Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - stetig

Einführung

Auf $𝕂$-Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale $\phi$ auf Funktionenräumen auffassen.

$\phi (f):=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Der Vektorraum der stetigen Funktion $𝒞([a,b],𝕂)$ mit der Norm

$\Vert f\Vert :=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

ist allerdings bzgl. der Norm nicht vollständig. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu $L_p(𝕂)$-Räumen mit $𝕂=ℝ,ℂ$.

Aufgaben für Studierende - normierte Räume

• Zeigen Sie mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen auf nomierten Räumen, dass die obige Abbildung $\phi$ mit der oben definierten Norm $\Vert \cdot \Vert$ stetig ist.
• Definiert man die Maximums-/Supremumsnorm $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f(x)|$, so wird $𝒞([a,b],𝕂)$ ebenfalls zu einem topologischen Vektorraum. Zeigen, dass die obige Abbildung $\phi$ ebenfalls mit der Maximumsnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ stetig ist.

Konsequenzen der Stetigkeit von Maßen

Bei Maschinellen Lernen (ML) verändert sich das Verhalten einer Maschine $M_t:X\to Y$ über die Zeit $t\in T$ (z.B. $t\in \mathbb{N}$). Man erhält also z.B. eine Funktionenfolge $(M_t{)}_{t\in \mathbb{N}}$. Konvergiert nun $M_t\stackrel{t\to \mathrm{\infty }}{⟶}{M}_o$, so liefert die Stetigkeit eines Maßes $\mu :V\to 𝕂$ ($𝕂$ Körper), dass auf der Messwert im Grenzwert bzw. der Grenzfunktion mit dem Grenzwert der iterativen Messung der Funktionenfolge $(\mu (M_t){)}_{t\in \mathbb{N}}$ übereinstimmt.

$\underset{M_t\to M_o}{\lim }\mu (M_t)=\mu (M_o)$

Siehe auch

• Stetigkeitssatz für normierte Räume
• Stetigkeitssatz für topologische Vektorräume
• bilineare Abbildungen
• Netze (Mathematik)
• Hahn-Banach - normierte Räume
• Kurs:Funktionalanalysis
• Kontraposition
• Konvergenz in normierten Räumen
• Normenäquivalenzsatz
• Stetigkeit in topologischen Räumen
• Submultiplikativität
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen
• Kurs:Maschinelles Lernen