Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Verschiebung des Perihels

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Erhaltungsgrößen

Kann die gesamte Kraft

$m\ddot{\overrightarrow{r}}=\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})(1+\epsilon (r))=\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})+{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{S}}(\overrightarrow{r})$

mit einer Störkraft in der Form

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{S}}=\epsilon (r)\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\frac{\alpha }{r^2}\epsilon (r){\hat{e}}_r$

dargestellt werden, so ist die Kraft nach wie vor parallel zu ${\hat{e}}_r$ und der Drehimpuls $\overrightarrow{J}$ daher erhalten. Ebeneso lässt sich die potentielle Energie als ein Polynom in $r$ ausdrücken und die Energie $E$ ist damit auch erhalten (und somit sind auch $e$ und damit $|\overrightarrow{A}|$ erhalten).

Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor ist hingegen nicht mehr erhalten und seine Änderung kann zu

$\dot{\overrightarrow{A}}=m\alpha \epsilon (r)\dot{\phi }{\hat{e}}_{\phi }$

bestimmt werden.

Verschiebung

Da die Änderung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors ebenfalls in der Bewegungsebene stattfindet kann dessen durch einen Winkel $\psi$ relativ zur $x$-Achse bestimmt werden. Mit den Basisvektoren

${\hat{e}}_A=\left(\begin{array}{c}\cos (\psi )\\ \sin (\psi )\end{array}\right){\hat{e}}_{\psi }=\left(\begin{array}{c}-\sin (\psi )\\ \cos (\psi )\end{array}\right)$

kann die Änderung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors auch durch

$\dot{\overrightarrow{A}}=\dot{A}{\hat{e}}_A+A\dot{\psi }{\hat{e}}_{\psi }$

ausgedrückt werden. Die momentane Änderung des Winkels $\psi$ kann also durch

$\dot{\psi }=\frac{{\hat{e}}_{\psi }\cdot \dot{\overrightarrow{A}}}{A}\approx \frac{1}{e}\epsilon (r)\dot{\phi }\cos (\phi )$

bestimmt werden. Bei der Näherung wurde davon ausgegangen, dass die Situation startend bei $\psi =0$ betrachtet wird und die Änderung klein genug ist, dass konstant $\psi =0$ gesetzt werden kann. (Dieser Ausdruck soll nur verwendet werden, um die Änderung über einen Umlauf zu ermitteln)

Innerhalb eines Umlaufs mit Umlaufdauer $T$ kann die endliche Verschiebung des Winkels

$\mathrm{\Delta }{\psi }_T=\frac{1}{e}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\epsilon (r(\phi ))\cos (\phi )\mathrm{d}\phi$

gefunden werden. Da der Laplace-Runge-Lenz-Vektor immer auf den Perihel zeigt entspricht diese Winkelverschiebung auch der Verschiebung des Perihels.

Näherung kleiner Exzentrizität

Wegen

$r(\phi )=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos (\phi )}$

ist der zu integrierende Ausdruck nicht analytisch lösbar. Stattdessen kann $\epsilon (r)$ in $e\ll 1$ entwickelt werden, um einen analytischen Ausdruck zu erhalten. Auf diese Weise kann

$\mathrm{\Delta }{\psi }_T=2\pi \cdot {(-\frac{a}{2}\frac{\partial \epsilon }{\partial r})}_{r=a}=360^{\circ }\cdot {(-\frac{a}{2}\frac{\partial \epsilon }{\partial r})}_{r=a}$

gefunden werden.

Bestimmen der Perihelverschiebung

Mit der zuvor gefundenen Störfunktion

$\epsilon (r)=-\frac{1}{2}\frac{m_P}{M}{\left(\frac{r}{d}\right)}^3$

kann die Perihelverschiebung in einem Umlauf durch

$\mathrm{\Delta }{\psi }_T=360^{\circ }\cdot \frac{3m_P}{4M}{\left(\frac{a}{d}\right)}^3$

bestimmt werden. Oft wird die Verschiebung in Bogensekunden pro Jahrhundert angegeben. Da der Merkur in einem Jahrhundert etwa 415 Umläufe absolviert muss also

$\mathrm{\Delta }{\psi }_{\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{0}\mathrm{y}\mathrm{r}}\approx 415\cdot \mathrm{\Delta }{\psi }_T$

ermittelt und $1^{\circ }=3600^{″}$ verwendet werden.

Die konkreten Rechnungen können in der Tabellenkalkulation zur Perihelverschiebung ausgeführt werden. Entgegen der gemessenen Perihelverschiebung von etwa $575^{″}$ pro Jahrhundert ergeben sich nur etwa $390^{″}$ pro Jahrhundert. Dies kann auf unzureichend genaue Näherungen zurückgeführt werden.