Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler

Ursprung der Theorie

Arens konnte die permanent singulären Elemente (siehe Originalarbeit von Arens oder W. Zelasko, Banach algebras, S.59 ff.) in einer kommutativen, unitalen Banachalgebra $A\in {ℬ}_e^k$ mit Norm $\Vert \cdot \Vert$ äquivalent charakterisieren. Permanent singuläre Element in Banachalgebren sind die topologischen Nullteiler von $A$. Ferner gilt umgekehrt, dass ein Element, das kein topologischen Nullteiler von $A$ ist, in einer Algebraerweiterung $B$ von $A$ invertierbar ist.

Aussage für Banachalgebren

$\begin{array}{ccc}z{ℬ}^k\text{-singulär }& \iff & z\in 𝒯𝒩𝒯(A)\\ & \iff & \underset{\Vert x\Vert =1}{\inf }\{\Vert zx\Vert \}=0\\ & \iff & {\mathrm{\exists }}_{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in A^{\mathbb{N}},\Vert x_n\Vert =1}:\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\Vert z\cdot x_n\Vert =0\\ z{ℬ}^k\text{-regulär }& \iff & {\mathrm{\exists }}_{D>0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}:\Vert x\Vert \le D\cdot \Vert zx\Vert \end{array}$

(siehe auch Arens 1959)

Ziel des Vorgehens

Ziel ist es, permanent singuläre Elemente für weitere Klassen $𝒦$ topologischer Algebren zu charakterisieren. Alle in der Literatur bekannten bzw. entwickelten Regularitätskriterien sollen nun in den folgenden Kurseinheiten mit dem Haupsatz über $𝒦$-reguläre Elemente bewiesen werden.

Teilmengen K-singulärer Elemente

Bevor die zentrale Aussage Arens behandelt werden kann, steht die Untersuchung von Teilmengen $𝒦$-singulärer Elemente im Vordergrund. D.h. es werden Elemente in der Algebra $A$ untersucht, von denen man nachgeweisen kann, dass diese permanent singulär in jeder $𝒦$-Erweiterung.

Definition: Rechtsseitiger/linksseitiger Nullteiler

Ist die Algebra nicht kommuntativ kann man rechtsseitige und linksseitige Nullteiler unterscheiden. Sei $A$ eine topologische Algebra, dann heißt $z\in A\setminus \{0_A\}$ rechtsseitiger Nullteiler in $A$ (Bezeichnung: $z\in {𝒩𝒯}_r(A)$), falls ein $0_A=x\in A$ existiert mit $z\cdot x=0$ bzw. linksseitiger Nullteiler (Bezeichnung: $z\in {𝒩𝒯}_l(A)$), falls es ein $0_A=x\in A$ gibt mit $x\cdot z=0$. $z$ heißt Nullteiler (Bezeichnung: $z\in 𝒩𝒯(A)$) in $A$, wenn $z$ ein rechtsseitiger oder ein linksseitiger Nullteiler in $A$ ist.

Nullteiler permanent singulär

Rechtsseitige und linksseitige Nullteiler sind permanent singulär. Der Beweis ergibt sich aus Eigenschaft von invertierbaren Elementen sowohl durch die Multiplikation von rechts als auch von links mit dem inversen Element das neutrale Element der Multiplikation $e_A$ zu liefern. $z\cdot z^{-1}=e_A=z^{-1}\cdot z$. Durch Multiplkation mit dem Nullteilers von rechts bzw. links ergibt sich der Widerspruch zur $𝒦$-Regularität in einer Algebraerweiterung.

Definition: Topologische Nullteiler

Sei $A$ eine topologische Algebra. Da ein topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige topologische Nullteiler.

Definition: Rechtsseitiger topologische Nullteiler

Man nennt $z\in A$ einen rechtsseitgen topologischen Nullteiler in $A$ (Bezeichnung: $z\in {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$), falls es eine Nullumgebung $U_0\in 𝔘(0_A)$ gibt, so dass gilt:

$$0_A\in \overline{z\cdot (A\setminus U_0)}$$

Definition: Linksseitiger topologische Nullteiler

$z\in A$ heißt linksseitger topologischer Nullteiler in $A$ (Bezeichnung: $z\in {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$), falls ein $U_0\in 𝔘(0_A)$ existiert, so dass folgende Eigenschaft erfüllt ist:

$$0_A\in \overline{(A\setminus U_0)\cdot z}$$

Dabei ist $0_A$ der Nullvektor in der topologischen Algebra $A$.

