Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue

Aussage

Es sei $U\subseteq ℂ$ ein Gebiet und $f:U\to ℂ$ eine holomorphe, nicht konstante Funktion. Dann ist $f(U)$ ein Gebiet.

Beweis

Bei Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass $f(U)$ ein Gebiet ist, d.h. die Menge $f(U)$

• ist zusammenhängend und
• offen.

Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile.

Beweis 1: zusammenhängend

Wir zeigen, dass aus $f$ stetig und $U$ zusammenhängend folgt, dass auch $f(U)$ zusammenhängend ist.

Beweis 2: zusammenhängend

Seien $w_1,w_2\in f(U)$ beliebig gewählt. Dann gibt $z_1,z_2\in U$ mit $f(z_1)=w_1$ und $f(z_2)=w_2$. Da $U$ zusammenhängend ist, gibt es ein Weg $\gamma :[a,b]\to U$ mit $\gamma (a)=z_1$ und $\gamma (b)=z_2$.

Beweis 3: zusammenhängend

Weil $f$ stetig ist und $\gamma :[a,b]\to U$ ein stetig Weg in $U$ ist, so ist auch${\gamma }_f:=f\circ \gamma$ ein stetiger Weg in $f(U)$, für den gilt:

${\gamma }_f(a)=f(\gamma (a))=f(z_1)=w_1$ und ${\gamma }_f(b)=f(\gamma (b))=f(z_2)=w_2$

Beweis 4: offen

Es bleibt zu zeigen, dass $f(U)$ offen ist, sei dazu $w_0\in f(U)$ und $z_0\in U$ mit $f(z_0)=w_0$. Wir betrachten nun die Menge der $w_0$-Stellen

$S(f,w_0):=\{z\in U|f(z)=w_0\}$

Beweis 5: offen - Identitätssatz

Nach dem Identitätssatz kann die Menge $S(f,w_0):=\{z\in U|f(z)=w_0\}$ keine Häufungspunkte in $f(U)$ haben. Hätte eine $S(f,w_0)\subseteq f(U)$ Häufungspunkte in $f(U)$, dann wäre die holomorphe Funktion $f:U\to ℂ$ konstant mit $f(z)=w_0$ für alle $z\in U$.

Beweis 6: offen - Umgebungen

Wenn die Menge $S(f,w_0)$ der $w_0$-Stellen von $f$ keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung $V\subseteq U$ von $z_0$ so wählen, in der $z_0$ die einzige $w_0$-Stelle ist. Sei $r>0$ so gewählt, dass ${\overline{D}}_r(z_0)\subseteq V$ gilt.

Beweis 7: offen

Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von $f(z)$ zu $w_0$, wobei $z$ auf dem Kreisrand von $D_r(z_0)$ liegt.

$\epsilon :=\underset{z\in \partial D_r(z_0)}{\inf }|f(z)-w_0|>0$

Dabei ist $\epsilon >0$, weil $f$ stetig ist und auf der kompakten Menge $\partial D_r(z_0)$ ein Minimum annimmt. Mit ${\overline{D}}_r(z_0)\subseteq V$ kann auf dem Rand keine $w_0$-Stellen liegen.

Beweis 8: offen - Maximumsprinzip

Wir zeigen, dass $D_{\frac{\epsilon }{3}}(w_0)\subseteq f(U)$ gilt. Sei dazu $|w-w_0|<\frac{\epsilon }{3}$. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige $w\in D_{\frac{\epsilon }{3}}(w_0)$ als Bild von $f$ getroffen wird.

Beweis 9: offen - Maximumsprinzip

Angenommen, es wäre $f(z)\ne w$ für alle $z\in {\overline{D}}_r(z_0)$. Dann nimmt $|g|$ mit $g(z):=f(z)-w$ auf $\overline{D_r(z_0)}$ ein von Null verschiedenes Minimum an. Da $f$ nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf $\partial D_r(z_0)$ liegen (sonst ist $h(z):=\frac{1}{f(z)-w}$ nach dem Maximumprinzip konstant. Wenn $h$ konstant ist, müsste dann auch $f$ konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung).

Beweis 9: offen

Da $w_0\in f(U)$ beliebig gewählt wurde und für jedes $w_0\in f(U)$ eine $\frac{ϵ}{3}$-Umgebung $D_{\frac{ϵ}{3}}(w_0)\subseteq f(U)$ erhalten, die in $f(U)$ ist $f(U)=\bigcup _{w_0\in f(U)}{D}_{\frac{ϵ}{3}}(w_0)$ als Vereinigung von offenen Mengen wieder offen.

Siehe auch

• Normen, Metriken, Topologie

Seiteninformation

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.