Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen

Einbindung der SDGs in die Mathematik

Aus diskretem Gitter glatte Oberflächen erzeugen - NURBS

Inhalte

• /Einführung/ behandelt einen Kurzüberblick, wie die mathematischen Themen aus der Abbildung im Zusammenhang mit Nachhaltigkeitsproblemen (SDG) genutzt werden können.

Kapitel 0

Das Kapitel 0 enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind.

• Mengenlehre - (Folien)
• Komplexe Zahlen - (Foliensatz)
• Topologie
• Vektorräume (Foliensatz) , die in der Vorlesung verwendet werden.
• Transformationssatz für Integrale - (Foliensatz)
• Topologische Algebra - (Foliensatz)
• Potenzreihenalgebra - (Foliensatz)
  • /Polynomalgebra/
  • p-adische Zahlsysteme
  • Taylorreihe
• Stetigkeitssequenzen - (Foliensatz)

Kapitel 1 - Topologie - Stetigkeit - Wege

Ziel des Kapitels ist es, einen Funktionenraum topologisieren zu können und Stetigkeit von Funktionen für topologische Räume zu behandeln.

• Normen, Metriken, Topologie - (Folien)
• Netze - (Folien)
• Grenzen des Folgenbegriffs - (Foliensatz)

Kapitel 1.1 - Wege in Funktionen

Ausgehend von Wegen in Euklidischen Vektorräume $\gamma :[a.b]\to {ℝ}^n$ werden Wege in Funktionenräume behandelt. Einfache Wege in Funktionenräumen sind Konvexkombinationen von Funktionen $\gamma :[0.1]\to 𝒞([a,b],ℝ)$ mit $\gamma (t)=(1-t)\cdot f+t\cdot g$ als stetige Deformation einer Funktion $f$ in eine Funktion $g$.

• Wege und Nachhaltigkeit - (Foliensatz)
• Wege in der komplexen Zahlenebene - (Foliensatz)
• Konvexkombinationen als Wege - (Foliensatz)
• Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen - (Foliensatz)
• Wege in topologischen Räumen - (Foliensatz)
• Stetig oder diskret

Kapitel 1.2 - Diskrete Daten und Interpolation von Funktionen

• Interpolation von Gittern - NURBS - (Foliensatz)
• Distanzdiskrete Vektorräume - (Foliensatz)
• Glockenkurve - (Foliensatz)

Kapitel 1.3 - Topologische Vektorräume und topologieerzeugende Gaugefunktionale

Auf topologischen Vektorräumen $(V,𝒯)$ ist der Umgang mit einem System von offenen Mengen aufwendig. Metriken, Normen Halbnormen helfen dabei, topologische Eigenschaften (wie z.B. Konvergenz, Stetigkeit, ...) über diese topologieerzeugende Funktionale (siehe Gaugefunktional) auszudrücken. Das Topologisierungslemma für topologische Algebren verallgemeinert (Halb-)Normen und stellt den Zusammenhang zwischen der Topologie und den topologieererzeugenden Gaugefunktionalen her. Kreisförmige Nullumgebung liefern z.B. über Minkowskifunktionale die absolute Homogenität $|\lambda |\cdot \Vert v{\Vert }_{\alpha }=\Vert \lambda \cdot v{\Vert }_{\alpha }$, die bereits von Normen bekannt sind und die Konvexität der Nullumgebung die Gültigkeit der Dreiecksungleichung $\Vert v+w{\Vert }_{\alpha }\le \Vert v{\Vert }_{\alpha }+\Vert w{\Vert }_{\alpha }$ von Halbnormen.

• Topologische Vektorräume und topologische Algebren - (Foliensatz)
• Kreisförmige Mengen - (Foliensatz)
• Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale - (Foliensatz)
• Gaugefunktionale - (Foliensatz)
  • Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem - (Foliensatz)
  • Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung
  • Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen - (Foliensatz)
• Topologische Vektorräume und topologische Algebren - (Foliensatz)
• Topologisierungslemma für Algebren - (Foliensatz)

Kapitel 1.5 - Stetigkeit von linearen Abbildungen

Auf $𝕂$-Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale $\phi$ auf Funktionenräumen auffassen.

$\phi (f):=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Der Vektorraum der stetigen Funktion $𝒞([a,b],𝕂)$ mit der Norm

$\Vert f\Vert :=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

ist allerdings bzgl. der Norm nicht vollständig. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu $L_p(𝕂)$-Räumen mit $𝕂=ℝ,ℂ$.

• Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen - SLA (Foliensatz)
• SLA auf normierten Räumen - (Foliensatz)
• SLA auf topologischen Vektorräumen - (Foliensatz)
• Stetig oder diskret - (Foliensatz)
• Lineare Abbildungen - stetig
• Lineare Abbildungen - nicht stetig - (Foliensatz)

Kapitel 1.6 - Differenzierbarkeit auf topologische Algebren

Im Kontext von Nachhaltigkeit liefert das Änderungsverhalten Informationen darüber, ob die systemischen Veränderung bzgl. der Kenngrößen der Nachhhaltigkeit verbessert oder verschlechtert haben. Dazu betrachtet man Differenzierbarkeit auf topologischen Vektorräumen.

• Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie - (Foliensatz)

• Ableitungen in topologischen Vektorräumen - (Foliensatz)

Kapitel 1.7 - Nachhaltigkeitsaspekte

• Nachhaltigkeit und Mathematik
• Kreislaufwirtschaft - (Foliensatz)
• /Nachhaltigkeit und Mathematik in der Schule/
• /Nachhaltigkeitsaspekte und funktionale Darstellungen/
• Objektorientierte Mathematische Modellbildung - (Foliensatz)
• Digitaler Zwilling - (Foliensatz)

Kapitel 2

• Hilbertraum - (Foliensatz)
• Geometrische Aspekte der Skalarproduktnorm Foliensatz
• Hölderungleichung - (Foliensatz)
• Cauchy-Schwarz-Ungleichung - (Foliensatz)
• Satz des Pythagoras in (Prä-)Hilberträumen - (Foliensatz)
• Satz des Thales in (Prä-)Hilberträumen - (Foliensatz)
• Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren - (Foliensatz)
• Existenzsatz für Skalarprodukte - (Foliensatz) - Satz von Jordan und von Neumann

Kapitel 3

Dies Kapitel befasst sich mit der Verallgemeinerung des Integrationsbegriffes auf topologische Gruppen. Im Vergleich zu einem topologischen Vektorraum gibt es hier nur eine stetige Gruppenoperation $\circ$ mit stetiger Inversenbildung. Dies ist eine Verallgemeinerung des klassischen Integrationsbegriffes einer additiven Gruppe $(ℝ,+)$.

• topologische Gruppen - (Foliensatz)
  • Kongruenzabbildungen der Ebene als topologische Gruppen
• Prozesse und Nachhaltigkeit - (Foliensatz)
• Zufallsvariablen für Vektorräume - (Foliensatz)
• Stochastischer Prozess - (Foliensatz)
• Funktionenräume - (Foliensatz)
• Fuzzylogik - (Foliensatz) - Beispiel für Teilmengen von Funktionenräumen
• Konvergenz in Funktionenräumen - (Foliensatz)
• Maschinelles Lernen als Funktionenfolgen - (Foliensatz)
• Maße als stetige lineare Funktionen - (Foliensatz)
• Topologischer Dualraum - (Foliensatz)

• Semi-Skalarprodukt - (Foliensatz)

• Risikomanagement

Software

• OpenLCA - Open Life Cycle Assessment - Open Source Software für Nachhaltigkeitmaße
• Mit der OpenSource-Software Xournal können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen (Download GitHub) und
• für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton einsetzen.
• Maxima CAS oder CAS4Wiki als Computeralgebrasystem
• Octave für numerische Berechnung
• Maßtheoretische Analysen von Data mit R, sowie Dokumentengenerierung mit KnitR

Handschriftliche Annotationen

• Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in Videokonferenzen kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben
  • eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder
  • die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen.

Siehe auch

Weitere Hinweise zu Lerninhalten gliedern sich in

• fachmathematische inhaltliche Bezüge und
• fächerübergreifende Bezüge

Siehe auch - Fachmathematische Inhalte

• Harmonische Analyse
• Kurs:Funktionalanalysis
• Kurs:Funktionentheorie
• Kurs:Stochastik
• Kurs:Numerik I
• Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien
• Kurs:Räumliche Modellbildung - deterministische Kontaktmodelle
• Definition: Metrik

Siehe auch - Fächerübergreifende Inhalte

• Grenzen des Wachstums
• Geplante Obsoleszenz
• Nachhaltigkeitsziele der Vereinten Nationen
• Quiz für Vorlesungsinhalte
• Videokonferenz/mündliche Prüfung
• Tailored WikiBook
• 3D-Modellierung