Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation

Einleitung

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Zielsetzung

Diese Lerneinheit bereitet mit einer Abschätzung und induktiven Definition von positiven Konstanten die Stetigkeit von Gaugefunktional, Quasihalbnorm und Halbnormen auf der Polynomalgebra vor, wobei die Koeffizienten von zwei Gaugefunktionalen bzgl. der LC-Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation, PC-Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation und allgemein der T-Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation nachgewiesen werden kann.

Koeffizientenlemma: Cauchy-Multiplikation

Sei $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Quasihalbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$. Sei $K\ge 1$ eine Stetigkeitskonstante der Addition einer Quasihalbnorm $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$, $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ und $(d_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ zwei Folgen positiver Zahlen, dann gibt es eine Folge $(b_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:

• (KL1) $b_i\ge d_i$ für alle $i\in {\mathbb{N}}_0$
• (KL2) $K^{i+j+1}\cdot a_{i+j}\le b_i\cdot b_j$ für alle $i,j\in {\mathbb{N}}_0$.

Beweis

Der Beweis definiert die Koeffizientenfolge $(b_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ induktiv definiert.

Definition der ersten Folgenkomponente

Man definiert das erste Folgenkomponenten $b_o:=\max \{1,a_o,d_o\}$ und erhält damit die Bedingung (KL1) $b_o\ge d_o$. Ferner gilt für alle $i,j\in {\mathbb{N}}_0$ mit $i,j\le 0$: $K^{i+j+1}\cdot a_{i+j}\le b_i\cdot b_j$ Denn es gilt dann $i=j=0$ und damit: $a_o=\underset{=1}{\underbrace{K^{i+j+1}}}\cdot a_{0+0}\le \underset{\ge 1}{\underbrace{b_0}}\le b_0\cdot b_0$

Voraussetzungen für die nächste Folgenkomponente

Sei nun die $(n-1)$-te Folgenkomponente $b_{n-1}$ bereits definiert, damit und es gelten für alle $i,j\le n-1$ die Bedingungen :

• (KL1) $b_i\ge d_i$ für alle $i\le (n-1)$
• (KL2) $K^{i+j+1}\cdot a_{i+j}\le b_i\cdot b_j$ für alle $i,j\le (n-1)$.

Definition des nächsten Folgenkomponente

Da (KL1) und (KL2) für $i,j\le (n-1)$ gelten, definiert man nun $b_n:={\max }_{k=1}^3\left\{c_k\right\}$ über :

$$\begin{array}{ccc}{c}_1& :=& \max \{d_n,K^n{a}_n\}\\ c_2& :=& \max \{K^{n+2}\frac{a_{n+1}}{b_1},K^{n+3}\frac{a_{n+2}}{b_2},\dots ,K^{2n}\frac{a_{2n-1}}{b_{n-1}}\}\\ c_3& :=& \sqrt{K^{2n+1}\cdot a_{2n}}\end{array}$$

Bemerkung zu den Maxima

• $c_1$ sorgt insbesondere für die Abschätzung bzgl. der Stetigkeit der Addtion mit der Stetigkeitskonstante $K\ge 1$ und bei der induktiven Definition für $b_n\cdot b_n\ge K^{2n}\cdot a_{2n}$.
• $c_2$ ist für die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation wesentlich, wenn einer der beiden Indizes $n$ und der jeweils anderen kleiner als $n$ ist.
• Der Term $c_3=\sqrt{K^{2n+1}\cdot a_{2n}}$ erlaubt eine Abschätzung des Cauchy-Produktes für $i=j=n$ mit $K^{2n+1}\cdot a_{2n}\le b_n^2$

Gültigkeit von (KL1)

Mit der Maximumdefinition erhält man unmittelbar $b_n\ge d_n$, da $b_n$ als $b_n:=\max \{d_n,\dots \}$ definiert wurde.

Gültigkeit von (KL2) - Fallunterscheidung

Für die Gültigkeit von (KL2) mit $i,j\le n$ muss man nur die Fälle untersuchen, bei denen $i=n$ oder $j=n$ gilt. Die Fälle $i,j<n$ gelten nach Voraussetzung. Wir verwenden eine Fallunterscheidung für:

• (KL2-F1) $i<n$ und $j=n$ bzw. $i=n$ und $j<n$
• (KL2-F2) $i=n$ und $j=n$ wird bei der Abschätzung über:

$b_n^2\ge c_3^2={\left(\sqrt{K^{2n+1}\cdot a_{2n}}\right)}^2=K^{2n+1}\cdot a_{2n}$

Gültigkeit von (KL2-F1) - Fallunterscheidung 1

Damit ergibt sich $b_n\cdot b_i\ge K^{n+i+1}\cdot a_{n+i}$ für alle $i\in \{0,1,\dots ,n-1\}$. Ferner gilt $b_n\cdot b_n\ge K^{2n+1}\cdot a_{2n}$. Also gilt $(KL1)$ und $(KL2)$ für $i,j\le n$ und $i=n$ bzw. $j=n$. Für $i,j<n$ ergibt sich die Behauptung nach Voraussetzung. $◻$

Aufgaben für Studierende

Betrachten Sie die Cauchy-Multiplikation auf der Polynomalgebra und erläutern Sie, wie man die Koeffizienten der Gaugefunktionale für pseudokonvexe Algebren definieren kann (siehe auch LC-Stetigkeit und PC-Stetigkeit des Cauchy-Produkt.

Siehe auch

• PC-Regularität
• Stetigkeit Cauchy-Produkt in Banachalgebren
• LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt
• PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt
• T-Stetigkeit Cauchy-Produkt

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