Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen

Lokalkonvex als Spezialfall eines pseudokonveven Raumes

Sei ${ℳ𝒫𝒞}_e$ die Klasse der multiplikativen pseudokonvexen unitalen Algebren und $A\in {ℳ𝒫𝒞}_e$. Ein lokalkonvexer Raum wird damit als Spezialfall eines pseudokonvexen Raumes angesehen, wobei jede Halbnorm eine $p$ mit $p=1$ ist.

Multiplikative pseudokonveve Algebraerweiterung

Die Algebraerweiterung $B\in {ℳ𝒫𝒞}_e$ bzw. $ℳℒ𝒞$-Erweiterung von $A$ benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus $\tau :A⟶A^{\prime }\subset B$ mit:

• $\tau (e_{{}_A})=e_{{}_B}$, wobei $e_{{}_A}$ ist das Einselement von $A$ und $e_{{}_B}\in A^{\prime }$ das Einselement von $B$ ist.
• $A$ ist homöomorph zu $A^{\prime }$; d.h. $\tau$ und ${\tau }^{-1}:A^{\prime }⟶A$ sind stetig.

Algebraisomorphismus in den Quotientenräumen

Der Algebraisomorphismus wird über normierte Quotientenalgebren $A_{\alpha }$ definiert. wobei mit  :${\tau }_{\alpha }:A_{\alpha }\to A{\text{'}}_{\alpha }\subset B_{\alpha }$ mit ${\tau }_{\alpha }(x)=[x{]}_{\alpha }\in A{\text{'}}_{\alpha }$ bezeichnet und

$\tau :A⟶A^{\prime }\subset \prod _{\alpha \in 𝒜}{A}_{\alpha }\subset \prod _{\alpha \in 𝒜}{B}_{\alpha }=B\text{ mit }\tau (x):=({\tau }_{\alpha }(x){)}_{\alpha \in 𝒜}$

Algebraerweiterung von MLC-Quotientenalgebren

Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen bzw. p-Halbnormen.

Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung

• Im allgemeinen identifiziert man $A$ mit $A^{\prime }$ und schreibt $A\subset B$. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus $x\in A$ mit Elementen $\tau (x)=x+I\in B$ in einem Quotientenraum $B:=A[t]/I$ identifiziert werden.
• Sei ${𝔘}_{A^{\prime }}(0)$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von $B$ auf $A^{\prime }$ und ${𝔘}_A(0)$ eine Nullumgebungsbasis von $A$, dann kann man die Homöomorphie zwischen $A$ und $A^{\prime }$ wie immer über die Topologie ausdrücken:

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{V\in {𝔘}_A(0)}{\mathrm{\exists }}_{U\in {𝔘}_{A^{\prime }}(0)}& :& U\subset V(\tau (U)\subset V)\\ {\mathrm{\forall }}_{U\in {𝔘}_{A^{\prime }}(0)}{\mathrm{\exists }}_{V\in {𝔘}_A(0)}& :& V\subset U({\tau }^{-1}(V)\subset U).\end{array}$

Stetigkeit über Halbnormen

Betrachtet man die Halbnormen ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜},C_1(\alpha )>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert x\Vert }_{\alpha }\le C_1(\alpha )\cdot {\Vert \tau (x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ \text{ bzw. }& & {\Vert \cdot \Vert }_A\le C_1\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{A^{\prime }}\circ \tau \\ {\mathrm{\forall }}_{\tilde{\alpha }\in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜,C_2(\tilde{\alpha })>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}& :& {\Vert \tau (x)\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le C_2\tilde{\alpha }\cdot {\Vert x\Vert }_{\alpha }\\ \text{ bzw. }& & {\Vert \cdot \Vert }_{A^{\prime }}\circ \tau \le C_2\cdot {\Vert \cdot \Vert }_A.\end{array}$

Konstruktion Algebraisomorphismus

Für die Konstruktion des Algebraisomorphismus geht man wie folgt vor:

