Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen

Einführung

Der Begriff der topologisch kleinen Potenzen verallgemeinert den Begriff der kleinen Potenzen und den Begriff der topologischen Nullteiler in einer Definition zusammen, wobei die topologische Nullteiler und auch Elemente mit kleinen Potenzen jeweils auch Element mit topologisch kleinen Potenzen sind.

Definition - Topologisch kleine Potenzen

Sei $(A,{𝒯}_A)$ eine topologische Algebra und ${𝒯}_A$ das System von offenene Mengen auf $A$. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige topologisch kleine Potenzen.

Definition: Rechtsseitig topologisch kleine Potenzen

Man nennt $z\in A$ besitzt rechtsseitige topologisch kleine Potenzen in $A$ (Bezeichnung: $z\in {𝒯𝒦𝒫}_r(A)$), falls es eine Nullumgebung $U_0\in 𝔘(0_A)$ gibt, sodass für alle Nullumgebungen $U\in 𝔘(0_A)$ ein $k(U)\in \mathbb{N}$ existiert, sodass für alle $\lambda >0$ gilt:

$$\lambda \cdot U\cap \overline{z^{k(U)}\cdot (A\setminus U_0)}=\mathrm{\varnothing }$$

Definition: Linksseitig topologisch kleine Potenzen

$z\in A$ besitzt linksseitig topologisch kleine Potenzen in $A$ (Bezeichnung: $z\in {𝒯𝒦𝒫}_l(A)$), ffalls es eine Nullumgebung $U_0\in 𝔘(0_A)$ gibt, sodass für alle Nullumgebungen $U\in 𝔘(0_A)$ ein $k(U)\in \mathbb{N}$ existiert, sodass für alle $\lambda >0$ gilt:

$$\lambda \cdot U\cap \overline{(A\setminus U_0)\cdot z^{k(U)}}=\mathrm{\varnothing }$$

Definition: topologisch kleine Potenzen

$z\in A$ besitzt topologische kleine Nullteiler (Bezeichnung: $z\in 𝒯𝒦𝒫(A)$), falls $z$ rechtseitig oder linkseitig topologisch kleine Potenzen besitzt (siehe auch Verallgemeinerungen von topologischen Nullteilern).

Lemma: Topologisch kleine Potenzen und Gaugefunktionale

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in 𝒦$. Ein Element $z\in A$ besitzt genau dann rechtsseitig topologisch kleine Potenz, wenn es ein $\alpha \in 𝒜$ gibt, so dass für alle $\beta \in 𝒜$ ein $k(\beta )\in \mathbb{N}$ mit

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z^{k(\beta )}\cdot x\Vert }_{\beta }=0$$

existiert, so besitzt $z$ topologisch kleine Potenzen (Bezeichnung: $z\in 𝒯𝒦𝒫(A)$).

Bemerkung - Gaugefunktionale

Wie man schon bei der Definition der topologischen Nullteiler sehen konnte, ist die Formulierung von topologischen Eigenschaften, die im Zusammenhang mit algebraischen Eigenschaften stehen (z.B. Idealeigenschaft, Invertierbarkeit, ...), über Gaugefunktionale für die Beweisführung in der Regel angenehmer als der Umgang mit offenen Mengen. Daher ist obige Definition über offene Mengen und Nullumgebungen ebenfalls in eine äquivalente Formulierung über angegeben werden.

Beweisaufgabe für Studierende

Beweisen Sie die Äquivalenz der $𝒯𝒦𝒫$-Aussage über offene Mengen und Gaugefunktionale!

Satz - TKP und Gaugefunktionale

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in 𝒦$ und $z\in A$ gegeben. Wenn es ein $\alpha \in 𝒜$ gibt, so dass für alle $\beta \in 𝒜$ ein $k(\beta )\in \mathbb{N}$ mit

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z^{k(\beta )}\cdot x\Vert }_{\beta }=0$$

existiert, so ist $z$ ein $𝒯$-singuläres Element.

Bemerkung - Negation der Singularitätbedingung

Der obige Satz zeigt, dass Elemente $z\in 𝒯𝒦𝒫(A)$ immer $𝒯$-singulär sind. Der Beweis wird für die Kontraposition der obigen Aussage geführt, indem man annimmt, dass ein Element $z\in A$ ein $𝒯$-reguläres Element ist, und dann $z\notin 𝒯𝒦𝒫(A)$ gilt und die folgende Ungleichung liefert.

Regularitätsbedinung als Negation der TKP-Eigenschaft

Insgesamt erhält man mit $z\notin 𝒯𝒦𝒫(A)$ die Aussage, dass es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und Konstanten $D_k(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt (siehe PC-Regularität):

${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }$

Beweis - Satz TKP-Eigenschaft Gaugefunktionale

Der obige Satz wird über die Kontraposition bewiesen und die Eigenschaften der Hömöomorphie der Einbettung bzgl. einer Algebraerweiterung, in der ein $z\in A$ invertierbar ist.

