Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätkriterium

T-Regularitätskriterium

Ein Element $z\in A$ besitzt genau ${𝒯}_e^k$-regulär in $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒫𝒞}_e^k$, wenn es für alle $\alpha \in 𝒜$ ein $\beta \in 𝒜$ und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ als Stetigkeitssequenz der Addition und positive Konstanten $D_{(\alpha ,k)}$ gibt, für die gilt:

• (T1) ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_{(\alpha ,k)}\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$ und
• (T2) ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Stetigkeitssequenz der Addition

Die Stetigkeitssequenz der Addition ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ erfüllt die Bedingung.

${\Vert x+y\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k+1)}+{\Vert y\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$

Damit kann man für die Regularitätsbeweise folgenden Abschätzung für Differenzen durchführen:

${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert x-y\Vert }_{(\alpha ,k+1)}+{\Vert y\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$

Angewendet auf das obige Regulariätskriterium erhält man:

${\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,k)}-{\Vert y\Vert }_{(\alpha ,k+1)}\le {\Vert z\cdot x-y\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$

Aufgabe für Studierende

Betrachten Sie bei der $𝒫𝒞$-Regulariät die Abschätzung der Quotientenhalbnormen nach unten.

• Welche Analogie und Unterschiede gibt es zwischen der Abschätzung bei Quasihalbnormen und Stetigkeitskonstanten der Addition und einer Stetigkeitssequenz der Addition bei beliebigen topologischen Algebren.

Siehe auch

• Topologische Algebra
• Stetigkeitssequenz

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