Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen

Einführung

Aus der Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen erhält man für $z\notin 𝒯𝒦𝒫(A)$, dass es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und Konstanten $D_k(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt:

${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }$

(siehe topologisch kleine Potenzen)

Definition: Topologische große Potenzen

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})$ ein unitale topologische Algebra. Ein $z\in A$ besitzt topologisch große Potenzen ($z\in 𝒯𝒢𝒫(A)$), wenn es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und Konstanten $D_k(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt:

${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }$

Bemerkung

Damit gilt unmittelbar $𝒯𝒢𝒫(A)=A\setminus 𝒯𝒦𝒫(A)$, weil die $𝒯𝒢𝒫$-Eigenschaft als Negation der Eigenschaft, topologisch kleine Potenzen zu besitzen, formuliert wurde.

Topologisch kleine / große Potenzen

Ein Element $z\in A$ aus einer topologischen Algebra $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in 𝒦$ besitzt genau dann rechtsseitig topologisch kleine Potenzen, wenn es ein $\alpha \in 𝒜$ gibt, so dass für alle $\beta \in 𝒜$ ein $k(\beta )\in \mathbb{N}$ mit

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z^{k(\beta )}\cdot x\Vert }_{\beta }=0$$

existiert. Dies ist die Negation für die Eigenschaft, dass $z$ topologisch große Potenzen besitzt - $z\notin 𝒯𝒢𝒫(A)$).

TGP-Kriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau topologisch große Potenzen in $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒦}_e^k$, $z\in A$ ( $z\in 𝒯𝒢𝒫(A)$, wenn es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit positiven Konstanten $D_{(\alpha ,k)}$ gibt, für die gilt:

• (R1)${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_{(\alpha ,k)}\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$ und
• (R2) ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Beweis

Die Beweisführung basiert auf der Verwendung der topologischen Eigenschaft $z\in 𝒯𝒢𝒫(A)$, um eine Eindeutigkeit der Komplementärteiler $y$ von Potenzen $z^k$ für die multiplikative Zerlegung $z^k\cdot y=x$ für ein gegebenes $x\in A$ zu erhalten, wenn diese existiert. Die Teilermenge $T_k(x)$ der Komplementärteiler von Potenzen $z^i$ zu $x\in A$ mit $i\in \{0,1,\dots k\}$ wird dann verwendet, um die $𝒦$-Funktionale ${\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}$ zu definieren.

Beweisidee

Es ist eine Äquivalenz von $z\in 𝒯𝒢𝒫(A)$ und den beiden Ungleichung aus dem Kriterium zu zeigen.

• In Beweisteil (1) startet man mit $z\in 𝒯𝒢𝒫(A)$ und zeigt (R1) und (R2).
• In Beweisteil (2) startet man mit (R1) und (R2) als Vorausetzung und zeigt $z\in 𝒯𝒢𝒫(A)$.

Folge der Konstanten

Ist zusätzlich zum obigen Satz eine weitere Folge $(C_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ gegeben, so kann man die Konstantenfolgen ${(D_k(\alpha ))}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ ohne Einschränkung so wählen, dass diese

• monoton wachsend (d.h. $D_k(\alpha )+D_{(\alpha ,k)}\le D_{k+1}(\alpha )$ für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$) und
• $C_k\le D_k(\alpha )$

gilt.

Grund für Isotonie und Majorante

Der Grund für die Konstruktion der Konstantenfolgen ${(D_k(\alpha ))}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit den vorher genannten Eigenschaften ist die Notwendigkeit, dass man bei der Stetigkeit des Algebraisomorphismus Konstanten für die Gaugefunktionale in der Polynomalgebra abschätzen muss. Genauer gesagt, Koeffizienten der Form $z\cdot q_{k-1}\in A$ für $t^k$ mit einem Gaugefunktional mit Koeffizenten $q_{k-1}\in A$ für $t^{k-1}$ abschätzen. Dabei muss gleichzeitig die Stetigkeit der Addition und Multiplikation erfüllt sein. Dabei muss die Konstantenfolge zusätzliche Eigenschaften berücktsichtigen, die über die Eigenschaft $C_k\le D_k(\alpha )$ in das TGP-Kriterium integriert werden können.

