn die Hausdorff-Eigenschaft ist für die Argumentation im Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen und Quasihalbnorm nicht von Bedeutung. Damit gelten die Ergebnisse nicht nur für $p$-Normen sondern auch für $p$-Halbnormen. Daher man jede p-Halbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ durch die entsprechende Quasihalbnormen $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }^{(Q)}$ ersetzen und man erzeugt durch diese Quasinorm das gleiche Teilsystem ${𝒯}_{\alpha }\subset 𝒯$ der Ausgangstopologie. Die Topologie kann auch durch ein korrespondierendes Quasihalbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}^{(Q)}$ erzeugt werden. $◻$

Bemerkung

Für das Korollar wendet man den Korrespondenzsatz auf ein System mit nur einer $p$-Norm an, das den pseudokonvexen Raum topologisiert. Der Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume liefert dann ein System mit einer Quasinorm, das die gleiche Topologie erzeugt. In den Vorgehensweisen zur $𝒫$-Regularität werden sowohl für

• p-Normen eine Charakterisierung der $𝒫$-regulären Elemente vorgenommen als auch die
• P-Regularität über Algebraerweiterungen mit Quasinormen dargestellt.

Dies bereitet die Charakterisierung der PC-Regularität über Quasihalbnnormen vor. Für die Charakterisierung reicht der Nachweis über einen der beiden Wege (p-Norm oder Quasinorm)

Siehe auch

• Normen, Metriken, Topologie
• Gaugefunktionale
• Satz - Quasinormierbarkeit
• Satz - p-Normierbarkeit
• P-Regularität
• P-Regularität über p-Normen
• P-Regularität über Quasinormen
• PC-Regularität

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