Bemerkung - Permanente Ideal

Diese Regularitätsbedingung wird im weiteren Verlauf noch besondere Bedeutung besitzen, denn diese liefert eine allgemeinere Klassifizierung von permanenten Idealen aus geeignet gewählten Elementen mit dieser Eigenschaft. Deshalb wird die Eigenschaft der topologisch kleinen Potenzen definiert.

Satz: KP-TNT-Summen

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒯}_e^k$, dann besteht die Menge

$$𝒦𝒫(A)+𝒯𝒩𝒯(A):=\{z_1+z_2:z_1\in 𝒦𝒫(A)\wedge z_2\in 𝒯𝒩𝒯(A)\}$$

aus $𝒯$-singulären Elementen.

Beweis - KP-TNT-Summen

Der Beweis zur obigen Aussage wurde von Zelazko (1983) über permanente Radikale in kommutativen lokalkonvexen Algebren formuliert. Der angegebene Beweis des Satzes über Gaugefunktionale soll zeigen, dass Elementen $z\in 𝒦𝒫(A)+𝒯𝒩𝒯(A)$ in sogar in beliebigen topologischen Algebren permanent singuläre Elemente sind.

Korrollar: TNT-KP-TKP

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒯}_e$, dann gilt:

$$𝒦𝒫(A)+𝒯𝒩𝒯(A)\subseteq 𝒯𝒦𝒫(A).$$

Offene Frage

Welche Voraussetzungen müssen für die Topologie gelten, damit

$$𝒦𝒫(A)+𝒯𝒩𝒯(A)=𝒯𝒦𝒫(A)(\ast )$$

erfüllt ist? Welche Klassen von Algebren erfüllen die Bedingung $(\ast )$? Für lokalbeschränkte Algebren, also insbesondere Banachalgebren, erhält man die Gleichung $(\ast )$, denn für $A\in {𝒫}^k$ gilt:

$$𝒯𝒩𝒯(A)=𝒯𝒦𝒫(A).$$

Siehe Satz zur Charakterisierung von $𝒫$-regulärem Elementen.

Bemerkung: Resultat basieren auf dem Konzept von permanenten Radikalen

Der Satz über Summen

• von Elementen mit kleine Potenzen und
• topologische Nullteiler

wurde bereits von Zelazko (1983) formuliert. Der Beweis wurde dort aber nur für kommutative lokalkonvexe Algebren geführt und erforderte in dem Artikel Ergebnisse aus der Theorie über permanente Radikale. Der oben angegebene Beweis zeigt, dass die von Zelazko bewiesene Formulierung der Summen von Elementen aus $𝒦𝒫(A)$ bzw. $𝒯𝒩𝒯(A)$ auch für topologische Algebren allgemein über Gaugefunktionale bewiesen werden kann.

Bemerkung: Dreiecksungleichung in lokalkonvexen Räumen

Der von Zelazko geführte Beweis für kommuntative lokalkonvexe Algebren, kann auch vereinfacht werden, wenn man die folgende Subadditivität von $𝒦$-Funktionalen ausnutzt, wie z.B.

$\begin{array}{ccc}{\Vert x+y\Vert }_{\alpha }& \le & K_{\alpha }\cdot ({\Vert x\Vert }_{\alpha }+{\Vert y\Vert }_{\alpha })\text{ für alle }x,y\in A,\\ {\Vert x+y\Vert }_{\alpha }& \le & {\Vert x\Vert }_{\beta }+{\Vert y\Vert }_{\beta }\text{ für alle }x,y\in A,\end{array}$

Aufgabe für Studierende

• Formulieren Sie den obigen Satz in ${ℒ𝒞}^k$ bzw. ${𝒫𝒞}^k$-Algebren für Halbnormen bzw. Quasihalbormen und erläutern Sie, wie sich die Abschätzung vereinfachen.
• Formulieren Sie den obigen Satz in ${ℳℒ𝒞}^k$ bzw. ${ℳ𝒫𝒞}^k$-Algebren für submultiplative Halbnormen bzw. submultiplative Quasihalbormen und erläutern Sie, wie sich die Abschätzung vereinfachen.
• Betrachten Sie das Vorgehen im Beweis und analysieren Sie, welche Bedeutung die Kommuntativität hat. Kann man den Beweis ebenfalls ohne die von Zelazko verlangte Kommuntativität<ref name="LCsingZelazko"> der Multiplikation führen?