(1.1) Negation - Topologische kleine Potenzen

Aus $z\in 𝒯𝒢𝒫(A)$ erhält man über die Negation der $𝒯𝒦𝒫$-Definition für $z\notin 𝒯𝒦𝒫(A)$ die Aussage, dass es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und Konstanten $D_k(\alpha )>0$ gibt, sodass für alle $x\in A$ gilt:

${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }$

(1.2) Stetigkeit der Multiplikation

Über die Stetigkeit der Multiplikation zu dem $\beta \in 𝒜$ ein $\gamma \in 𝒜$ mit

(1.3) Teilerdefinition in Algebren

$z\in A$ ist eine Teiler von $x\in A$ genau dann, wenn es einen Komplementärteiler $y\in A$ gibt, mit $z\cdot y=x$.

Analog erhält man $z^k\in A$ ist eine Teiler von $x\in A$ genau dann, wenn es einen Komplementärteiler $y\in A$ gibt, mit $z^k\cdot y=x$.

(1.4) Eindeutigkeit der Komplementärteiler

Der Komplementärteiler $y\in A$ von $x\in A$ bzgl. $z^k\in A$ ist mit der Regularitätsbedingung eindeutig bestimmt. Angenommen, es gibt zwei unterschiedliche Komplementärteile $y_1=y_2$ mit $z^k\cdot y_1=x$ und $z^k\cdot y_2=x$, so gibt es mit der Hausdorff-Eigenschaft ein $\alpha \in 𝒜$ mit:

$0<\Vert y_1-y_2{\Vert }_{\alpha }$

(1.5) Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung

Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung führt zum Widerspruch, denn es gilt

$\begin{array}{ccc}0& <& \Vert y_1-y_2{\Vert }_{\alpha }\\ & \le & D_k(\alpha )\cdot {\Vert z^k\cdot (y_1-y_2)\Vert }_{\beta }\\ & =& D_k(\alpha )\cdot {\Vert z^k\cdot y_1-z^k\cdot y_2\Vert }_{\beta }\\ & =& D_k(\alpha )\cdot {\Vert x-x\Vert }_{\beta }=0\end{array}$

(1.6) Definition von Teilermengen

Nun definiert man mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler zu $z^k$ bzgl. $x\in A$ folgende Mengen:

$T_k(x):=\{y\in A:{\mathrm{\exists }}_{i\in \{0,\dots ,k\}}{z}^i\cdot y=x\}$

(1.7) Eigenschaften der Teilermengen

• $T_k(x)=\mathrm{\varnothing }$ für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$ und $x\in A$, denn $x=e_A\cdot x=z^0\cdot x$.
• $T_k(x)\subseteq T_{k+1}(z\cdot x)$, denn für $y\in T_k(x)$ gibt es ein $i\in \{0,\dots ,k\}$ mit $z^i\cdot y=x$. Damit gilt die Gleichung $z^{i+1}\cdot y=z\cdot x$ auch für $0\le i\le (k+1)$ und man erhält $y\in T_{k+1}(x)$
• $|T_k(x)|\le k+1$, denn mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler von $x$ bzgl. $z^i$ und $i\in \{0,\dots ,k\}$ kann es maximal $k+1$ Teiler von $x$ in $T_k(x)$ geben.

(1.8) Definition ein Folge von Gaugefunktionalen

Mit der Eigenschaft $z\notin 𝒯𝒦𝒫(A)$ definiert man eine Sequenz von Gaugefunktionalen.

