Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Relativistischer Einfluss

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Die relativistische Störkraft

In der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) wird Gravitation nicht als Kraft sondern als Folge einer Krümmung von Raum und Zeit aufgefasst. Durch die stärkere Raumkrümmung in der Nähe von Gravitationsquellen wie der Sonne tritt ein störendes Potential der Form

$U_{\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{T}}=-\frac{J^{2}GM}{m{c}^2{r}^3}$

auf. Dabei ist $m$ die Masse des sich bewegenden Körpers und $J$ dessen Drehimpuls. $M$ ist die Masse des zentralen Objekts (Sonne) und $r$ der Abstand des sich bewegenden Körpers zu diesem. $G$ ist die Gravitationskonstante und $c$ die Lichtgeschwindigkeit.

Hieraus kann die Kraft

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{T}}=-\frac{\mathrm{d}{U}_{\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{T}}}{\mathrm{d}r}{\hat{e}}_r=-\frac{GMm}{r^2}\frac{3J^2}{m^2{c}^2{r}^2}{\hat{e}}_r$

ermittelt werden. Die Störfunktion ist somit durch

${\epsilon }^{(\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{T})}(r)=\frac{3J^2}{m^2{c}^2{r}^2}\approx \frac{3a{r}_{\mathrm{s}}}{2r^2}$

gegeben. Hierbei wurde die Näherung $J^2\approx m\alpha a$ mit der Großen Halbachse $a$ der Bewegung durchgeführt und der Schwarzschildradius

$r_{\mathrm{s}}=\frac{2GM}{c^2}$

eingeführt. Für die Sonne beträgt dieser in etwa $r_{\mathrm{s}}\approx 3\mathrm{k}\mathrm{m}$.

Die Verschiebung des Perihels

Mit

$\frac{\partial {\epsilon }^{(\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{T})}}{\partial r}{|}_{r=a}=-3\frac{r_{\mathrm{s}}}{a^2}$

lässt sich so die Verschiebung des Perihels über

$\mathrm{\Delta }{\psi }_T=360^{\circ }\cdot {(-\frac{a}{2}\frac{\partial \epsilon }{\partial r})}_{r=a}$

zu

$\mathrm{\Delta }{\psi }_T^{(\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{T})}=360^{\circ }\cdot \frac{3r_{\mathrm{s}}}{2a}$

bestimmen. Für den Merkur ergibt sich mit $a\approx 58\cdot 10^6\mathrm{k}\mathrm{m}$ in 100 Jahren daher eine Perihelverschiebung von etwa $42^{″}$, was dem fehlenden Wert aus den klassischen Berechnungen entspricht.

Siehe auch

• Weiteres lässt sich im Wikipedia-Artikel Apsidendrehung einsehen.