Definition: topologische Nullteiler

$z\in A$ ist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung: $z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$), falls $z$ ein rechtseitiger oder ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist.

Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in 𝒦$, dann ist $z\in {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$ (bzw. $z\in {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$) genau dann, wenn es ein $\alpha \in 𝒜$ gibt mit, so dass für alle $\beta \in 𝒜$ gilt:

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=0\text{ mit }z\in {𝒯𝒩𝒯}_r(A)(\ast )$$

bzw.

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert x\cdot z\Vert }_{\beta }=0\text{ mit }z\in {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$$

Beweis

siehe Beweis für das Topologische-Nullteiler-Kriterium für Gaugefunktional

Beispiel: Topologischer Nullteiler

Man betrachtet die Algebra $𝒞(ℝ,ℝ)$ aller stetigen reellwertigen Funktionen $f:ℝ⟶ℝ$ mit den Halbnormen

$${\Vert f\Vert }_m:=\underset{|t|\le m}{\max }|f(t)|\text{ mit }m\in \mathbb{N}.$$

Topologisierung der Algebra

$A:=𝒞(ℝ,ℝ)$ ist eine vollständig metrisierbare, lokalkonvexe Algebra über $ℝ$ mit punktweiser Multiplikation und Einselement $e(t)=1$ für alle $t\in ℝ$. Jedes singuläre Element $g\in 𝒞(ℝ,ℝ)$ hat eine Nullstelle $t_o\in ℝ$. Betrachte die $\frac{1}{2}$-Kugel $U:=B_{1/2}^m(0)$ der $m$-ten Halbnorm um $0_A$ mit $m\ge |t_o|+1$.

Definition der Funktionenfolge

$$f_n(t):=\{\begin{array}{cc}1-n\cdot |t-t_o|& \text{ für }t\in [t_o-\frac{1}{n},t_o+\frac{1}{n}]\\ 0& \text{ sonst }\end{array}$$

Für alle $n\in \mathbb{N}$ und $m\ge |t_o|+1$ gilt: ${\Vert f_n\Vert }_m=1⟹f_n\notin U$ (siehe auch Geogebra Applet).

Veranschaulichung der Funktionenfolge

Die folgende Animation zeigt die Graphen der Abbildung $f_n$ aus der vorherigen Definition der $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

Grenzwert der Funktionenfolge

Die folgende Grenzfunktion $f_o:ℝ\to ℝ$ ist nicht stetig und die Cauchy-Folge der Funktionen $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert nicht. $f_o(t)=1\text{ für }t=t_o\text{ und }{f}_o(t)=0\text{ sonst }$

Reguläre Elemente

Ein reguläres Element $f\in 𝒢(A)$ darf in dem Funktionenraum $A$ keine Nullstellen besitzen, damit argumentweise man die multiplikativ inverse Funktion bilden kann

$$\begin{array}{cccc}g:& ℝ& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & g(x)=\frac{1}{f(x)}\end{array}$$

Mit $f\cdot g=g\cdot f=e_A$, wobei $e_A(x)=1$ für alle $x\in ℝ$ die konstante Funktion mit Wert 1 ist.

Bemerkung: Umkehrfunktionen - multiplikativ invers

Mit der Notation $f^{-1}$ meint man in der Regel die Umkehrfunktion einer bijektiven Abbildung $f:𝔻\to 𝕎$. Ein multiplikativ inverse Funktion in $h\in A:=𝒞(ℝ,ℝ)$ muss aber nicht notwendigerweise bijektiv. Da im Allgemeinen bei der Bildung der Umkekrfunktion $f^{-1}:𝕎\to 𝔻$ Definition und Wertebereich nicht gleich sind, liegt eine Umkehrfunktion $f^{-1}$ ggf. noch nicht einmal wieder in der gleichen Funktionenraum wie $A$. Aus diesem Grund wird multiplikativ inverse Funktionen die Notation $f^{-1}$ hier nicht verwendet.