${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}:=\underset{y\in T_k(x)}{\max }{\Vert y\Vert }_{\alpha }$

(1.9) Ungleichung für Folge von Gaugefunktionalen

$\begin{array}{ccc}{\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}& =& \underset{y\in T_{k+1}(z\cdot x)}{\max }{\Vert y\Vert }_{\alpha }\\ & \ge & \underset{y\in T_k(x)}{\max }{\Vert y\Vert }_{\alpha }={\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\end{array}$

(1.10) Erstes Gaugefunktional in der Sequenz

Das erste Gaugefunktional für $k=0$ in der Sequenz stimmt mit $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ überein, denn mit $x=e_A\cdot x=z^0\cdot x$ gilt:

• $T_0(x)=\{x\}$
• ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,0)}=\underset{y\in T_0(x)}{\max }{\Vert y\Vert }_{\alpha }={\Vert x\Vert }_{\alpha }$

(1.11) Isotonie der Sequenz

Die Isotonie der Sequenz ${\left({\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition und $T_k(x)\subseteq T_{k+1}(x)$:

$\begin{array}{ccc}{\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}& =& \underset{y\in T_k(x)}{\max }{\Vert y\Vert }_{\alpha }\\ & \le & \underset{y\in T_{k+1}(x)}{\max }{\Vert y\Vert }_{\alpha }={\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}\end{array}$

(1.12) Abschätzung der Sequenz nach oben

Die Isotonie der Sequenz ${\left({\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition:

$\begin{array}{ccc}{\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}& =& \underset{y\in T_k(x)}{\max }{\Vert y\Vert }_{\alpha }\\ & \le & \underset{y\in T_k(x)}{\max }\underset{\le D_k(\alpha )}{\underbrace{D_i(\alpha )}}\cdot \Vert \underset{x}{\underbrace{z^i\cdot y}}{\Vert }_{\beta }\\ & \le & D_k(\alpha )\cdot \Vert x{\Vert }_{\beta }\end{array}$

(1.13) Homogenität

Die Homogenität der Funktionale aus der Sequenz ${\left({\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ ergibt sich unmittelbar aus der Definition denn mit $x=z^i\cdot y$ gilt auch $\lambda \cdot x=z^i\cdot (\lambda \cdot y)$:

$\begin{array}{ccc}{\Vert \lambda \cdot x\Vert }_{(\alpha ,k)}& =& \underset{y\in T_k(x)}{\max }{\Vert \lambda \cdot y\Vert }_{\alpha }\\ & =& |\lambda |\cdot \underset{y\in T_k(x)}{\max }{\Vert y\Vert }_{\alpha }=|\lambda |\cdot {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\end{array}$

(2) Umgekehrte Beweisrichtung

Existiert nun zu jedem $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und eine isotone Folge von $𝒦$-Funktionalen ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit positiven Konstanten $D_k(\alpha )$ gibt, für die gilt:

• (R1) ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$ und
• (R2) ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$

(2.1) Umgekehrte Beweisrichtung - Einsetzen in Sequenz

Durch Einsetzung erhält man $z\in 𝒯𝒢𝒫(A)$ durch folgende Ungleichungskette:

${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le \Vert z\cdot x{\Vert }_{(\alpha ,1)}\le \dots \le {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_k(\alpha ){\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }$

(2.2) Stetigkeit der Multiplkation

Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man die Potenz auch noch weiter nach ober abschätzen, denn es gilt:

${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert z^k\cdot x\Vert }_{\beta }\le D_k(\alpha )\cdot \Vert z^k{\Vert }_{\gamma }\cdot \Vert x{\Vert }_{\gamma }$

Damit folgt insgesamt folgt die Behauptung. $◻$

PC-Regularitätslemma

Sei $z\in A$ ${𝒫𝒞}_e^k$-regulär in $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒫𝒞}_e^k$, dann gibt es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und eine isotone Folge von Quasihalbnormen ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit der Stetigkeitskonstante der Addition $K_{\alpha }\ge 1$ und positive Konstanten $D_{(\alpha ,k)}$ gibt, für die gilt:

• (PC1) ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_{(\alpha ,k)}\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$ und
• (PC2) ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Beweis

Das Element $z\in A$ sei ein ${𝒫𝒞}_e^k$-reguläres Element in Algebra $A$ und in einer Algebraerweiterung $(B,{\Vert |\cdot |\Vert }_{\widetilde{𝒜}})\in {𝒫𝒞}_e^k$ von $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒫𝒞}_e^k$ invertiertbar.

