Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale

Satz TKP und Gaugefunktionale

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in 𝒦$ und $z\in A$ gegeben. Wenn es ein $\alpha \in 𝒜$ gibt, so dass für alle $\beta \in 𝒜$ ein $k(\beta )\in \mathbb{N}$ mit

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z^{k(\beta )}\cdot x\Vert }_{\beta }=0$$

existiert, so ist $z$ ein $𝒯$-singuläres Element.

Bemerkung - Negation der Singularitätbedingung

Der obige Satz wird über die Kontraposition bewiesen, indem man annimmt, dass ein Element $z\in A$ ein $𝒯$-reguläres Element ist, und dann die Negation der obigen Aussage gilt.

Beweis - Satz TKP-Eigenschaft Gaugefunktionale

Der obige Satz wird über die Kontraposition bewiesen und die Eigenschaften der Hömöomorphie der Einbettung bzgl. einer Algebraerweiterung, in der ein $z\in A$ invertierbar ist.

Beweis

Seien $z\in {𝒢}_{𝒯}(A)$, $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}),(B,{\Vert |\cdot |\Vert }_{\widetilde{𝒜}})\in {𝒯}_e(𝕂)$, $B$ eine $𝒯$-Erweiterung von $A$ und $b\in B$ sei das Inverse zu $z$. Ohne Einschränkung sind die obigen Gaugefunktionalsysteme unital positiv.

Beweis 1: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem

Man betrachtet das auf der Algebraerweiterung $B$ definierte Gaugefunktionalsystem ${\Vert |\cdot |\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und induziert damit ein Gaugefunktionalsystem ${\Vert |\cdot |\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ auf $A$, das zu dem gegebenen Gaugefunktionalsystem ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ äquivalent ist.

Beweis 2: Definition äquivalentes Gaugefunktionalsystem

Das von $B$ auf $A$ induzierte Gaugefunktionalsystem ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ wird mit dem Algebraisomorphismus $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ definiert (siehe Algebraerweiterung) d.h.

$$\begin{array}{cccc}{\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}:& A& ⟶& 𝕂,\\ & x& ⟼& {\Vert |\tau (x)|\Vert }_{\tilde{\alpha }}\text{ mit }\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}\end{array}$$

Beweis 3: Homöomorphie - Äquivalenz Gaugefunktionalsystem

Da $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ ein Algebraisomorphismus ist und $A^{\prime }$ homöomorph zu $A$ ist, liefert die Stetigkeit von $\tau$ und ${\tau }^{-1}$ die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$.

Beweis 4 - Definition von Stetigkeitssequenzen

Nun definiert man damit folgendes System ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}\times {\mathbb{N}}_0}$ mit den Funktionalen

$${\Vert \cdot \Vert }_{(\tilde{\alpha },k)}:A⟶𝕂,x⟼{\Vert |z^k\cdot x|\Vert }_{\tilde{\alpha }}\text{ mit }\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}.$$

Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation

Für alle $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ gibt es $\tilde{\beta }\in \widetilde{𝒜}$, sodass für alle $x\in A$ gilt

$${\left|\Vert x\cdot y\Vert \right|}_{\tilde{\alpha }}\le {\left|\Vert x\Vert \right|}_{\tilde{\beta }}\cdot {\left|\Vert y\Vert \right|}_{\tilde{\beta }}$$

Beweis 6 - Anwendung auf die Gaugefunktionale

Man erhält über die Stetigkeit der Multiplikation folgende Ungleichungen:

$\begin{array}{ccc}{\Vert x\Vert }_{\tilde{\alpha }}& =& {\left|\Vert x\Vert \right|}_{\tilde{\alpha }}={\left|\Vert z^k\cdot b^k\cdot x\Vert \right|}_{\tilde{\alpha }}\\ & \le & {\left|\Vert z^k\Vert \right|}_{\tilde{\beta }}\cdot {\left|\Vert b^k\cdot x\Vert \right|}_{\tilde{\beta }}\\ & \le & \underset{D_k(\tilde{\alpha })}{\underbrace{{\left|\Vert z^k\Vert \right|}_{\gamma }}}\cdot {\Vert x\Vert }_{(\tilde{\alpha },k)}=D_k(\tilde{\alpha })\cdot {\Vert x\Vert }_{(\tilde{\alpha },k)}\end{array}$