• (KA1) man konstruiert zunächst einen Algebrahomomorphismus $\tau :A\to B$ und zeigt, dass dieser stetig ist.
• (KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist $Kern(\tau )=\{0_A\}$
• (KA3) man definiert mit $A^{\prime }:=\tau (A)\subset B$, die Umkehrabbildung ${\tau }^{-1}:A^{\prime }\to A$ und zeigt, dass ${\tau }^{-1}$ ebenfalls stetig ist (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Verwendung der Charakterisierung B-regulärer Elemente

Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ und nutzen die Charakterisierung $ℬ$-Regularität für die $ℳℒ𝒞$-Erweiterung von $(A,\Vert \cdot {\Vert }_A)$.

Halbnormensystem unital positiv

Ohne Einschränkung seien die submultiplikativen Halbnormen unital positiv, d.h. $\Vert e_A{\Vert }_{\alpha }>0$ für alle $\alpha \in 𝒜$. Falls das nicht der Fall ist, geht man zu einem äquivalenten Halbnormensystem über $\Vert e_A{\Vert }_{\alpha }^{(+)}>0$ über. Weil $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ Hausdorffraum ist, gibt es ein ${\alpha }_o\in 𝒜$ mit $\Vert e_A{\Vert }_{{\alpha }_o}>0$. Man definiert dann $U_{\alpha }=B_1^{\alpha }(0_A)\cap B_1^{{\alpha }_o}(0_A)$ und

$\Vert x{\Vert }_{\alpha }^{(+)}:=p_{U_{\alpha }}(x)=\max \{\Vert x{\Vert }_{\alpha },\Vert x{\Vert }_{{\alpha }_o}\}$

als Minkowski-Funktional von $U_{\alpha }$ und $U_{\alpha }\cdot U_{\alpha }\subset U_{\alpha }$, da $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ und damit auch $\Vert \cdot {\Vert }_{{\alpha }_o}$ submultiplikativ sind. $U_{\alpha }$ ist eine offene Menge in $A$, da $U_{\alpha }$ als Schnitt von zwei offenen Mengen definiert ist und der endliche Schnitt von offenen Mengen in einer Topologie ist wieder offen.

Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - unital positiv

Zeigen Sie, dass die Halbnormensysteme $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ und $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}^{(+)}$ äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind!

Aufgabe - TNT-Negation und unital positives Halbnormensystem

Ohne Einschränkung sei das gegebene Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ auf einer unital positiven $ℳℒ𝒞$-Algebra $A$. Ferner sei $z\in A$ kein topologischer Nullteiler ($z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$). Zeigen Sie, dass für alle $\alpha \in 𝒜$ ebenfalls $\Vert z{\Vert }_{\alpha }>0$ gilt.

Topologische Nullteiler in MLC-Algebren

Wenn $z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ erfüllt ist, gibt es ein $\alpha \in 𝒜$, sodass für alle $\beta \in 𝒜$ gilt

$\underset{x\in A\Vert x{\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }\Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }=0$

Topologische Nullteiler in Quotientenalgebren

Damit ist insbesondere für $\beta \in 𝒜$ mit $\beta \ge \alpha$ (d.h. $\Vert x{\Vert }_{\beta }\ge \Vert x{\Vert }_{\alpha }$ für alle $x\in A$ die folgende Bedingung erfüllt

$\underset{\Vert x{\Vert }_{\beta }=1}{\inf }\Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }=0.$

Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 1

Man erhält die folgenden Abschätzung für $\gamma \ge \alpha$, d.h. $\frac{1}{\Vert x{\Vert }_{\gamma }}\le \frac{1}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}$ für alle $\beta \in 𝒜$ und alle $x\in A$:

