Kurs:Gewöhnliche Differentialgleichungen/2.3.1 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

2.3.1 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

Sei nun die Matrix $A(t)$ in (2.11) konstant, $A(t)\equiv A\in {ℝ}^{m\times m}.$ Das Prinzip der Superposition und die daraus folgende Formel (2.17) ist in diesem Spezialfall gültig und liefert die Lösung des inhomogenes Problems (2.11). Die der homogenen Gleichung ${\overrightarrow{y}}^{\prime }(t)=A\overrightarrow{y}(t)$ zugehörige Fundamentalmatrix besteht aus $m$ unabhängigen vektorwertigen Funktionen ${\overrightarrow{y}}^i,i=1,\dots m,$ die den Lösungen von $$({\overrightarrow{y}}^i(t){)}^{\prime }=A{\overrightarrow{y}}^i(t)(2.18)$$

entsprechen. Jede andere Lösung dieser homogenen Differentiagleichung lässt sich als Kombination ${\sum }_{i=1}^m{c}_i{\overrightarrow{y}}^i(t),c_i\in ℝ$ dieser Lösungen darstellen. Die Konstanten $c_i$ werden später durch die Anfangsbedingung bestimmt, denn es muss gelten $\overrightarrow{y}(t_0)\stackrel{}{=}{\sum }_{i=1}^m{c}_i{\overrightarrow{y}}^i(t_0).$

Die Lösung von (2.18) bestimmen wir mithilfe von Eigewerten (EW) und Eigenvektoren (EV) der Matrix $A$. Für die Eigenwerte und Eigenvektoren von $A$ gilt: $$A{\overrightarrow{v}}_i={\lambda }_i{\overrightarrow{v}}_i,i=1,\dots m,$$ wobei ${\lambda }_i\in ℝ$ oder $ℂ$ der $i$-te Eigenwert und ${\overrightarrow{v}}_i\in {ℝ}^m$ oder $C^m$ der zugehörige Eigenvektor ist, ${\overrightarrow{v}}_i\ne \mathrm{𝟎}$. Nach dem Umformulieren der obigen Gleichung erhalten wir $(A-{\lambda }_{i}I){\overrightarrow{v}}_i=0,i=1,\dots m,$ woraus folgt, dass die Matrix $(A-{\lambda }_{i}I)$ singulär ist. Das ist äquivalent zu $det(A-{\lambda }_{i}I)=0$. Die Determinante $det(A-\lambda I)$ ist ein Polynom $m$-ten Grades in $\lambda$, das sogenannte charakteristischen Polynom $\rho (\lambda )$. Also sind die Eigenwerte ${\lambda }_i$ Nullstellen von $\rho (\lambda )=det(A-\lambda I)$. Im Folgenden betrachten wir zunächst den Fall der einfachen Nullstellen von $\rho (\lambda )$, ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\ne \dots \ne {\lambda }_m.$

Wir suchen nun nach der Lösung von (2.18). Besteht der Lösungsvektor $\overrightarrow{y}{}^i(t)=f(t){\overrightarrow{v}}_i$ aus dem (konstanten) Eigenvektor Anteil ${\overrightarrow{v}}_i$ und dem skalaren Anteil $f(t)$, dann entsteht auf der rechten Seite von (2.18) $f(t){\lambda }_i{\overrightarrow{v}}_i$, und der nicht-konstante, $t-$ abhängige, skalare Anteil $f(t)$ von $\overrightarrow{y}{}^i$ muss den Ausdruck $e^{{\lambda }_{i}t}$ enthalten. So kommen wir zu einer Lösung $$\overrightarrow{y}{}^i(t)=e^{{\lambda }_{i}t}{\overrightarrow{v}}_i.$$ (überzeugen Sie sich davon dass $(\overrightarrow{y}{}^i(t){)}^{\prime }=A\overrightarrow{y}{}^i(t)$.)

Schließlich definieren wir die Fundamentalmatrix für die homogene Dgl (2.18) im Fall einfacher Eigenwerte.

