Kurs:Funktionalanalysis/Hölderungleichung

In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für L^p-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte.

Einleitung

Dieser Abschnitt behandelt die Verallgemeinerung der Ungleichungen

• $|⟨x,y⟩|\le \Vert x{\Vert }_p\cdot \Vert y{\Vert }_q$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ und $p,q>0$

bzw. der Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung als Spezialfall mit $p=q=2$ und

• $|⟨x,y⟩|\le \Vert x{\Vert }_2\cdot \Vert y{\Vert }_2$

Aussage

Höldersche Ungleichung in endlichdimensionalen Vektorräumen

Gegeben sei ein Prähilbertraum $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ und zwei beliebige Vektoren $v,w\in {𝕂}^n$ mit $𝕂=ℝ,ℂ$.

Für $p\in [1,\mathrm{\infty })$ definiert man

$\Vert v{\Vert }_p={(\sum _{k=1}^n|v_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$

Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für $1\le p,q\le \mathrm{\infty }$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, wobei $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$ vereinbart ist, gilt

$|⟨v,w⟩|\le \sum _{k=1}^n|v_k\cdot w_k|\le \Vert v{\Vert }_p\cdot \Vert w{\Vert }_q$

Höldersche Ungleichung in Folgenräumen

Gegeben sei ein Prähilbertraum $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ und zwei beliebige Vektoren $v,w\in {𝕂}^{\mathbb{N}}$ mit $𝕂=ℝ,ℂ$.

Für $p\in [1,\mathrm{\infty })$ definiert man

$\Vert v{\Vert }_p={(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|v_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$

Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für $1\le p,q\le \mathrm{\infty }$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, wobei $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$ vereinbart ist, gilt

$|⟨v,w⟩|\le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|v_k\cdot w_k|\le \Vert v{\Vert }_p\cdot \Vert w{\Vert }_q$

Beweis 1 - Höldersche Ungleichung in Folgenräumen

Seien $1<p,q<\mathrm{\infty }$ gewählt. Ohne Einschränkung seien $\Vert f{\Vert }_p>0$ und $\Vert g{\Vert }_q>0$. Nach der youngschen Ungleichung gilt:

$AB\le \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}$

für alle $A,B\ge 0$. Setze hierin speziell $A:=\frac{|v_k|}{\Vert v{\Vert }_p},B:=\frac{|w_k|}{\Vert w{\Vert }_q}$ ein.

Beweis 2 - Höldersche Ungleichung in Folgenräumen

Summation liefert mit der youngschen Ungleichung

$\begin{array}{cc}\frac{1}{\Vert v{\Vert }_p\Vert w{\Vert }_q}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|v_k\cdot w_k|& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|v_k|\cdot |w_k|}{\Vert v{\Vert }_p\cdot \Vert w{\Vert }_q}\\ & \le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p}\frac{|v_k{|}^p}{\Vert v{\Vert }_p^p}+\frac{1}{q}\frac{|w_k{|}^q}{\Vert w{\Vert }_q^q}\\ & =\frac{1}{p}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|v_k{|}^p}{\Vert v{\Vert }_p^p}+\frac{1}{q}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|w_k{|}^q}{\Vert w{\Vert }_q^q}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\\ \end{array}$

Durch Multiplikation mit der p-Norm bzw. q-Norm erhält man die höldersche Ungleichung für Folgenräume.

Höldersche Ungleichung auf Maßräumen

Gegeben sei ein Maßraum $(X,𝒜,\mu )$ und messbare Funktionen

$f,g:X\to \overline{ℝ}$

Für $p\in [1,\mathrm{\infty })$ und mit der Konvention ${\mathrm{\infty }}^p={\mathrm{\infty }}^{\frac{1}{p}}=\mathrm{\infty }$ definiert man

$H_p(f)={(\underset{X}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{p}}$

und

$H_{\mathrm{\infty }}(f)=\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\underset{x\in X}{\sup }|f(x)|=\underset{N\subset X,\mu (N)=0}{\inf }\underset{x\in X\setminus N}{\sup }|f(x)|$