Bemerkung: K-reguläre Elemente und TKP-Eigenschaft

Wenn ein Element $z\in A$ topologisch kleine Potenzen besitzt ist es permanent singulär in jeder $𝒯$-Erweiterung der gegebenen Algebra $A$ und umgekehrt kann $𝒦$-reguläres Element $z\in A$, das in einer $𝒦$-Algebraerweiterung $B$ invertierbar ist, keine topologisch kleinen Potenzen besitzen. Kernfrage ist, ob ein Element, das keine topologisch kleinen Potenzen besitzt, dann auch in einer $𝒦$-regulär ist.

Satz: Stetigkeitssequenzen K-Regularität

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒦}_e$ und $z\in {𝒢}_{𝒦}(A)$, dann gibt es für alle $\alpha \in 𝒜$, ein $\beta \in 𝒜$, eine Folge ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ von Gaugefunktionalen mit Konstanten $D_k(\alpha )>0$ mit ${\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,0)}:={\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$, für die folgende Bedingungen gelten:

• (SK1) ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$,
• (SK2) ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert zx\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Beweis

Der Beweise des Satzes über Stetigkeitssequenzen bei K-Regularität erfolgt wieder über die Kontraposition, dass man annimmt, dass ein Element $𝒦$-regulär ist.

LC-Regularität

Die obige Aussage ist sogar äquivalent zur ${ℒ𝒞}^k$-Regularität in kommutativen lokalkonvexe Algebren. Der Beweis des Satzes erfolgt analog zum Satz, der die TKP-Eigenschaft über Gaugefunktionale charakterisiert.

Beweis

Für alle $\alpha \in 𝒜$ gibt es wegen der Stetigkeit der Multiplikation ein $\beta \in 𝒜$ mit

$${\Vert xy\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{\beta }\cdot {\Vert y\Vert }_{\beta }\text{ für alle }x,y\in A.$$

TGP-Bedingung

Zu $\beta$ existieren aufgrund der Eigenschaft von $z\in A$, topologisch große Potenzen zu besitzen, ein $\gamma \in 𝒜$ mit

$${\Vert x\Vert }_{\beta }\le D_k(\beta )\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\gamma }\text{ für alle }x\in A,k\in {\mathbb{N}}_0$$

und positiven Konstanten $D_k(\beta )$. Setzt man $A_k:=z^k\cdot A$, dann ist $(A_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ eine antitone Folge von (nicht notwendigerweise unitalen) Teilalgebren von $A$.

Vielfachenmengen von Potenzen

Auf den Vielfachenmengen $A_k$ von Potenzen $z^k$ werden mit $M_k^{\alpha }(x):={\max }_{j=0}^k{\Vert x^j\Vert }_{\alpha }$ für $\alpha \in 𝒜$, $k\in {\mathbb{N}}_0$ und $x\in A$ folgende Abbildungen definiert:

$${\Vert \cdot \Vert }_{(\beta ,k)}:A_k⟶𝕂\text{ mit }y=z^{k}x⟼M_k^{\beta }(z)\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }.$$

Wohldefiniertheit der Abbildung

Zur Wohldefiniertheit der Abbildung: Da $z$ keine topologisch kleinen Potenzen besitzt, ist $z$ wegen $𝒩𝒯(A)\subset 𝒯𝒩𝒯(A)\subset 𝒯𝒦𝒫(A)$ auch kein Nullteiler in $A$. Daher kann man für jedes $k\in \mathbb{N}$ und jedes $y\in A_k$ genau ein $x\in A$ finden mit $y=z^{k}x$.

Isotonie der Koeffizienten 1

Ferner sei ${(D_k(\beta ))}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ eine isotone Folge mit

$$1\le D_k(\beta )\le D_{k+1}(\beta )\text{ für alle }k\in {\mathbb{N}}_0.$$

Isotonie der Koeffizienten 2

Mit der Definition der $M_k^{\beta }(z)$ ist auch $(M_k^{\beta }(z){)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine isotone Folge. Für $y=z^{k}x\in A_k$ und $zy\in A_{k+1}$ gilt:

$\begin{array}{ccc}{\Vert y\Vert }_{(\beta ,k)}& =& {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{(\beta ,k)}=M_k^{\beta }(z)\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }\le M_{k+1}^{\beta }(z)\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }\\ & =& {\Vert z^{k+1}\cdot x\Vert }_{(\beta ,k+1)}={\Vert z\cdot y\Vert }_{(\beta ,k+1)}\end{array}$

und

$\begin{array}{ccc}{\Vert y\Vert }_{(\beta ,k)}& =& {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{(\beta ,k)}=M_k^{\beta }(z)\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }\ge {\Vert z^k\Vert }_{\beta }\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }\\ & \ge & {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\alpha }={\Vert y\Vert }_{\alpha }.\end{array}$

