Kurs:Gewöhnliche Differentialgleichungen/5.0 Steife Probleme und A-Stabilität

Es gibt DGL, derer num. Approximation mithilfe expliziter Verfahren viel kleinere Schritte benötigt, als man erwartet. Solche Probleme nennt man STEIF. Ein Beispiel dazu ist folgende Differentialgleichung:

Beispiel:

$y^{\prime }=-\lambda (y-exp(-t))-exp(-t)$

$y(0)=1$

exakte Lösung $y(t)=exp(t)$

Nummerische Ergebnisse: (explizites Verfahren)

	Euler-Verfahren 1. Ord	Verbessertes Eulerverfahren 2. Ord	klassiches RK 4.Ord
$\lambda =1$, Fehler in $t=1$	-1,9*10^-3	6,2*10^-6	3*10^-11
$\lambda =1000$, Fehler in $t=0,1$	1,7*10^4	4,2*10^10	1,6*10^19

Der Fehler wächst rasant direkt nach dem Start bei dem klassichen RK

... (Abbildung)

Grund: num. Verfahren startet in jedem Schritt (bis auf erstes aus nicht-exaktem Wert $\eta =exp(t_i),i=1,2,..,N_k-1$

Approximationsfehler verbreitet sich umso schneller, umso größer $\lambda$ ist, denn:

löse:$y^{\prime }=\lambda (y-exp(-t))-exp(-t),y(t_i)={\eta }_i$ Startwert nicht exakt $i=1,2,...,N_k-1$ exakte Lösung:

... (handschriftlich)

• Das explizite Einschrittverfahren schießt über das Ziel hinaus,
• Diskretisierungsfehler schaukeln sich auf

5.1 Stabilitätsgebiete

Testgleichung: (AWA)

...

• Je größer $|\lambda |$, desto schneller klingt die exakte Lösung $y=exp(\lambda /t)$ ab (Steigung wächst)
• Standarte explizite Verfahren versagen wenn die Schrittweite nicht klein genug gewählt war, h --> 0 (steif).

Beispiel 1: explizites Eulerverfahren: Anwedung an (5.1) => numerische Folge:

...

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