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Defintion 2.4 (Fundamentalmatrix für die homogene Dgl (2.18) im Fall einfacher Eigenwerte

Seien die Eigenwerte der Matrix $A$ einfach, ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\ne \dots \ne {\lambda }_m.$ Die Fundamentalmatrix der homogenen Differentialgleichung (2.18) hat dann folgende Form $$Y(t)=((\overrightarrow{y}{}^1(t),\dots ,\overrightarrow{y}{}^m(t))=\left(\begin{array}{cccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}{\overrightarrow{v}}_1,& e^{{\lambda }_{2}t}{\overrightarrow{v}}_2,& \dots & ,e^{{\lambda }_{m}t}{\overrightarrow{v}}_m\\ ⋮& ⋮& & ⋮\end{array}\right),(2.19)$$

wobei die ${\lambda }_i,{\overrightarrow{v}}_i,i=1,\dots ,m$ die (einfachen) Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von $A$ sind.

Nun können wir die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems bestimmen. Sei $\overrightarrow{y}(t)$ die Lösung von (2.18) mit $\overrightarrow{y}(t_0)={\overrightarrow{y}}_0$. Dann ist $\overrightarrow{y}(t)\stackrel{}{=}{\sum }_{i=1}^m{c}_i{\overrightarrow{y}}^i(t)$, wobei ${\overrightarrow{y}}^i(t)$ die Spalten der Fundamentalmatrix (2.19) sind und die Konstanten $c_1,\dots c_m$ als Lösung des folgenden linearen Systems bestimmt werden, $$Y(t_0)\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{cccc}{\overrightarrow{v}}_1,& {\overrightarrow{v}}_2,& \dots & ,{\overrightarrow{v}}_m\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ & & & \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_m\end{array}\right)={\overrightarrow{y}}_0.$$ Dieses lineare System entspricht genau der Bedingung $\overrightarrow{y}(t_0)\stackrel{}{=}{\sum }_{i=1}^m{c}_i{\overrightarrow{y}}^i(t_0)={\overrightarrow{y}}_0,$ da ${\overrightarrow{y}}^i(t_0)={\overrightarrow{v}}_i$.

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Beispiel 2.3. Finde die Lösung der Anfangswertaufgabe dritter Ordnung $$y^{‴}+6y^{″}+11y^{\prime }+6y=0,y(0)=1,y^{″}(0)=y^{\prime }(0)=0.$$ Nach dem Umformulieren dieser Gleichung in ein $3\times 3$ System von Dgl für $\overrightarrow{y}(t)=(y_1,y_2,y_3{)}^T=(y,y^{\prime },y^{″}{)}^T$ erhalten wir $$(\overrightarrow{y}(t){)}^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -6& -11& -6\end{array}\right)\overrightarrow{y}(t),\overrightarrow{y}(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$ Wir bestimmen die Eigenwerte und Eigenvektoren der Systemmatrix. Das charakteristische Polynom dieser Matrix ist $$\rho (\lambda )=det\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & 1& 0\\ 0& -\lambda & 1\\ -6& -11& -6-\lambda \end{array}\right)=-(6+\lambda ){\lambda }^2-11\lambda -6.$$ Die Nullstellen von $\rho (\lambda )$ sind ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-2,{\lambda }_3=-3.$ Die entsprechende Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten sind (nachrechnen!) $${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\overrightarrow{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 4\end{array}\right),{\overrightarrow{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 9\end{array}\right)$$ (oder nicht-verschwindende vielfache ${\overrightarrow{v}}_i\ne \mathrm{𝟎}$ davon). Nun können wir die allgemeine Lösung unseres Systems mithilfe von (2.19) als eine beliebige Kombination der Spalten der Fundamentalmatrix $Y(t)$ bestimmen, $$\overrightarrow{y}(t)=Y(t)\overrightarrow{c}=c_1{e}^{-t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)+c_2{e}^{-2t}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 4\end{array}\right)+c_3{e}^{-3t}\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 9\end{array}\right).$$ Die Lösung unserer ursprünglichen Differentialgleichung dritter Ordnung entspricht der ersten Komponente von $\overrightarrow{y}(t),$ also $y(t)=c_1{e}^{-t}+c_2^{-2t}+c_3{e}^{-3t}$. Aus den Anfangsbedingungen $y(0)=1,y^{″}(0)=y^{\prime }(0)=0$ ergibt sich schließlich $c_1=3,c_2=-3,c_3=1$.
Die gesuchte Lösung ist $y(t)=3e^{-t}-3^{-2t}+e^{-3t}$.