Beweis 7 - Unitale Positivität

Unter Verwendung der Unitalen Positivität der verwendeten Gaugfunktionalsysteme erhält man insbesondere:

$$0<{\Vert e_A\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le D_k(\tilde{\alpha })\cdot {\Vert z^k\cdot e_A\Vert }_{\beta }=\underset{>0}{\underbrace{D_k(\tilde{\alpha })}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{{\Vert z^k\Vert }_{\tilde{\beta }}}}$$

Beweis 8 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme

Insgesamt gilt die folgende Abschätzung durch die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme auch für das gegebene Gaugefunktionalsystem ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$, denn für alle $\alpha \in 𝒜$ gibt es eine Konstante $C_1>0$ und eine $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ mit

${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\le C_1\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}$

Beweis 9 - TKP-Negation - Ungleichung

Für diese $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ gibt es eine Konstante $D_k(\tilde{\alpha })>0$ und ein $\tilde{\beta }\in \widetilde{𝒜}$

${\Vert x\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le D_k(\tilde{\alpha })\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\tilde{\beta }}$

Beweis 10 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme

Dann gibt es wieder mit der Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme $\tilde{\beta }\in \widetilde{𝒜}$ gibt es ein $\beta \in 𝒜$ eine Konstante $C_2>0$ mit

${\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}\le C_2\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{\beta }$

Beweis 11 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme

Insgesamt erhält man für alle $\alpha \in 𝒜$ gibt es ein $\beta \in 𝒜$ und Konstanten $D_k(\alpha )>0$ die analoge Ungleichung für das Gaugefunktionalsystem ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ für alle $x\in A$:

$\begin{array}{ccc}{\Vert x\Vert }_{\alpha }& \le & C_1\cdot {\Vert x\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ & \le & C_1\cdot D_k(\tilde{\alpha })\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\tilde{\beta }}\\ & \le & \underset{D_k(\alpha )}{\underbrace{C_1\cdot D_k(\tilde{\alpha })\cdot C_2}}\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }\end{array}$

Beweis 12 - Umformung der Regularitäteigenschaft

Die obige Ungleichung ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }$ gilt ohne Einschränkung für $\Vert x{\Vert }_{\alpha }=0$. Für $\Vert x{\Vert }_{\alpha }>0$ kann man die obige Gleichung wie folgt umformen:

$\frac{1}{D_k(\alpha )}\le \underset{={\left({\Vert x\Vert }_{\alpha }^{-\frac{1}{p}}\right)}^p}{\underbrace{\frac{1}{{\Vert x\Vert }_{\alpha }}}}\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }={\Vert z^k\cdot \frac{x}{{\Vert x\Vert }_{\alpha }^{\frac{1}{p}}}\Vert }_{\beta }$

Beweis 12 - Normiertheit

Das Infimum wird auch bei $p$-Gaugefunktionalen für alle $\Vert x{\Vert }_{\alpha }=1$ gebildet, denn es gilt:

${\Vert \frac{x}{{\Vert x\Vert }_{\alpha }^{\frac{1}{p}}}\Vert }_{\alpha }={\left(\frac{1}{{\Vert x\Vert }_{\alpha }^{\frac{1}{p}}}\right)}^p\cdot {\Vert x\Vert }_{\alpha }=\frac{{\Vert x\Vert }_{\alpha }}{{\Vert x\Vert }_{\alpha }}=1$

Beweis 13 - Infimumbildung

Für $z\in A$ als $𝒦$-reguläres Element kann man nun das Infimumbildung über alle ${\Vert x\Vert }_{\alpha }=1$ bilden und man erhält für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und Konstanten ${\epsilon }_k>0$, sodass für alle $x\in A$ gilt:

${\epsilon }_k=\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }$

Beweis 14 - Negation der Regularitäteigenschaft

Negation der Aussage (13) liefert dann: Es gibt ein $\alpha \in 𝒜$ gibt, so dass für alle $\beta \in 𝒜$ ein $k(\beta )\in \mathbb{N}$ mit

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z^{k(\beta )}\cdot x\Vert }_{\beta }=0$$

Damit folgt die Behauptung. $◻$

Siehe auch

• topologisch kleine Potenzen
• Elemente mit kleinen Potenzen
• topologische Nullteiler
• Lemma über Produkte mit topologischen Nullteilern

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