Singuläre Elemente - permanent singulär

Ist nun $f_0$ ein singuläres Element, dann hat $f_0$ eine Nullstelle in $ℝ$. Sei $t_0\in ℝ$ die Nulltstelle von $f_0$. Dann definiert man die Funktionenfolge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ wie oben für die Nullstelle $t_0\in ℝ$. Mit

$${\Vert f\Vert }_m=\underset{|t|\le m}{\max }|f(t)|\text{ mit }m\in \mathbb{N}.$$

gilt ${\Vert \cdot \Vert }_{m_1}\le {\Vert \cdot \Vert }_{m_2}$ für $m_1\le m_2$.

Abschätzung - topologische Nullteiler

Wegen ${\Vert \cdot \Vert }_{m_1}\le {\Vert \cdot \Vert }_m$ für $m_1\le m$ wähle ohne Einschränkung $m\ge |t_0|+1$.

$$\begin{array}{ccc}{\Vert f_0\cdot f_n\Vert }_{m_1}& \le & {\Vert f_0\cdot f_n\Vert }_m=\underset{|t|\le m}{\max }|f_0(t)\cdot f_n(t)|\\ & =& \max \{|f_0(t)\cdot f_n(t)|:|t-t_0|\le \frac{1}{n}\}\\ & =& \max \{|f_0(t)|\cdot \underset{\le 1}{\underbrace{|f_n(t)|}}:|t-t_0|\le \frac{1}{n}\}\\ \\ & =& \max \{|f_0(t)|:|t-t_0|\le \frac{1}{n}\}\\ & \stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}& 0\text{ wegen }{f}_0(t_0)=0\text{ und }{f}_0\text{ stetig in }{t}_0\end{array}$$

Konvergenz - Definition TNT

Mit geeignet gewählten Funktionenfolgen $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist jedes singuläre Element ein topologischer Nullteiler in $A$, denn es gilt:

$$f_0\cdot f_n{}_{\stackrel{⟶}{n⟶\mathrm{\infty }}}{0}_A⟹0_A\in \overline{f_0\cdot (A\setminus U)}$$

Topologische Nullteiler in einem lokalkonvexen Raum

${\Vert \cdot \Vert }_{\mathbb{N}}$ ist eine Halbnormensystem auf $A:=𝒞(ℝ,ℝ)$. Insgesamt ist jedes singuläre Element $f_0$ mit Nullstelle nicht nur ein $ℒ𝒞$-singuläres Element, sondern auch ein permanent singuläres Element in jeder Algebraerweiterung von $A$.

Lemma: TNT singulär

Ein topologischer Nullteiler $z\in A\in {𝒦}_e$ ist in $A$ nicht invertierbar.

Beweis 1 - über Topologie

Annahme: Sei $x\in A$ invertierbar mit $z\cdot z^{-1}=e_A$ mit $e_A$ als Einselement der Multiplikation in $A$. Da

$z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ ein topologischer Nullteiler in $A$ ist, gibt es ein Netz

$$(y_{{}_U}{)}_{{}_{U\in {𝔘}_{𝒯}(0_A)}}\in (A\setminus V{)}^{{𝔘}_{𝒯}(0_A)}\text{ mit }V\in {𝔘}_{𝒯}(0_A)\text{ und }{w}_{{}_U}:=y_{{}_U}\cdot z\in U.$$

Stetigkeit der Multiplikation

Aus der Stetigkeit der Multiplikation und $w_{{}_U}{}_{\stackrel{⟶}{U\in {𝔘}_{𝒯}(0_A)}}0$ folgt auch

$w_{{}_U}\cdot z^{-1}{}_{\stackrel{⟶}{U\in {𝔘}_{𝒯}(0_A)}}0$ und man erhält:

$${\mathrm{\forall }}_{V\in {𝔘}_{𝒯}(0_A)}{\mathrm{\exists }}_{U(V)\in {𝔘}_{𝒯}(0_A)}:w_{{}_{U(V)}}\cdot z^{-1}\in V.$$

Widerspruch

Dadurch ergibt sich ein Widerspruch wie folgt:

$$V\ni ̸y_{{}_{U(V)}}=y_{{}_{U(V)}}\cdot (z\cdot z^{-1})=(y_{{}_{U(V)}}\cdot z)\cdot z^{-1}\in V.$$

Der Widerspruch zeigt, dass $z$ in $A$ nicht invertierbar sein kann.$◻$

Beweis 2 - über Gaugefunktionale

Annahme: Sei $z\in A$ invertierbar mit $z\cdot z^{-1}=e_A$ mit $e_A$ als Einselement der Multiplikation in $A$. Da $z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ ein topologischer Nullteiler in $A$ ist, gibt es ein $\alpha \in 𝒜$, sodass für alle $\beta \in 𝒜$