$\begin{array}{ccc}0& =& \underset{\Vert x{\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=\underset{\Vert x{\Vert }_{\alpha }>0}{\inf }{\Vert z\cdot \frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}\Vert }_{\beta }\\ & \ge & \underset{\Vert x{\Vert }_{\gamma }>0}{\inf }{\Vert z\cdot \frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}\Vert }_{\beta }\ge \underset{\Vert x{\Vert }_{\gamma }>0}{\inf }{\Vert z\cdot \frac{x}{\Vert x{\Vert }_{\gamma }}\Vert }_{\beta }\\ & \ge & \underset{\Vert x{\Vert }_{\gamma }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }\ge 0\end{array}$

Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 2

Insgesamt erhält man für $z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ die äquivalente Bedingung:

${\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\forall }}_{\beta \in 𝒜,\gamma \ge \alpha }{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\underset{\Vert x{\Vert }_{\gamma }=1}{\inf }\Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }=0.$

Insbesondere gilt für alle $\beta \ge \alpha$

${\mathrm{\exists }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\forall }}_{\beta \in 𝒜,\beta \ge \alpha }{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\underset{\Vert x{\Vert }_{\beta }=1}{\inf }\Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }=0$.

TNT-Eigenschaft in Quotientenalgebren

Also gibt es mindestens ein $\alpha \in 𝒜$, sodass für alle $\beta \ge \alpha$ gilt:

$z_{\beta }\in 𝒯𝒩𝒯(A_{\beta })=𝒯𝒩𝒯(A/N_{\beta })$.

MLC-Singularität 1

Wenn man die $ℳℒ𝒞$-Singularität betrachtet, gibt es zu jedem $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ mit $\beta \ge \alpha$, sodass $z_{\beta }\notin 𝒯𝒩𝒯(A_{\beta })$ und es gilt mit der Eigenschaft $z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$ erhält man die Eigenschaft:

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in 𝒜,D_{\beta }>0,\gamma \ge \alpha }{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\Vert x{\Vert }_{\gamma }\le D_{\beta }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }(\ast )$.

Negation der TNT-Eigenschaft

Mit der Eigenschaft $z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$ erhält man zunächst einmal die Abschätzung:

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in 𝒜,D_{\beta }>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le D_{\beta }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }(\ast )$.

Vergleich zur Charakterisierung der MLC-Singularität

Durch die Negation erhält man, dass es zu jedem $\alpha \in 𝒜:$ ein $\beta \in 𝒜$, in dem $z_{\beta }\in {𝒜}_{\mathcal{\beta }}$ also kein topologischer Nullteiler ist. Diese Negation liefert nach

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{{\beta }_{\alpha }\in 𝒜,D_{{\beta }_{\alpha }}>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le \Vert x{\Vert }_{\beta }\le D_{\beta }\cdot \Vert z\cdot x{\Vert }_{\beta }(\ast )$.

Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - TNT

Wir definieren darüber nun ein weiteres Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ aus submultiplikativen Halbnormen wie folgt über die Eigenschaft von $z\in A$, kein topologischer Nullteiler zu sein:

• $\widetilde{𝒜}\subseteq 𝒜$
• ${\beta }_{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$, wenn $\alpha \in 𝒜$ und ${\beta }_{\alpha }\in 𝒜$ mit $D_{{\beta }_{\alpha }}>0$ die obige Gleichung $(\ast )$ erfüllt. Zeigen Sie, dass $\Vert \cdot {\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ äquivalente Gaugefunktionalsysteme sind

Notation - Produktraum

Sei $I=\mathrm{\varnothing }$ eine Indexmenge. In der folgenden Charakterisierung der $ℳℒ𝒞$-Regularität werden Produkträume definiert bzw. als Algebraerweiterung konstruiert. Dabei wird folgende Kurzschreibweise des Produktraumes $M$ verwendet.

$M=(M_i{)}_{i\in I}:=\prod _{i\in I}{M}_i:=\{(x_i{)}_{i\in I}:x_i\in M_i\text{ für alle }i\in I\}$