Kurs:Funktionentheorie/Anwendungen CR-DG

Aussage

Es sei $G\subseteq ℂ$ ein Gebiet, $f:G\to ℂ$ holomorph. Ist $|f|$ konstant auf $G$, so ist $f$ konstant.

Beweis

Es sei $G\subseteq ℂ$ offen, $f:G\to ℂ$ holomorph. Sei ferner $|f|$ konstant.

Beweis des Lemmas 1

Wenn $|f|=\sqrt{\Re 𝔢(f{)}^2+\Im 𝔪(f{)}^2}$ auf $D_r(z_0)$ konstant ist, dann muss auch $\Re 𝔢(f{)}^2+\Im 𝔪(f{)}^2=c$ konstant sein mit einer Konstante $c\in ℝ$. Wenn $h:=\Re 𝔢(f{)}^2+\Im 𝔪(f{)}^2$ konstant ist, gilt für die partiellen Ableitung $\frac{\partial h(x+iy)}{\partial x}=0$ und $\frac{\partial h(x+iy)}{\partial y}=0$.

Beweis des Lemmas 2

Wegen $f$ holomorph auf $D_r(z_0)$ ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für

$u:=\Re 𝔢(f),v:=\Im 𝔪(f)\text{ und }f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$

und es gilt

$\frac{\partial (u(x,y{)}^2+v(x,y{)}^2)}{\partial x}=0\text{ und }\frac{\partial (u(x,y{)}^2+v(x,y{)}^2)}{\partial y}=0$

Beweis des Lemmas 3

Ist $u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$ und $u_y=\frac{\partial u}{\partial y}$ und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen

$0=2u{u}_x+2v{v}_x$ und $0=2u{u}_y+2v{v}_y$

Mit CR-DGL $u_x=v_y$ und $u_y=-v_x$ ersetzen wird die partiellen Ableitung von $v$ durch partielle Ableitungen von $u$ und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):

$0=2\cdot (u{u}_x-v{u}_x)$ und $0=2\cdot (u{u}_y+v{u}_x)$

Beweis des Lemmas 4

Wir quadrieren die beiden Gleichungen

$0=(u{u}_x-v{u}_y{)}^2=u^2{u}_x^2-2u{u}_x\cdot v{u}_y+v^2{u}_y^2$

$0=(u{u}_y+v{u}_x{)}^2=u^2{u}_y^2+2u{u}_y\cdot v{u}_x+v^2{u}_x^2$

und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:

$0=u^2{u}_x^2+v^2{u}_y^2+u^2{u}_y^2+v^2{u}_x^2$

Beweis des Lemmas 5

Durch Ausklammern von $u^2$ und $v^2$ erhält man:

$0=u^2(u_x^2+u_y^2)+v^2(u_x^2+u_y^2)=(u^2+v^2)\cdot (u_x^2+u_y^2)$

Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:

$0=u^2+v^2\vee 0=u_x^2+u_y^2$

Beweis des Lemmas 6

• Mit $u^2=-v^2$ folgt $u=v=0$ da $u(x,y)$ und $v(x,y)$ reellwertig sind und damit gilt $f=u+iv=0$.
• $u_x^2=-u_y^2$ folgt $u_x^2=u_y^2=0$ und $u_x=u_y=0$ und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch $f^{\prime }=0$

Insgesamt ist also $f$ konstant auf $G$.

Beispiel für eine nicht holomorphe Funktion

Als Beispiel dient die Funktion $f(z):=e^{i\cdot |z|}$. Zeigen Sie, dass $|f|$ konstant ist und $f$ selbst aber nicht konstant ist. Berechnen Sie ferner die Jacobi-Matrix.

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