Abschätzung Gaugefunktionaleigenschaft

Es bleibt noch zu zeigen, dass man das Gaugefunktional ${\Vert \cdot \Vert }_{(\beta ,k)}$ zu einem Gaugefunktional ${\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}$ mit den geforderten Eigenschaften (SK1) und (SK2) auf ganz $A$ erweitern kann. Man definiert Abbildungen ${\phi }_k$ mit

$${\phi }_k:A⟶\{0,1,\dots ,k\}y⟼\max \{j\in \{0,1,\dots ,k\}:y\in A_j\}.$$

Erweiterung von der Vielfachenmenge auf die Algebra

Nun wird mit der Abbildung ${\phi }_k$ das Gaugefunktional ${\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}$ für $y\in A$ wie folgt definiert:

$${\Vert y\Vert }_{(\alpha ,k)}:={\Vert y\Vert }_{(\beta ,{\phi }_k(y))}.$$

Da ${\Vert y\Vert }_{(\beta ,k)}\ge {\Vert y\Vert }_{\alpha }$ für alle $y\in A_k$, erhält man mit $y\in A_{{\phi }_k(y)}$ auch die Ungleichung ${\Vert y\Vert }_{(\beta ,{\phi }_k(y))}\ge {\Vert y\Vert }_{\alpha }$.

Beschränktheit der Gaugefunktionale

Ferner können die Gaugefunktionale ${\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}$ durch ein Gaugefunktional ${\Vert \cdot \Vert }_{\gamma }$ mit positiven Konstanten $D_k(\alpha )$ beschränkt werden, denn mit $y:=z^{{\phi }_k(y)}x$ gilt:

$\begin{array}{ccc}{\Vert y\Vert }_{(\alpha ,k)}& \le & M_{{\phi }_k(y)}^{\beta }(z)\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }\le M_{{\phi }_k(y)}^{\beta }(z)\cdot D_{{\phi }_k(y)}(\beta )\cdot {\Vert z^{{\phi }_k(y)}\cdot x\Vert }_{\gamma }\\ & \le & \underset{D_k(\alpha ):=}{\underbrace{M_k^{\beta }(z)\cdot D_k(\beta )}}\cdot \Vert \underset{=y}{\underbrace{z^{{\phi }_k(y)}\cdot x}}{\Vert }_{\gamma }=D_k(\alpha )\cdot {\Vert y\Vert }_{\gamma }.\end{array}$

Abschätzung bzgl. Produkte mit z

Die Abschätzung ${\Vert y\Vert }_{(\beta ,k)}\le {\Vert zy\Vert }_{(\beta ,k+1)}$ für $y\in A_k$ überträgt sich auch auf die erweiterten Funktionale, denn man erhält mit ${\phi }_k(y)+1={\phi }_{k+1}(zy)$ und $z\cdot A_k=A_{k+1}$

$\begin{array}{ccc}{\Vert y\Vert }_{(\alpha ,k)}& =& {\Vert y\Vert }_{(\beta ,{\phi }_k(y))}\le {\Vert z\cdot y\Vert }_{(\beta ,{\phi }_k(y)+1)}\\ & =& {\Vert z\cdot y\Vert }_{(\beta ,{\phi }_{k+1}(zy))}={\Vert z\cdot y\Vert }_{(\alpha ,k+1)}.\end{array}$

Eigenschaft Gaugefunktionalsequenz

Insgesamt ergeben sich die Behauptungen (SK1) und (SK2) für die Gaugefunktionalsequenz. $◻$

Bemerkung

Die Bedingungen (SK1) und (SK2) aus Satz über $ℬ$-reguläre Elemente kann man für ein $𝒯$-reguläres Element $z$ auch unmittelbar erhalten.

Satz: TKP und K-Regularitätseigenschaften

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒦}_e(𝕂)$ und ein $𝒦$-reguläres Element $z\in A$ gegeben, dann gibt es zu jedem $\alpha \in 𝒜$ eine Folge ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ von $𝒦$-Funktionalen mit Konstanten $D_k^{(1)}(\alpha )$, $D_k^{(2)}(\alpha )>0$ und ein $\gamma \in 𝒜$ mit

• ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le D_k^{(1)}(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_k^{(2)}(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{\gamma }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$,
• ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}={\Vert zx\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$, $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Durch geeignet gewählte Vielfache der $𝒦$-Funktionale erhält man ebenfalls die bereits bekannten Abschätzungen $(1)$ und $(2)$.

Korrollar

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒦}_e(𝕂)$ und ein $𝒦$-reguläres Element $z\in A$ gegeben, dann gibt es zu jedem $\alpha \in 𝒜$ eine Folge ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ von $𝒦$-Funktionalen mit Konstanten $D_k(\alpha )>0$ und ein $\gamma \in 𝒜$ mit

• ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{\gamma }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$,
• ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert zx\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$, $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Siehe auch

• Elemente mit kleinen Potenzen
• topologische Nullteiler
• multiplikative topologische Nullteiler
• Lemma über Produkte mit topologischen Nullteilern
• Satz - TKP-Eigenschaft und Gaugefunktionale

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