Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen

Einleitung

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Zielsetzung

Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, die Konvergenz auf einem Funtionenraum $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ zu betrachten, die mit einem System von Gaugefunktionalen $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ topologisiert wurde.

Einleitung

Die Konvergenz von Funktionennetze als Verallgemeinerung von Funktionenfolgen z.B. in normierten oder metrischen Räumen tritt in dieser Lernressource im Kontext von Potenzreihen mit Koeffizenten in $A$ auf und bei Abbildungen $f:A\to A$, die dann selbst als Potenzreihen dargestellt werden können.

Konvergenz von Potenzreihen

Zunächst betrachtet man eine Potenzreihe in $\overline{A[t]}$ in Banachräumen von Funktionen, die dann als Folge der Partialsummen in $A$ aufgefasst werden. Ist das Argument $t$ einer Potenzreihe $p(t)$ mit $p\in A[t]$ ein Element aus dem Körper $𝕂$, dann benötigt man mit dem reellwertiges Argument lediglich die innere und äußere Verknüpfung auf einem toplogischen Vektorraum $A$. Wird das Argument $t$ einer Potenzreihe $p(t)$ als Element von $t\in A$ aufgefasst, dann entstehen in einer Potenzreihe als Summanden der Form $p_n\cdot t^n$. Dabei muss $A$ zusätzlich eine Multiplikation $\cdot :A\to A$ als innere Verknüpfung besitzen und eine vollständige Algebra bzw. des Gaugefunktionalsystems $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$ sein.

Konvergenz von Funktionsnetzen

Potenzreihen $p\in \overline{A[t}$ in einer Banachalgebra mit Argumenten in $A$ sind Abbildungen $p:A\to A$. Allgemeiner kann man Funktionenfolgen $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $f_n:A\to A$, die in dem Funktionenraum $ℱ(A,A)$ als topologischem Vektorraum konvergieren. Potenzreihen als Folge von Partialsummen kann man dabei Spezialfall der Folgenkonvergenz in Funktionenräumen betrachten.

Aufgaben für Studierende

Sei $(A,\Vert \cdot \Vert )$ mit $A=𝒞([a,b],ℝ)$, der Norm $\Vert f\Vert :=\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)|$ und den Algebraverknüpfungen wie folgt definiert:

$+:A\times A\to A$ mit $(f,g)\mapsto f+g:=h$ und $h(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

$\circ :A\times A\to A$ mit $(f,g)\mapsto f\circ g:=h$ und $h(x):=f(x)\cdot g(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

Die äußere Verknüpfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes $x\in [a,b]$ definert:

$\cdot :𝕂\times A\to A$ mit $(\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h$ und $h(x):=\lambda \cdot f(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

Aufgabe 1 - Polynome

Erzeugen Sie eine Polynom $p\in A[t]$ dritten Grades und berechnen Sie $p(t)$ mit $t\in A$ und $t(x):=sin(x)$.

Aufgabe 2 - Potenzreihe

Erzeugen Sie eine Potenzreihe $p\in \overline{A[t]}$ mit $|||p|||:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert p_k\Vert$, $p_k=0_A$ für alle $n\in {\mathbb{N}}_0$ und berechnen Sie $|||p|||$!

Funktionenalgebren

Mit dem Topologisierungslemma für Algebren erfüllt dann das Gaugefunktionalsystem ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ die Eigenschaften (A1)-(A5):

• (A1) ${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜,x\in A}:{\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge 0$
• (A2) $({\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}:{\Vert x\Vert }_{\alpha }=0)⟹x=0_A$
• (A3) ${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜,x\in A,\lambda \in 𝕂}:{\Vert \lambda \cdot x\Vert }_{\alpha }=|\lambda |\cdot {\Vert x\Vert }_{\alpha }$
• (A4) ${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in 𝒜}{\mathrm{\forall }}_{x,y\in A}:{\Vert x+y\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{\beta }+{\Vert y\Vert }_{\beta }$
• (A5) ${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in 𝒜}{\mathrm{\forall }}_{x,y\in A}:{\Vert x\cdot y\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{\beta }\cdot {\Vert y\Vert }_{\beta }$

Potenzreihen allgemein

Eine Potenzreihe $p\in \overline{A[t]}$ wird als Element der Vervollständigung der Polynomalgebra $A[t]$ betrachtet, wobei mit $|||p||{|}_{\alpha }:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert p_k{\Vert }_{\alpha }$ dann $|||p|||<\mathrm{\infty }$ für alle $\alpha \in 𝒜$ erfüllt sein muss.

Aufgabe 1

Sei $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}})$ mit $A=𝒞(ℝ,ℝ)$, den Halbnormen $\Vert f{\Vert }_n:=\underset{x\in [-n,+n]}{\max }|f(x)|$ und den oben genannten Algebraverknüpfungen definiert. Sein nun $p\in \overline{A[t]}$ mit $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k\cdot t^k$ mit $p_k(x):=\frac{1}{2^k}\cdot x^2$ definiert. Berechnen Sie $|||p||{|}_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$ und überprüfen Sie damit, ob $p\in \overline{A[t]}$ erfüllt ist!

Aufgabe 2

Zeigen Sie (A1)-(A5) für $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}})$ und für $(\overline{A[t]},|||\cdot ||{|}_{\mathbb{N}})$ für die oben definierte topologische Algebra (lokalkonvexe Algebra) $A=𝒞(ℝ,ℝ)$.

Aufgabe 3

Sei ${ℝ}^n$ der Parameterraum von einer Teilmenge von Funktionen aus $A=𝒞([a,b],ℛ)$ mit der Integralnorm auf $A$.

$\Vert \cdot \Vert A\to ℝf\mapsto \Vert f\Vert :=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

Betrachten Sie das Gradientenabstiegsverfahren und erläutern Sie, wie über die Parametrisierung der Funktionen in $A$ eine Funktionenfolge in $A$ entsteht. Erzeugen Sie Funktionenfolge mit Parameter $(C_n,D_n,E_n)\in {ℝ}^3$ mit $f_n(x):=C_n\cdot cos(x)+D_n\cdot x+E_n$. Zeigen Sie für Ihre konvergente Parameterfolge $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(C_n,D_n,E_n)=(C_0,D_0,E_0)$, dass die Funktion $f_n$ in der Integralnorm gegen eine Funktion $f_o\in A$ konvergiert. Geben Sie $f_0\in A$ an und weisen Sie die Konvergenz in der Integralnorm nach!

Siehe auch

• Topologische Algebra
• Stochastischer Prozess
• Wiki2Reveal
• Gradientenabstiegsverfahren

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