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=0\text{ mit }z\in {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$$

Unital positives Gaugefunktionalsystem

Ohne Einschränkung sei das Gaugefunktionalsystem unital positiv, d.h. für alle $\beta \in 𝒜$ gilt $\Vert e_A{\Vert }_{\beta }>0$. Falls das Gaugefunktionalsystem nicht unital positiv ist, geht man zu einem äquivalenten Teilsystem über, das unital positiv ist. Damit gibt es für alle $\beta \in 𝒜$ ein ${\gamma }_{\beta }\in 𝒜$ mit:

$\Vert x_1\cdot x_2{\Vert }_{\alpha }\le \Vert x_1{\Vert }_{{\gamma }_{\alpha }}\cdot \Vert x_2{\Vert }_{{\gamma }_{\alpha }}$

Stetigkeit der Multiplikation

Aus der Stetigkeit der Multiplikation erhält man für alle $x\in A$ mit $\Vert x{\Vert }_{\alpha }=1$:

$$\begin{array}{ccc}1=\Vert x{\Vert }_{\alpha }& =& \Vert e_A\cdot x{\Vert }_{\alpha }=\Vert z\cdot z^{-1}\cdot x{\Vert }_{\alpha }\\ & \le & \Vert z^{-1}{\Vert }_{{\gamma }_{\alpha }}\cdot \underset{\inf \to 0}{\underbrace{\Vert z\cdot x{\Vert }_{{\gamma }_{\alpha }}}}\end{array}$$

Bildung des Infimums

Durch Bildung des Infimums ergibt sich der Widerspruch wie folgt:

$$\begin{array}{ccc}1& =& \underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }\Vert x{\Vert }_{\alpha }=\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }\Vert e_A\cdot x{\Vert }_{\alpha }\\ & =& \underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }\Vert z\cdot z^{-1}\cdot x{\Vert }_{\alpha }\\ & \le & \Vert z^{-1}{\Vert }_{{\gamma }_{\alpha }}\cdot \underset{=0}{\underbrace{\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }\Vert z\cdot x{\Vert }_{{\gamma }_{\alpha }}}}=0\end{array}$$

Widerspruch

Der Widerspruch zeigt, dass $x$ in $A$ nicht invertierbar sein kann.$◻$

Korrollar: TNT permanent singulär

Sei ${𝒦}_e$ eine Klasse von Algebren mit $A\in {𝒦}_e$, dann sind alle topologischen Nullteiler $𝒦$-singuläre Elemente.

Beweis

Annahme: $z\in A$ ist ein topologischer Nullteiler in $A$ und zugleich in einer Algebraerweiterung $B$ von $A$ invertierbar.

Homöomorphie

In dem Beweis wird die Homöomorphie $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ der Einbettung einer Algebra $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})$ in die $𝒦$-Erweiterung $(B,{\Vert |\cdot |\Vert }_{\widetilde{𝒜}})$ von $A$ verwendet.

Topologischer Nullteiler - Gaugefunktionale

Da $z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ ein topologischer Nullteiler in $A$ ist, gibt es ein $\alpha \in 𝒜$, sodass für alle $\beta \in 𝒜$

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=0\text{ mit }z\in {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$$

Stetigkeit der Einbettung 1

Mit der Stetigkeit der Einbettung $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ gibt es zu jedem $\beta \in \widetilde{𝒜}$ eine Konstante $C_{\beta }>0$ und ${\gamma }_{\beta }\in 𝒜$ mit

${\mathrm{\forall }}_{x\in A}:{\Vert \left|x\right|\Vert }_{\beta }\le C_{\beta }\cdot \Vert x{\Vert }_{{\gamma }_{\beta }}$

Stetigkeit der Einbettung 2

Mit der Stetigkeit der Umkehrabbildung ${\tau }^{-1}:A^{\prime }\to A$ gibt es zu jedem $\alpha \in 𝒜$ eine Konstante $C_{\alpha }>0$ und ${\delta }_{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ mit

${\mathrm{\forall }}_{x\in A}:\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le C_{\alpha }\cdot {\Vert \left|x\right|\Vert }_{{\delta }_{\alpha }}$

Topologischer Nullteiler in der Erweiterung

Wir zeigen nun, dass $\tau (z)\in B$ auch ein topologische Nullteiler in $B$ ist, denn für alle $\beta \in \widetilde{𝒜}$ gilt die folgende Abschätzung.