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für $1\le p,q\le \mathrm{\infty }$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, wobei $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$ vereinbart ist, gilt

$H_1(fg)\le H_p(f)\cdot H_q(g)$

Man bezeichnet $q$ als den zu $p$ konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist ${ℒ}^p(X,𝒜,\mu )$ der Raum der $p$-fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist $\Vert \cdot {\Vert }_p$ die Lp-Norm, so gilt für $f\in {ℒ}^p(X,𝒜,\mu ),g\in {ℒ}^q(X,𝒜,\mu )$ immer

$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert g{\Vert }_q$.

Spezialfälle

Schwarzsche Ungleichung

Wählt man als Maßraum $([a,b],ℬ([a,b]),\lambda )$, also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen $f,g\in {ℒ}^2([a,b],ℬ([a,b]),\lambda )$, so lautet die Hölder-Ungleichung mit $p=q=2$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|fg|\mathrm{d}\lambda \le {(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f{|}^2\mathrm{d}\lambda )}^{\frac{1}{2}}\cdot {(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|g{|}^2\mathrm{d}\lambda )}^{\frac{1}{2}}$

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Cauchy-Ungleichung

Wählt man als Maßraum die endliche Menge $\{1,\dots ,n\}$, versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

$\sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q)}^{1/q},$

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$. Für $p=q=2$ erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x{\Vert }_2\cdot \Vert y{\Vert }_2$

Höldersche Ungleichung für Reihen

Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$, wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{b}_k|\le {(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{|}^p)}^{1/p}{(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|b_k{|}^q)}^{1/q}$.

für reelle oder komplexe Folgen $(a_k{)}_{k\in \mathbb{N}},(b_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$. Im Grenzfall $q=\mathrm{\infty }$ entspricht dies

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{b}_k|\le (\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k|)\cdot \underset{k\in \mathbb{N}}{\sup }|b_k|$.

Verallgemeinerung

Es seien $p_j\in [1,\mathrm{\infty }],j=1,\dots ,m$ sowie $\frac{1}{r}:={\sum }_{j=1}^m\frac{1}{p_j}$ und $f_j\in L^{p_j}(S)$ für alle $j=1,\dots ,m$.

Dann folgt

$\prod _{j=1}^m{f}_j\in L^r(S)$

und es gilt die Abschätzung

${\Vert \prod _{j=1}^m{f}_j\Vert }_r\le \prod _{j=1}^m{\Vert f_j\Vert }_{p_j}.$

Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.

Falls $(a_{i,j}{)}_{i\in \{1,2,\dots ,n\},j\in \{1,2,\dots ,m\}}$ eine Familie von $m$ Folgen nicht-negativer reeller Zahlen ist, und $({\lambda }_j{)}_{j\in \{1,\dots ,m\}}$ nicht-negative reelle Zahlen mit $\sum _{j=1}^m{\lambda }_j=1$ sind, so gilt

$\sum _{i=1}^n\prod _{j=1}^m{a}_{i,j}^{{\lambda }_j}\le \prod _{j=1}^m{\left(\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}\right)}^{{\lambda }_j}.$

Umgekehrte höldersche Ungleichung

Es sei $g(x)\ne 0$ für fast alle $x\in S$.

Dann gilt für alle $r>1$ die umgekehrte höldersche Ungleichung

$\underset{S}{\int }|f(x)g(x)|dx\ge {(\underset{S}{\int }|f(x){|}^{\frac{1}{r}}dx)}^r{(\underset{S}{\int }|g(x){|}^{-\frac{1}{r-1}}dx)}^{-(r-1)}.$

Beweise

Beweis der hölderschen Ungleichung

Für $p=1,q=\mathrm{\infty }$ (und umgekehrt) ist die Aussage der hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass $1<p,q<\mathrm{\infty }$ gilt. Ohne Einschränkung seien $\Vert f{\Vert }_p>0$ und $\Vert g{\Vert }_q>0$. Nach der youngschen Ungleichung gilt:

