Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz

Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist.

Aussage

Sei $U\subseteq ℂ$ ein Gebiet. Für zwei holomorphe Funktionen $f,g:U\to ℂ$ sind äquivalent:

• (1) $f=g$ (d.h. $f(x)=g(x)$ für alle $x\in U$)
• (2) Es gibt ein $z_0\in U$ mit $f^{(n)}(z_0)=g^{(n)}(z_0)$ für alle $n\in {\mathbb{N}}_o$.
• (3) Die Menge $\{z\in U:f(z)=g(z)\}$ hat unendlich viele Elemente mit einen Häufungspunkt in $U$.

Beweis

Durch Betrachtung von $f-g$ dürfen wir o. E. annehmen, dass $g=0$. Äquivalent zu der Aussage des Satzes wird nur der Beweis für folgende 3 Aussage geführt:

• (N1) $f=0$ (d.h. $f(x)=0$ für alle $x\in U$)
• (N2) Es gibt ein $z_0\in U$ mit $f^{(n)}(z_0)=0$ für alle $n\in {\mathbb{N}}_o$.
• (N3) Die Nullstellenmenge $N_f:=\{z\in U:f(z)=0\}$ hat unendlich viele Elemente mit einem Häufungspunkt in $U$

Beweistyp

Der Beweis der Äquivalenz erfolgt über eine Ringschluss

$(1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (1)$

Beweis (N1) nach (N2)

(N1) $\Rightarrow$ (N2) ist offensichtlich richtig, wenn man zu der Nullfunktion $f$ die n-ten Ableitung betrachtet.

Beweis (N2) nach (N3)

Gelte nun (N2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$ in $B_r(z_0)$ mit $r>0$. Es ist $a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=0$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Also ist $f{|}_{B_r(z_0)}=0$, es folgt (N3).

Beweis (N3) nach (N1) - Widerspruchsbeweis

Zu dem Beweisschritt (N3) $\Rightarrow$ (N1) wird als Widerspruchsbeweis geführt. Es wird angenommen, dass die Nullstellenmenge eine Häufungspunkt besitzt und $f$ nicht die Nullfunktion ist.

Beweis 1 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung um Häufugspunkt

Gelte nun (N3), d. h. die Menge $N_f$ der Nullstellen von $f$ habe einen Häufungspunkt $z_0\in U$. Es gebe also eine Folge $(z_n)\in U^{\mathbb{N}}$ mit $z_n\to z_0$ und $f(z_n)=0$ sowie $z_n\ne z_0$, für alle $n\in \mathbb{N}$. Sei nun $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$ die Potenzreihenentwicklung von $f$ um $z_0$.

Beweis 2 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung

Angenommen, es gäbe ein $n\in \mathbb{N}$ mit $a_n\ne 0$, dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von $\mathbb{N}$ auch ein kleinstes solches $n$. Es wäre

$f(z)=(z-z_0{)}^n\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+k}(z-z_0{)}^k,|z-z_0|<r,a_n\ne 0$

Beweis 3 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung

Für jedes $i\in \mathbb{N}$ wäre also

$0=f(z_i)=(z_i-z_0{)}^n\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+k}(z_i-z_0{)}^k$

Beweis 4 - (N3) nach (N1) - Grenzwertprozess

Wegen $z_i\ne z_0$ und $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_i=z_0$ erhält man:

$0=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+k}(z_i-z_0{)}^k\to a_n,i\to \mathrm{\infty }$

Da $a_{n+k}(z_i-z_0{)}^k\to 0$ für alle $k>0$ für $i\to \mathrm{\infty }$. Dies steht im Widerspruch zu $a_n\ne 0$. Also ist $a_n=0$ für alle $n\in \mathbb{N}$ und damit $f^{(n)}(z_0)=0$ für alle $n\in \mathbb{N}$, d. h. (N2) gilt.

Beweis 5 - (N3) nach (N1) - V abgeschlossen

Gilt (N2), setze $V:=\bigcap _{n\ge 0}\{z\in U|f^{(n)}(z)=0\}$. $V$ ist als Durchschnitt von abgeschlossen Mengen abgeschlossen in $U$, da die $f^{(n)}$ stetig sind und damit Urbilder von abgeschlossenen Mengen (hier $\{0\}$) wieder abgeschlossen sind.

Beweis 6 - (N3) nach (N1) - offen

$V$ ist aber zugleich auch offen in $U$, da in jedem $w\in V$ die Potenzreihenentwicklung von $f$ um $w$ verschwindet, also ist $f$ lokal um $w$ gleich $0$. Wegen $z_0\in V$ ist $V$ nichtleer und damit $V=U$ wegen des Zusammenhangs von $U$.

Beweis 7 - von (N1)-(N3) zu (1)-(3)

Die Aussage des Identitätssatzes (1)-(3) erhält man dann für beliebige $g:U\to ℂ$ und $h:U\to ℂ$, wenn man (N1)-(N3) auf $f:=g-h$ anwendet.

Siehe auch

• Kurs:Funktionentheorie
• Satz von Casorati-Weierstraß

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