Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip

Einleitung

Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem Kurs:Funktionentheorie. Der Betrag $|f|$ einer holomorphen Funktion $f:G\to ℂ$ kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage.

Aussage

Es sei $U\subseteq ℂ$ ein Gebiet, $f:U\to ℂ$ holomorph. Hat $|f|$ in $U$ ein lokales Maximum, so ist $f$ konstant.
Ist $U$ beschränkt und $f$ auf $\overline{U}$ stetig fortsetzbar, so nimmt $f$ sein Maximum auf $\partial U$ an.

Zum Beweis benötigen wir ein Lemma, das die Folgerung lokal trifft

Lemma

Es sei $G\subseteq ℂ$ offen, $f:G\to ℂ$ holomorph. Sei $z_0\in G$ eine lokale Maximalstelle von $|f|$. Dann ist $f$ auf einer Umgebung von $z_0$ konstant.

Beweis des Lemmas 1

Es sei $r>0$ so gewählt, dass $|f(z)|\le |f(z_0)|$ für alle $z\in {\overline{D}}_r(z_0)\subseteq G$ gilt. Die Cauchy-Integralformel liefert für alle $\epsilon \le r$, dass

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial D_{\epsilon }(z_0)}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz$

Damit kann man die folgende Abschätzung zeigen:

Beweis des Lemmas 2

Man erhält die folgende Abschätzung:

$\begin{array}{cc}|f(z_0)|& =\frac{1}{2\pi }\left|\underset{\partial D_{\epsilon }(z_0)}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz\right|\\ & =\frac{1}{2\pi }|\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{f(z_0+\epsilon e^{it})}{\epsilon \cdot e^{it}}\epsilon \cdot i\cdot e^{it}dt|\\ & \le \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0+\epsilon \cdot e^{it})|dt\\ & \le \underset{t\in [0,2\pi ]}{\sup }|f(z_0+\epsilon \cdot e^{it})|\\ & \le |f(z_0)|\end{array}$

Beweis des Lemmas 3

Daraus folgt, dass es sich bei der $\le$-Abschätzung um echte Gleichungkette handelt und somit

$\begin{array}{cc}|f(z_0)|=& \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0)|\cdot \frac{1}{2\pi }dt=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0+\epsilon \cdot e^{it})|dt\\ \Rightarrow & 0=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(|f(z)|-|f(z_0)|)dt\\ \Rightarrow & |f(z)|=|f(z_0)|\end{array}$

.

Beweis des Lemmas 4

Damit erhalten wir die Konstanz von $|f|$ über die Eigenschaft:

$|f(z)|=|f(z_0)|$ für alle $z\in {\overline{D}}_r(z_0)$,

d.h. $|f|$ ist auf $D_r(z_0)$ konstant.

Beweis des Lemmas 5

Wenn $|f|=\sqrt{\Re 𝔢(f{)}^2+\Im 𝔪(f{)}^2}$ auf $D_r(z_0)$ konstant ist, dann muss auch $\Re 𝔢(f{)}^2+\Im 𝔪(f{)}^2=c$ konstant sein mit einer Konstante $c\in ℝ$.

Beweis des Lemmas 6

Wegen $f$ holomorph auf $D_r(z_0)$ ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für

$u:=\Re 𝔢(f),v:=\Im 𝔪(f)\text{ und }f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$

und es gilt

$\frac{\partial u(x,y{)}^2+v(x,y{)}^2}{\partial x}=0\text{ und }\frac{\partial u(x,y{)}^2+v(x,y{)}^2}{\partial y}=0$

Beweis des Lemmas 7

Ist $u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$ und $u_y=\frac{\partial u}{\partial y}$ und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen

$0=2u{u}_x+2v{v}_x$ und $0=2u{u}_y+2v{v}_y$

Mit CR-DGL $u_x=v_y$ und $u_y=-v_x$ ersetzen wird die partiellen Ableitung von $v$ durch partielle Ableitungen von $u$ und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):

$0=2\cdot (u{u}_x-v{u}_x)$ und $0=2\cdot (u{u}_y+v{u}_x)$

Beweis des Lemmas 8

Wir quadrieren die beiden Gleichungen

$0=(u{u}_x-v{u}_y{)}^2=u^2{u}_x^2-2u{u}_x\cdot v{u}_y+v^2{u}_y^2$

$0=(u{u}_y+v{u}_x{)}^2=u^2{u}_y^2+2u{u}_y\cdot v{u}_x+v^2{u}_x^2$

und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:

$0=u^2{u}_x^2+v^2{u}_y^2+u^2{u}_y^2+v^2{u}_x^2$

Beweis des Lemmas 9

Durch Ausklammern von $u^2$ und $v^2$ erhält man:

$0=u^2(u_x^2+u_y^2)+v^2(u_x^2+u_y^2)=(u^2+v^2)\cdot (u_x^2+u_y^2)$

Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:

$0=u^2+v^2\vee 0=u_x^2+u_y^2$

Beweis des Lemmas 10

• Mit $u^2=-v^2$ folgt $u=v=0$ da $u(x,y)$ und $v(x,y)$ reellwertig sind und damit gilt $f=u+iv=0$.
• $u_x^2=-u_y^2$ folgt $u_x^2=u_y^2=0$ und $u_x=u_y=0$ und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch $f^{\prime }=0$

Insgesamt ist also $f$ konstant auf $D_r(z_0)$.

Beweis

Es sei $z_0\in G$ eine lokale Maximalstelle von $|f|$ in dem Gebiet $G$. $V:=\{z\in G:f(z)=f(z_0)\}$ sei die Menge alle $z\in G$ die auf $w:=f(z_0)\in ℂ$ abbilden (Niveaumenge).

Beweis 1: V abgeschlossen

Da $f$ stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in $G$). Da die Menge $\{w\}\subset ℂ$ abgeschlossen ist, ist $V=f^{-1}(\{w\})$ abgeschlossen in $G$.

Beweis 2: V offen

Nach dem Lemma lässt sich die $V$ auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen.

Beweis 3: Zusammenhang

Also ist $V=G$ wegen des Zusammenhangs von $U$, d. h. $f$ ist konstant.

Beweis 4: G beschränkt

Ist $G$ beschränkt, so ist $\overline{G}$ kompakt, also nimmt die stetige Funktion $f$ auf $\overline{G}$ ihr Maximum an, etwa an der Stelle $z_0\in \overline{G}$. Ist $z_0\in G$, so ist $f$ nach obigem Lemma auf $G$ konstant und damit auf $\overline{G}$ konstant, also nimmt $f$ sein Maximum auch auf $\partial G$ an. Anderenfalls ist $z_0\in \partial G$ und wir sind fertig.

Siehe auch

• Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen
• Anwendungen der CR-DG

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