Wir betrachten nun den Fall, wenn die Matrix $A$ in (2.18) mehrfache Eigenwerte besitzt. Sei ${\lambda }_i$ ein $k$-facher Eigenwert von $A$, $k>1$. Also hat das charakteristische Polynom $\rho (\lambda )$ (von Grad $m$) höchstens $m-k+1$ verschiedene Nullstellen ${\lambda }_1\ne \dots \ne {\lambda }_{m-k+1}$. Angenommen es gibt keine weiteren mehrfachen Nullstellen von $\rho (\lambda )$. Dann erhalten wir für $j=1,\dots m-k+1$ durch Auflösen von $(A-{\lambda }_j)\overrightarrow{v}=0$ nach $\overrightarrow{v}$ insgesamt $m-k+1$ unabhängige Eigenvektoren. . Die Fundamentalmatrix (2.19) kann nicht vollständig konstruiert werden.
Wie erzeugt man die restlichen $k-1$ unabhängigen Spalten von $Y(t)$?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns die Vielfachheit eines Eigenwertes genauer anschauen. Man unterscheidet zwischen

• algebraischer Vielfachheit (AVf) von ${\lambda }_i$: das ist die Vielfachheit der Nullstelle von $\rho (\lambda )$, in unserem Fall ist es $k$.
• geometrischer Vielfachheit (GVf) von ${\lambda }_i$: das ist die Dimension des Lösungsraumes von $(A-{\lambda }_i)\overrightarrow{v}=0$, (die Dimension von Kern($A-{\lambda }_i$)).

Fall 1: (GVf=AVf)
Die Situation ist einfach, wenn die geometrische Vielfachheit von ${\lambda }_i$ der algebraischen Vielfachheit ($k$) entspricht. Dann erhalten wir alle notwendigen Eigenvektoren zu ${\lambda }_i$ durch Lösen von $(A-{\lambda }_i)\overrightarrow{v}=0$ nach $\overrightarrow{v}$, denn die Lösungen $\overrightarrow{v}$ spannen einen $k$- dimensionalen Eigenraum zu ${\lambda }_i$ auf.
Fall 2: (GVf<AVf)
Falls die geometrische Vielfachheit von ${\lambda }_i$ kleiner als $k$ ist, müssen wir mit weiteren Vektoren, so genannte verallgemeinerte Eigenvektoren, auffüllen. Sei (GVf)$=\ell <k$. Dann erhalten wir zu ${\lambda }_i$ erstmal wie im Fall 1 $\ell$ Eigenvektoren ${\overrightarrow{v}}_i,{\overrightarrow{v}}_{i+1},\dots ,{\overrightarrow{v}}_{i+\ell -1}$ durch Lösen von $(A-{\lambda }_i)\overrightarrow{v}=0$. Weitere verallgemeinerte Eigenvektoren (auch genannt Hauptvektoren der Stufe 2, 3 u.s.w.) erhält man durch Einsetzen der bereits bekannten Eigenvektoren (oder Hauptvektoren) in die rechte Seite und Auflösen nach $\overrightarrow{v}$: $$\begin{array}{ccc}(A-{\lambda }_i){\overrightarrow{v}}_{i+\ell }& =& {\overrightarrow{v}}_{i+\ell -1}\\ (A-{\lambda }_i){\overrightarrow{v}}_{i+\ell +1}& =& {\overrightarrow{v}}_{i+\ell }\\ \dots & & \\ (A-{\lambda }_i){\overrightarrow{v}}_{i+k-1}& =& {\overrightarrow{v}}_{i+k-2}.\end{array}$$ Durch das Einsetzen der ersten Gleichung von oben in die Gleichung für den zuletzt erzeugten Eigenvektor $(A-{\lambda }_i){\overrightarrow{v}}_{i+\ell -1}=0$ erhält man für den ersten Hauptvektor ${\overrightarrow{v}}_{i+\ell }$, dass $(A-{\lambda }_i{)}^2{\overrightarrow{v}}_{i+\ell }=0.$ Man nennt deswegen ${\overrightarrow{v}}_{i+\ell }$ auch Hauptvektor der Stufe 2. (Die Eigenvektoren ${\overrightarrow{v}}_i,\dots ,{\overrightarrow{v}}_{i+\ell -1}$ werden auch Hauptvektoren der Stufe 1 genannt.) Durch sukzessives Einsetzen erhält man für den Hauptvektor ${\overrightarrow{v}}_{i+\ell +1}$ die Stufe 3, schließlich für den Hauptvektor ${\overrightarrow{v}}_{i+k-1}$ die Stufe $k-\ell +1$.