$AB\le \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}$

für alle $A,B\ge 0$. Setze hierin speziell $A:=\frac{|f(x)|}{\Vert f{\Vert }_p},B:=\frac{|g(x)|}{\Vert g{\Vert }_q}$ ein. Integration liefert

$\frac{1}{\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q}\underset{S}{\int }|fg|\mathrm{d}\mu \le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$

was die höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über $m$ geführt. Der Fall $m=1$ ist trivial. Sei also nun $m\ge 2$ und ohne Einschränkung sei $p_1\le \cdots \le p_m$. Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: $p_m=\mathrm{\infty }.$ Dann ist $\frac{1}{r}={\sum }_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j}.$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

$\Vert f_1\cdots f_m{\Vert }_r\le \Vert f_m{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\Vert f_1\cdots f_{m-1}{\Vert }_r\le \Vert f_m{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\Vert f_1{\Vert }_{p_1}\cdots \Vert f_{m-1}{\Vert }_{p_{m-1}}.$

Fall 2: $p_m<\mathrm{\infty }$. Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten $\frac{p_m}{p_m-r},\frac{p_m}{r}$ gilt

$\underset{S}{\int }|f_1\cdots f_{m-1}{|}^r|f_m{|}^r\mathrm{d}\mu \le {(\underset{S}{\int }|f_1\cdots f_{m-1}{|}^{\frac{r{p}_m}{p_m-r}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{p_m-r}{p_m}}{(\underset{S}{\int }|f_m{|}^{p_m}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{r}{p_m}},$

also $\Vert f_1\cdots f_m{\Vert }_r\le \Vert f_1\cdots f_{m-1}{\Vert }_{\frac{r{p}_m}{p_m-r}}\Vert f_m{\Vert }_{p_m}$. Nun ist ${\sum }_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j}=\frac{1}{r}-\frac{1}{p_m}=\frac{p_m-r}{r{p}_m}$. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten hölderschen Ungleichung

Die umgekehrte höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten $p:=r$ und $q:=r^{\prime }=\frac{p}{p-1}$ wählt. Man erhält damit:

$\underset{S}{\int }|f{|}^{\frac{1}{r}}\mathrm{d}\mu =\underset{S}{\int }(|fg{|}^{\frac{1}{r}}\cdot |g{|}^{-\frac{1}{r}}\mathrm{d}\mu )\le {(\underset{S}{\int }|fg|\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{r}}{(\underset{S}{\int }|g{|}^{-\frac{r^{\prime }}{r}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{r^{\prime }}}.$

Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit $r$ liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.

Anwendungen

Beweis der Minkowski-Ungleichung

Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im $L^p$) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen

Seien $f\in L^p(S)\cap L^q(S)$ und $1\le q\le r\le p$, dann folgt $f\in L^r(S)$ und es gilt die Interpolationsungleichung

$\Vert f{\Vert }_r\le \Vert f{\Vert }_p^{1-\theta }\Vert f{\Vert }_q^{\theta }$

mit $\frac{1}{r}=:\frac{1-\theta }{p}+\frac{\theta }{q}$ beziehungsweise $\theta :=\frac{q}{r}\frac{p-r}{p-q}$ für $q\ne p$.

Beweis: Ohne Einschränkung sei $q<r<p$. Fixiere $t\in (0,1)$ mit $r=tp+(1-t)q$. Beachte, dass $\frac{1}{t}$ und $\frac{1}{1-t}$ konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt

$\underset{S}{\int }|f{|}^r\mathrm{d}\mu =\underset{S}{\int }|f{|}^{tp}|f{|}^{(1-t)q}\mathrm{d}\mu \le {(\underset{S}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^t{(\underset{S}{\int }|f{|}^q\mathrm{d}\mu )}^{1-t}$.

Potenzieren der Ungleichung mit $\frac{1}{r}$ und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von Young

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

$\Vert f\star g{\Vert }_r\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$

für $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1+\frac{1}{r}$ und $p,q,r\ge 1$.

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
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Siehe auch

• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen
• Cauchy-Schwarz-Ungleichung

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