Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras

Definition: Orthogonalität

Sei $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ ein (Prä-)Hilbertraum. Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal, wenn für das Skalarprodukt $⟨v,w⟩=0$ gilt. Bezeichnung $v\mathrm{\perp }w$

Satz des Pythagoras

Sei $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei orthogonale Vektoren $v,w\in V$ ($v\mathrm{\perp }w$) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras.

$\Vert v+w{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2+\Vert w{\Vert }^2$,

Beweis

Nutzen Sie die Eigenschaften des Skalarproduktes über $ℂ$, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen.

Bemerkung

Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren $v_1,\dots ,v_n\in V$ erweitert werden und es gilt dann

$\Vert v_1+\cdots +v_n{\Vert }^2=\Vert v_1{\Vert }^2+\cdots +\Vert v_n{\Vert }^2$.

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung

Vektorraum der stetigen Funktionen

Mit $V=𝒞([a,b],𝕂)$ und $𝕂=\mathbb{Q},ℝ,ℂ)$ ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

$+:V\times V\to V$ mit $(f,g)\mapsto f+g:=h$ und $h(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes $x\in [a,b]$ definert:

$\cdot :𝕂\times V\to V$ mit $(\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h$ und $h(x):=\lambda \cdot f(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

Skalarprodukt

Mit dem Skalarprodukt $⟨f,g{⟩}_V={\int }_a^b\overline{f(x)}g(x)\mathrm{d}x$ ist $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist.

Orthogonalität

Sei $𝕂=ℝ$, $a=0$ und $b=2\pi$. Zeigen Sie, dass die Funktionen $f(x)=sin(x)$ und die Funktion $g(x)=4$ orthogonal sind, also $⟨f,\cdot g⟩=0$ gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten $f,g$ und der Hypotenuse $f+g$!

Siehe auch

• Orthogonalität
• Hilbert-Raum
• Satz des Thales

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