Die Eigenvektoren ${\overrightarrow{v}}_i,{\overrightarrow{v}}_{i+1},\dots ,{\overrightarrow{v}}_{i+\ell -1}$ zusammen mit den Hauptvektoren ${\overrightarrow{v}}_{i+\ell },\dots ,{\overrightarrow{v}}_{i+k-1}$ spannen einen $k$- dimensionalen Eigenraum zu ${\lambda }_i$ auf und werden benutzt, um die fehlenden $k$ Spalten der Fundamentalmatrix, die zu dem $k$-fachen Eigenwert ${\lambda }_i$ gehören, zu erzeugen.

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Defintion 2.5 (Fundamentalmatrix für mehrfach Eigenwerte)

Sei ${\lambda }_i$ ein $k$- facher Eigenwert der Matrix $A$. Der zu dem Eigenwert ${\lambda }_i$ zugehörige Teil der Fundamentalmatrix (2.18) hat folgende Form $\left(\begin{array}{c}\dots \left|e^{{\lambda }_{i}t}{\overrightarrow{v}}_i\right|e^{{\lambda }_{i}t}({\overrightarrow{v}}_{i}t+{\overrightarrow{v}}_{i+1})|\dots |e^{{\lambda }_{i}t}({\overrightarrow{v}}_i\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}+{\overrightarrow{v}}_{i+1}\frac{t^{k-2}}{(k-2)!}+\dots +{\overrightarrow{v}}_{i+k-2}t+{\overrightarrow{v}}_{i+k-1})|\dots \end{array}\right)$ (2.20)

wobei die ${\lambda }_i,{\overrightarrow{v}}_i,\dots {\overrightarrow{v}}_{i+k-1}$ sind die Eigenvektoren und Hauptvektoren zu ${\lambda }_i$, deren Konstruktion oben im Fall 1 und 2 beschrieben ist.