Beweis 1 - Inverses Element in B

Da $z\in A$ in $B$ invertierbar ist, sei $b\in B$ das eindeutig bestimmte Inverse zu $z$. Ferner sei $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ der Algebraisomorphismus, der $A$ in $B$ einbettet.

Beweis 2 - Homöomorphie des Algebraisomorphismus

Die Homöomorphie des Algebraisomorphismus $\tau :A\to A^{\prime }$ liefert

• zu jedem $\alpha \in 𝒜$ eine $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ mit $\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le C_{\alpha }\cdot {\Vert |\tau (x)|\Vert }_{\tilde{\alpha }}$
• zu jedem $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation ein $\tilde{\beta }\in \widetilde{𝒜}$ mit ${\Vert |v\cdot w|\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le {\Vert \left|v\right|\Vert }_{\tilde{\beta }}\cdot {\Vert \left|w\right|\Vert }_{\tilde{\beta }}$ für alle $v,w\in B$ und
• zu jedem $\tilde{\beta }\in \widetilde{𝒜}$ gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation ein $\tilde{\gamma }\in \widetilde{𝒜}$ mit ${\Vert |v\cdot w|\Vert }_{\tilde{\beta }}\le {\Vert \left|v\right|\Vert }_{\tilde{\gamma }}\cdot {\Vert \left|w\right|\Vert }_{\tilde{\gamma }}$ für alle $v,w\in B$ und
• zu jedem $\tilde{\gamma }\in \widetilde{𝒜}$ gibt es ein $\beta \in 𝒜$ mit ${\Vert |\tau (x)|\Vert }_{\tilde{\beta }}\le C_{\tilde{\gamma }}\cdot \Vert x{\Vert }_{\beta }$.

Beweis 3 - Definition der Quasihalbnormen

Zunächst werden Quasihalbnormen auf $B$ wie folgt definiert mit $D_k(\alpha ):={\max }_{i=0}^k{\Vert |\tau (z^i)|\Vert }_{\tilde{\beta }}$:

${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}:=C_{\alpha }\cdot D_k(\alpha )\cdot {\Vert |b^k\cdot \tau (x)|\Vert }_{\tilde{\beta }}\text{ mit }b=z^{-1}\in B$

Dabei ist ${(D_k(\alpha ))}_{k\in {\mathbb{N}}_o}$ eine monoton wachsende Folge, wegen

$D_k(\alpha )={\max }_{i=0}^k{\Vert |\tau (z^i)|\Vert }_{\tilde{\beta }}\le {\max }_{i=0}^{k+1}{\Vert |\tau (z^i)|\Vert }_{\tilde{\beta }}=D_{k+1}(\alpha )$.

Beweis 4 - Abschätzung mit den Ungleichungen

Die Ungleichungskette ergibt sich durch die obigen Eigenschaften und $\tau (z^k)=\tau (z{)}^k$:

