Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz

Das Lemma von Schwarz ist eine Aussage über das Wachstumsverhalten holomorpher Funktionen auf der Einheitskreisscheibe.

Aussage

Es sei $𝔻:=\{z\in ℂ:|z|<1\}$ die Einheitskreisscheibe und $f:𝔻\to 𝔻$ holomorph mit $f(0)=0$. Dann gilt:

• $|f(z)|\le |z|$ für alle $z\in 𝔻$
• $|f^{\prime }(0)|\le 1$
• Gilt $|f^{\prime }(0)|=1$ oder $|f(z_0)|=|z_0|$ für ein $z_0\in 𝔻\setminus \{0\}$, so ist $f$ eine Drehung, d. h. es existiert ein $\lambda$ mit $|\lambda |=1$, so dass $f(z)=\lambda \cdot z$, $z\in 𝔻$.

Beweis

Definiere $g:𝔻\to ℂ$ durch

$g(z)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(z)}{z},& z\ne 0\\ f^{\prime }(0),& z=0\end{array}$

Dann ist $g$ stetig, also nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz auch holomorph. Sei $r<1$, dann ist nach dem Maximumprinzip also für $|z|\le r$:

$|g(z)|\le \underset{|z|=r}{\max }|g(z)|=\frac{\underset{|z|=r}{\max }|f(z)|}{r}\le \frac{1}{r}.$

Für $r\to 1$ ergibt sich die Ungleichung $|g(z)|\le 1$, also $|f(z)|\le |z|$ für alle $z\in 𝔻$ gilt, das zeigt die ersten beiden Aussagen.

Gilt in einem der Beiden Fälle Gleichheit, so hat also $|g|$ im inneren von $𝔻$ ein lokales Maximum, nach dem Maximumprinzip ist also $g$ konstant, und diese Konstante $\lambda$ hat den Betrag $1$, es folgt die Behauptung.

Vgl. Fischer S. 286.

siehe auch

• Automorphismen von $𝔻$ können damit charakterisiert werden.