Anschätzung Topologischer Nullteiler

$\begin{array}{ccc}\underset{{\Vert \left|b\right|\Vert }_{{\delta }_{\alpha }}=1,b\in B}{\inf }{\Vert |z\cdot b|\Vert }_{\beta }& =& \underset{{\Vert \left|b\right|\Vert }_{{\delta }_{\alpha }}\ge 1,b\in B}{\inf }{\Vert |z\cdot b|\Vert }_{\beta }\\ & =& \underset{C_{\alpha }\cdot {\Vert \left|b\right|\Vert }_{{\delta }_{\alpha }}\ge 1,b\in B}{\inf }\frac{1}{C_{\alpha }}\cdot {\Vert |z\cdot b|\Vert }_{\beta }\\ & \le & \underset{C_{\alpha }\cdot {\Vert |\tau (x)|\Vert }_{{\delta }_{\alpha }}\ge 1,x\in A}{\inf }\frac{1}{C_{\alpha }}\cdot {\Vert |z\cdot \tau (x)|\Vert }_{\beta }\\ & \le & \underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge 1,x\in A}{\inf }\frac{1}{C_{\alpha }}\cdot {\Vert |z\cdot x|\Vert }_{\beta }\\ & \le & \underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }\frac{1}{C_{\alpha }}\cdot C_{\beta }\cdot {\Vert z\cdot x\Vert }_{{\gamma }_{\beta }}=0\end{array}$

TNT in Algebraerweiterung

Mit der obigen Abschätzung wurde gezeigt, dass $z\in A\subset B$ auch in der Algebraerweiterung ein topologischer Nullteiler ist. Nach Lemma über TNT und Gaugefunktionale auch in $B$ nicht invertierbar. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $z\in A$ in der Algebraerweiterung $B$ von $A$ invertierbar ist. $◻$

Lemma: Produkte von topologischen Nullteilern

Sei $A\in 𝒯(𝕂)$ eine topologische Algebra über $𝕂$, dann gilt:

$$A\cdot 𝒯𝒩𝒯(A)\subset 𝒯𝒩𝒯(A)\supset 𝒯𝒩𝒯(A)\cdot A.$$

Bei unitalen Algebren gilt Mengengleichheit.

Beweis

Sei $z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ gegeben, dann gibt es zu einer Nullumgebung $V\in 𝔘(0)$ ein Netz $(x_{{}_U}{)}_{{}_{U\in 𝔘(0)}}\in (A\mathrm{\setminus }V{)}^{𝔘(0)}$ mit $z\cdot x_{{}_U}{}_{\stackrel{⟶}{U\in 𝔘(0)}}0$. Demzufolge konvergiert das Netz $(a\cdot z\cdot x_{{}_U}{)}_{{}_{U\in 𝔘(0)}}$ auch für alle $a\in A$ gegen $0$. Also ist $a\cdot z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ und man erhält insgesamt:

$\begin{array}{c}{\mathrm{\forall }}_{z\in 𝒯𝒩𝒯(A)}:A\cdot z\subset 𝒯𝒩𝒯(A)⟹A\cdot 𝒯𝒩𝒯(A)\subset 𝒯𝒩𝒯(A).\end{array}$

Die Behauptung $𝒯𝒩𝒯(A)\supset 𝒯𝒩𝒯(A)\cdot A$ zeigt man analog. $◻$

Augaben für Studierende

In den obigen Aussagen wurde immer die Definition der topologischen Nullteiler direkt verwendet ohne die Eigenschaften über Gaugefunktionale zu zeigen. Beweise die folgenden Aussagen über analog über die Verwendung von Gaugefunktionalen zusammen mit TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Aufgabe 1 - TNT singulär

Zeigen Sie mit TNT-Kriterium für Gaugefunktionale, dass ein topologischer Nullteiler $x\in A\in {𝒦}_e$ in $A$ nicht invertierbar ist.

Siehe auch

• Algebraische Eigenschaften - permament singulär
• topologisch kleine Potenzen
• Multiplikative topologische Nullteiler
• B-Regularität
• P-Regularität
• MLC-Regularität
• MPC-Regularität
• TNT-Kriterium für Gaugefunktional
• Multiplikative topologische Nullteiler
• MTNT-Kriterium für Gaugefunktional

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