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Beispiel 2.4. Gegeben sei eine Matrix $A\in {ℝ}^{6\times 6}$ mit dem charakteristischen Polynom $\rho (\lambda )=det(A-\lambda I)=(\lambda -2{)}^3(\lambda -3{)}^3$. Die Nullstellen sind ${\lambda }_1=2$ (dreifach), ${\lambda }_2=3$ (dreifach). Sei die geometrische Vielfachheit von ${\lambda }_2$ $dimKern(A-2I)=2<3$, und die von ${\lambda }_3$ $dimKern(A-3I)=1<3$. Bestimme die Fundamentalmatrix vom System $(\overrightarrow{y}(t){)}^{\prime }=A\overrightarrow{y}(t)$.
Eigenraum zu ${\lambda }_2=2$:
Durch Lösen von $(A-2I)\overrightarrow{v}=0$ erhält man die Eigenvektoren ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2$. Den dritten verallgemeinerten Eigenvektor (Hauptvektor der Stufe 2) erhält man durch Lösen von $$(A-2I){\overrightarrow{v}}_3={\overrightarrow{v}}_2\iff (A-2I{)}^2{\overrightarrow{v}}_3=0.$$ Eigenraum zu ${\lambda }_3=3$:
Durch Lösen von $(A-3I)\overrightarrow{v}=0$ erhält man den Eigenvektor ${\overrightarrow{v}}_4$. Die fehlenden verallgemeinerten Eigenvektoren ${\overrightarrow{v}}_5,{\overrightarrow{v}}_6$ (Hauptvektoren von Stufe 2 und 3) erhält man durch Lösen von $$\begin{array}{c}(A-3I){\overrightarrow{v}}_5={\overrightarrow{v}}_4\iff (A-3I{)}^2{\overrightarrow{v}}_5=0,\\ (A-3I){\overrightarrow{v}}_6={\overrightarrow{v}}_5\iff (A-3I{)}^3{\overrightarrow{v}}_6=0.\end{array}$$ Die Fundamentalmatrix ist nun gegeben durch $\left(\begin{array}{cccccc}{e}^{2t}{\overrightarrow{v}}_1& |e^{2t}({\overrightarrow{v}}_{1}t+{\overrightarrow{v}}_2)& |e^{2t}({\overrightarrow{v}}_1\frac{t^2}{2}+{\overrightarrow{v}}_{2}t+{\overrightarrow{v}}_3)& |e^{3t}{\overrightarrow{v}}_4& |e^{3t}({\overrightarrow{v}}_{5}t+{\overrightarrow{v}}_6)& |e^{3t}({\overrightarrow{v}}_4\frac{t^2}{2}+{\overrightarrow{v}}_{5}t+{\overrightarrow{v}}_6)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right).$

Bemerkung 2.1 (Fall: komplexe Eigenwerte) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat das Charakteristische Polynom für $A\in {ℝ}^{n\times n}$ mit Vielfachheit gezählt $n$ Nullstellen, d.h. $A$ hat $n$ Eigenwerte.

Neben den oben behandelten reellen Nullstellen bzw. Eigenwerten kann es vorkommen, dass $A$ komplexe Eigenwerte und komplexe Eigenvektoren hat. Also ist $\lambda =\sigma +i\tau$ und $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+i\overrightarrow{b}$ aufgeteilt in Realteil und Imaginärteil. Auch in dem Fall ist $e^{\lambda t}\overrightarrow{v}$ eine Lösung des Systems, die aber komplexwertig ist. Wie kommt man nun zu reellen Lösungen?

Komplexe Nullstellen reeller Polynome kommen immer paarweise komplex-konjugiert vor, daher ist mit $\lambda =\sigma +i\tau$ auch $\bar{\lambda }=\sigma -i\tau$ eine Nullstelle und damit ein Eigenwert. Zugehörige Eigenvektoren sind dann auch komplex-konjugiert zueinander $\bar{\overrightarrow{v}}=\overrightarrow{a}-i\overrightarrow{b}$. Entsprechend ist dann auch $e^{\bar{\lambda }t}\bar{\overrightarrow{v}}$ eine Lösung.

Beachtet man nun die Euler-Identität $e^{(\sigma +i\tau )t}=e^{\sigma t}[\cos (\tau t)+i\sin (\tau t)],$ so lassen sich aus den zwei Lösungen mithilfe von Summe und Differenz die neuen, reellwertigen Lösungen $$e^{\sigma t}(\cos (\tau t)\overrightarrow{a}-\sin (\tau t)\overrightarrow{b})\text{ und }{e}^{\sigma t}(\sin (\tau t)\overrightarrow{a}+\cos (\tau t)\overrightarrow{b})$$ für die Differentialgleichung finden. Haben die komplexen Nullstellen selbst eine höhere Vielfachheit, so geht man dann analog zum reellen Fall vor und muss entsprechend mit $t,\frac{t^2}{2},\dots$ multiplizieren. Hier gehen wir auf diesen Fall nicht weiter ein.