$\begin{array}{ccc}\Vert x{\Vert }_{\alpha }& \le & C_{\alpha }\cdot {\Vert |\tau (x)|\Vert }_{\tilde{\alpha }}=C_{\alpha }\cdot \Vert |\underset{=e_B}{\underbrace{\tau (z^k)\cdot b^k}}\cdot \tau (x)|{\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ & \le & C_{\alpha }\cdot \underset{\le D_k(\alpha )}{\underbrace{\Vert |\tau (z^k)|{\Vert }_{\tilde{\beta }}}}\cdot \Vert |b^k\cdot \tau (x)|{\Vert }_{\tilde{\beta }}\\ & \le & C_{\alpha }\cdot D_k(\alpha )\cdot \Vert |b^k\cdot \tau (x)|{\Vert }_{\tilde{\beta }}={\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\\ & \le & C_{\alpha }\cdot D_k(\alpha )\cdot \Vert \left|b^k\right|{\Vert }_{\tilde{\gamma }}\cdot \Vert |\tau (x)|{\Vert }_{\tilde{\gamma }}\\ & \le & C_{\alpha }\cdot D_k(\alpha )\cdot \Vert \left|b^k\right|{\Vert }_{\tilde{\gamma }}\cdot C_{\tilde{\gamma }}\cdot \Vert x{\Vert }_{\beta }\end{array}$

Beweis 5 - Definition der Konstanten

Mit $D_k(\alpha ):=C_{\alpha }\cdot \underset{i\in \{0,...,k\}}{\max }(\Vert |\tau (z^i)\left|{\Vert }_{\tilde{\beta }}\right)\cdot \Vert \left|b^k\right|{\Vert }_{\tilde{\gamma }}\cdot C_{\tilde{\gamma }}$ erhält man die Ungleichung:

$\Vert x{\Vert }_{\alpha }\le \Vert x{\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_k(\alpha )\cdot \Vert x{\Vert }_{\beta }$

Beweis 6 - Abschätzung bezüglich z

Mit $b=z^{-1}\in B$ erhält man ferner:

$\begin{array}{ccc}{\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}& =& C_{\alpha }\cdot {\Vert |\tau (z^{k+1})|\Vert }_{\tilde{\beta }}\cdot {\Vert |b^{k+1}\cdot \tau (z\cdot x)|\Vert }_{\tilde{\beta }}\\ & =& C_{\alpha }\cdot {\Vert |\tau (z^{k+1})|\Vert }_{\tilde{\beta }}\cdot \Vert |\underset{=b^k}{\underbrace{b^{k+1}\cdot \tau (z)}}\cdot \tau (x)|{\Vert }_{\tilde{\beta }}\\ & =& C_{\alpha }\cdot {\Vert |\tau (z^{k+1})|\Vert }_{\tilde{\beta }}\cdot {\Vert |b^k\cdot \tau (x)|\Vert }_{\tilde{\beta }}\end{array}$

Beweis 7- Stetigkeit und Homöomorphie

Wahl der Konstanten $D_k(\alpha )>0$ für die Ungleichungen aus dem $𝒫𝒞$-Regularitätslemma erfolgt nun insgesamt über die Stetigkeit des Algebraisomorphismus $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ und von ${\tau }^{-1}:A^{\prime }\to A$ und der Verwendung der Ungleichung für die Stetigkeit der Multiplikation auf $B$.

Bemerkung TGP-Kriterium

In einer Beweisrichtung des TGP-Kriteriums kann man entnehmen, dass ein Sequenz von Gaugefunktionalen existiert, die man zwischen den gegeben Quasihalbnormen einschachteln kann. Damit ist noch nicht gesagt, dass diese Gaugefunktionale auch Quasihalbnormen sind.

Bemerkung

Da die lokalkonvexen Räume ein Spezialfall der pseudokonvexen Räume ist, ergibt sich als Korrollar unmittelbar das LC-Regularitätslemma.

LC-Regularitätslemma

Sei $z\in A$ ein ${𝒫𝒞}_e^k$-regulär in $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒫𝒞}_e^k$, wenn es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und eine isotone Folge von Halbnormen ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ mit positiven Konstanten $D_{(\alpha ,k)}$ gibt, für die gilt:

• (LC1)${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_{(\alpha ,k)}\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$ und
• (LC2) ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Siehe auch

• LC-Regularität
• PC-Regularität
• T-Regularität
• Topologisch kleine Potenzen
• T-Regularitätskriterium

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