Kurs:Gewöhnliche Differentialgleichungen

Vorlage:Fachbereich Die behandelten Themen im Überblick:

• Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung
• Analytische Lösungsansätze für gewöhnliche Differentialgleichungen
• Numerische Lösungsmethoden, Diskretisierungsfehler
• Einschrittverfahren, Runge-Kutta Verfahren
• Mehrschrittverfahren
• Konvergenz und Stabilität

Erwerb von Kenntnissen zur Lösbarkeit wie auch ausgewählten analytischen Lösungsansätzen und zu numerischen Verfahren für die Approximation der Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Besonderheiten der numerischen Verfahren, ihre Konvergenz und Stabilität werden im Hinblick auf ihre praktikable Anwendung und Implementierung untersucht.

Bermerkung

Diese Seite befindet sich im Aufbau. Geplante Nutzung in der Vorlesung zum SoSe 2024.

Verfügbarkeit in anderen Sprachen

Dieser Kurs zu gewöhnlichen Differentialgleichung wird ebenfalls im Rahmen einer Kooperation mit der Comenius Universität Bratislava in die slowakische Sprache übersetzt:

Obyčajné differenciálne rovnice (in slovak)

Inhalte

Kapitel 1: Einführung

Approximation der Traktrix Kurve, expliziter Zugang

• 1.1 Differentialgleichungen
• 1.2 Terminologie

Kapitel 2: Lösbarkeit der Anfangswertaufgabe

• 2.0 Einführung
• 2.1 Iteration von Picard-Lindelöf
• 2.2 Abhängigkeit der Lösung von Anfangswerten
• 2.3 Lineare Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen
  • 2.3.1 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

Kapitel 3: Allgemeine Einschrittverfahren

Demonstration Einschrittverfahren und Dreischrittverfahren.

Lokaler (${\epsilon }_i$) und globaler ($e_i$) Diskretisierungsfehler der Einschrittverfahren.

• 3.0 Einführung in die Einschrittverfahren
• 3.1 Konsistenz und Konvergenz eines Einschrittverfahrens
• 3.2 Schrittweitensteuerung bei Einschrittverfahren

Kapitel 4: Runge-Kutta Verfahren

• 4.0 Einführung
  • Herleitung der Runge-Kutta Verfahren
• 4.1 Ordnungsbedingungen für Runge-Kutta Verfahren
• 4.2 Eingebettete Runge-Kutta Paare
• 4.3 Implizite Runge-Kutta Verfahren
  • Kollokationsverfahren

Kapitel 5: Steife Probleme und A-Stabilität

• 5.0 Steife Probleme und A-Stabilität (Seite befindet sich in Bearbeitung)

Kapitel 6: Mehrschrittverfahren

• 6.0 Mehrschrittverfahren (Seite befiendet sich in Bearbeitung)

Literatur

1. Hairer, Ernst, Nørsett, Syvert P., Wanner, Gerhard: Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems, Springer Series in Computational Mathematics, 1993. Springer
2. Hairer, Ernst, Wanner, Gerhard: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer Series in Computational Mathematics, 1996. Springer
3. Hanke-Bourgeois, Martin: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Springer, Vieweg+Teubner, 2009. Springer