Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt

Cauchy-Produkt - Stetigkeit

Betrachtet man zwei Polynome $p,q\in A[t]$ in dem normierten Raum $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_D)$.

$$p(t):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k\text{ und }q(t):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}_k\cdot t^k$$

Dann liefert die Definition der Halbnorm für das Produkt $p\cdot q$:

$$\Vert |p\cdot q|{\Vert }_{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\alpha }^n\cdot {\Vert \sum _{k=0}^n{p}_k\cdot q_{n-k}\Vert }_{\alpha }$$

Halbnormeigenschaften

Für die folgenden Abbildungen $\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha }:\to {ℝ}^{+}$ sind ebenfalls Halbnormen und es gelten die folgenden Halbnormeigenschaften:

Homogenität

$$\Vert |\lambda \cdot p|{\Vert }_{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\alpha }^n\cdot {\Vert \lambda \cdot p_k\Vert }_{\alpha }|\lambda |\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\alpha }^n\cdot {\Vert p_k\Vert }_{\alpha }=|\lambda |\cdot \Vert |p|{\Vert }_{\alpha }$$

Definitheit

Gilt für $p\in A[t]$, dass $p=0_{{}_{A[t]}}$ das Nullpolynom in $A[t]$, dann gibt ein $k\in {\mathbb{N}}_0$ mit $p_k=0_{{}_{\alpha }}$, d.h., das Polynom muss wenigsten einen vom Nullvektor verschiedenen Koeffizienten haben und man erhältmit den Halbnormeigenschaften von $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ auch:

$\Vert p_k{\Vert }_{\alpha }>0\Rightarrow D_{\alpha }^k\cdot \Vert p_k{\Vert }_{\alpha }>0\Rightarrow \Vert |\lambda \cdot p|{\Vert }_{\alpha }>0$

Dreiecksungleichung

$$\begin{array}{ccc}\Vert |p+q|{\Vert }_{\alpha }& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\alpha }^n\cdot {\Vert p_k+q_k\Vert }_{\alpha }\\ & \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\alpha }^n\cdot ({\Vert p_k\Vert }_{\alpha }+{\Vert q_k\Vert }_{\alpha })\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\alpha }^n\cdot {\Vert p_n\Vert }_{\alpha }+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\alpha }^n\cdot {\Vert q_n\Vert }_{\alpha }\\ & =& \Vert |p|{\Vert }_{\alpha }+\Vert |q|{\Vert }_{\alpha }\end{array}$$

Submultiplikativität der Halbnorm

$\begin{array}{ccc}\Vert |p\cdot q|{\Vert }_{\alpha }& \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\alpha }^n\cdot {\Vert \sum _{k=0}^n{p}_k\cdot q_{n-k}\Vert }_{\alpha }\\ & \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{\alpha }^n\cdot \sum _{k=0}^n{\Vert p_k\cdot q_{n-k}\Vert }_{\alpha }\\ & \le & \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\underset{=D_{\alpha }^k\cdot D_{\alpha }^{n-k}}{\underbrace{D_{\alpha }^n}}\cdot {\Vert p_k\Vert }_{\alpha }\cdot {\Vert q_{n-k}\Vert }_{\alpha }\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n{D}_{\alpha }^k\cdot {\Vert p_k\Vert }_{\alpha }\cdot D_{\alpha }^{n-k}\cdot {\Vert q_{n-k}\Vert }_{\alpha }\\ & =& \Vert |p|{\Vert }_{\alpha }\cdot \Vert |q|{\Vert }_{\alpha }\end{array}$

D.h., dass die Multiplikation auf $(A[t],\Vert |\cdot |{\Vert }_{\alpha })$ stetig ist. Der Index $D\in {ℝ}^{+}$ bezeichnet die gewählte Basis für die Koeffizienten $D_{\alpha }^n$.

Siehe auch

• MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt
• B-Regularität
• P-Regularität
• Stetigkeit - Cauchymultiplikation - T-Regularität - (Foliensatz)
• LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt - (Foliensatz)
• PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt - (Foliensatz)

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