Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Erweiterte Störkraft

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Beschreibung des Vorgehens

Um einen genaueren Wert für die Perihelverschiebung des Merkurs zu erhalten, muss die Störkraft auf einem anderen Weg bestimmt werden. Dazu wird der äußere Planet nicht als Punkt angenommen, sondern auf seiner kreisförmigen Umlaufbahn verteilt. Das Massenelement $\mathrm{d}{m}_2=\frac{m_2}{2\pi }\mathrm{d}\chi$ mit Position $\overrightarrow{d}$ übt auf den Merkur dann den Kraftbeitrag

$\mathrm{d}{\overrightarrow{F}}_{P\to M}=-G\frac{m\mathrm{d}{m}_p}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}{|}^2}\frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}|}=-G\frac{m{m}_p}{2\pi }\frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}{|}^3}\mathrm{d}\chi$

aus, sodass die vom äußeren Planet auf den Merkur ausgeübte Kraft durch

${\overrightarrow{F}}_{P\to M}=-G\frac{m{m}_p}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}{|}^3}\mathrm{d}\chi$

gegeben ist. Hierin ist $\chi$ der Winkel zwischen $\overrightarrow{r}$ und $\overrightarrow{d}$. Das Integral kann weiter auf

${\overrightarrow{F}}_{P\to M}=-G\frac{m{m}_p}{2\pi }{\hat{e}}_r\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{r-d\cos (\chi )}{(r^2+d^2-2rd\cos (\chi ){)}^{3/2}}\mathrm{d}\chi$

umgeformt werden.

Koordinatenwechsel

Wird der Vektor $\overrightarrow{l}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{r}$ eingeführt und der Winkel zwischen $\overrightarrow{l}$ und $\overrightarrow{r}$ mit $\beta$ bezeichnet, lässt sich die Störkraft auf

${\overrightarrow{F}}_{P\to M}=G\frac{m{m}_p}{2\pi }{\hat{e}}_r\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{\cos (\beta )}{l^2}\mathrm{d}\chi$

umformen.

Um die Substitution vollständig durchzuführen wird

$l(\beta )=-r\cos (\beta )+\sqrt{d^2-r^2{\sin }^2(\beta )}$

bestimmt. Dann kann das Differential als $d\cdot \mathrm{d}\chi \approx l\cdot \mathrm{d}\beta$ genähert werden, um das Integral

${\overrightarrow{F}}_{P\to M}\approx G\frac{m{m}_p}{2\pi d}{\hat{e}}_r\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{\cos (\beta )}{l(\beta )}\mathrm{d}\beta$

zu erhalten. Durch cleveres Auseinander- und wieder Zusammenziehen des Integrals kann dies schließlich auf

${\overrightarrow{F}}_{P\to M}\approx G\frac{m{m}_p}{2\pi d}{\hat{e}}_r\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (\beta )\frac{l(\beta +\pi )-l(\beta )}{l(\beta )l(\beta +\pi )}\mathrm{d}\beta =G\frac{m{m}_p}{2\pi d}{\hat{e}}_r\frac{2r}{d^2-r^2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^2(\beta )\mathrm{d}\beta$

umgeformt werden.

Störkraft und Störfunktion

Das verbleibende Integral entspricht $\frac{\pi }{2}$ womit die Störkraft hier durch

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{S}}^{(2)}={\overrightarrow{F}}_{P\to M}\approx -\frac{GMm}{r^2}{\hat{e}}_r\cdot (-\frac{m_P}{2M}{\left(\frac{r}{d}\right)}^3\frac{1}{1-{\left(\frac{r}{d}\right)}^2})$

bestimmt werden kann. Die Störfunktion ist daher durch

${\epsilon }^{(2)}(r)=-\frac{m_P}{2M}{\left(\frac{r}{d}\right)}^3\frac{1}{1-{\left(\frac{r}{d}\right)}^2}$

gegeben. Die hochgestellte $2$ in Klammern kennzeichnet dabei den zweiten Versuch einer Störkraft.

Die Perihelverschiebung

Durch Anwendung der Formel

$\mathrm{\Delta }{\psi }_T=2\pi \cdot {(-\frac{a}{2}\frac{\partial \epsilon }{\partial r})}_{r=a}=360^{\circ }\cdot {(-\frac{a}{2}\frac{\partial \epsilon }{\partial r})}_{r=a}$

kann so die Verschiebung innerhalb eines Umlaufs durch

$\mathrm{\Delta }{\psi }_T^{(2)}=360^{\circ }\cdot \frac{3m_P}{4M}{\left(\frac{a}{d}\right)}^3\frac{1-\frac{1}{3}{\left(\frac{a}{d}\right)}^2}{{(1-{\left(\frac{a}{d}\right)}^2)}^2}$

bestimmt werden. Ein Vergleich mit der Verschiebung des ersten Ansatzes der Störkraft

$\mathrm{\Delta }{\psi }_T^{(1)}=360^{\circ }\cdot \frac{3m_P}{4M}{\left(\frac{a}{d}\right)}^3$

zeigt, dass die beiden Ausdrücke sich nur um den Faktor

$\frac{1-\frac{1}{3}{\left(\frac{a}{d}\right)}^2}{{(1-{\left(\frac{a}{d}\right)}^2)}^2}$

unterscheiden. Somit müssen in der Tabellenkalkulation zur Perihelverschiebung die Ergebnisse des ersten Ansatzes nur mit dem entsprechenden Korrekturfaktor multipliziert werden.

Damit ergibt sich eine Perihelverschiebung von etwa $532^{″}$ pro Jahrhundert, was sich von dem gemessenen Wert um etwa $43^{″}$ pro Jahrhundert unterscheidet. Diese Diskrepanz kann aber nicht durch eine "noch bessere Störkraft" erklärt werden, sondern nur durch die Allgemeine Relativitätstheorie.

${\displaystyle }$

Siehe auch

Die hier betrachtete Rechnung wird ausführlich im Paper Michael P. Price, William F. Rush, Nonrelativistic contribution to Mercury's perihelion precession , Am. J. Phys 47(6), 1997 diskutiert.