Riemannscher Hebbarkeitssatz

Aussage

Es sei $G\subseteq ℂ$ ein Gebiet, $z_0\in G$ und $f:G\setminus \{z_0\}\to ℂ$ holomorph. Genau dann ist $f$ holomorph nach $z_0$ fortsetzbar, wenn es eine Umgebung $U\subseteq G$ von $z_0$ gibt, so dass $f$ auf $U\setminus \{z_0\}$ beschränkt ist.

Beweis

Sei $r>0$ so gewählt, dass ${\overline{B}}_r(z_0)\subseteq U$ gilt und sei $M$ eine obere Schranke für $f$ auf $U$.

Wir betrachten die Laurent-Reihe von $f$ um $z_0$. Es ist

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n,a_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{|w-z_0|=r}{\int }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw$

Abschätzen von $a_n$ nach oben liefert die sogenannten Cauchy-Abschätzungen, es ist

$\begin{array}{cc}|a_n|& =\left|\frac{1}{2\pi i}\underset{|w-z_0|=r}{\int }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw\right|\\ & \le \frac{1}{2\pi }\underset{|w-z_0|=r}{\int }\frac{|f(w)|}{|w-z_0{|}^{n+1}}|dw|\\ & \le \frac{1}{2\pi }\underset{|w-z_0|=r}{\int }\frac{M}{r^{n+1}}|dw|\\ & =\frac{M}{r^n}\end{array}$

Für $n<0$ folgt also

$|a_n|\le \frac{M}{r^n}=M{r}^{-n}\to 0,r\to 0$

Also ist $a_n=0$ für jedes $n<0$, das heißt, wir haben $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$ und $f(z_0):=a_0$ ist eine holomorphe Fortsetzung von $f$ nach $z_0$. en:Riemann Removability Theorem