Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität

Einführung

Die folgende Aussage liefert einerseits die Negation der $𝒯𝒦𝒫$-Eigenschaft und andererseits sogar eine Charakterisierung der ${ℒ𝒞}^k$-Regularität in kommutativen lokalkonvexe Algebren und der ${𝒫𝒞}^k$-Regularität in kommutativen pseudokonvexe Algebren. Der Beweis des Satzes erfolgt analog zum Satz, der die TKP-Eigenschaft über Gaugefunktionale charakterisiert.

Stetigkeitssequenzen

Der Beweise des folgenden Satzes verwendet Stetigkeitssequenzen bei K-Regularität verwendet die Algebraerweiterung und $𝒦$-Regulärität dazu, die topologischen Eigenschaften von einem $𝒦$-regulären Element $z\in {𝒢}_{𝒦}(A)$ in $A$ selbt darüber abzuleiten.

Satz: Stetigkeitssequenzen K-Regularität

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in {𝒦}_e$ und $z\in {𝒢}_{𝒦}(A)$, dann gibt es für alle $\alpha \in 𝒜$, ein $\beta \in 𝒜$, eine Folge ${\left({\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,k)}\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ von Gaugefunktionalen mit Konstanten $D_k(\alpha )>0$ mit ${\Vert \cdot \Vert }_{(\alpha ,0)}:={\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$, für die folgende Bedingungen gelten:

• (U1) ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$,
• (U2) ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert zx\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Beweis

Seien $z\in {𝒢}_{𝒯}(A)$, $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}),(B,{\Vert |\cdot |\Vert }_{\widetilde{𝒜}})\in {𝒯}_e(𝕂)$, $B$ eine $𝒯$-Erweiterung von $A$ und $b\in B$ sei das Inverse zu $z$. Ohne Einschränkung sind die obigen Gaugefunktionalsysteme unital positiv.

Beweis 1: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem

Man betrachtet das auf der Algebraerweiterung $B$ definierte Gaugefunktionalsystem ${\Vert |\cdot |\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und induziert damit ein Gaugefunktionalsystem ${\Vert |\cdot |\Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ auf $A$, das zu dem gegebenen Gaugefunktionalsystem ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ äquivalent ist.

Beweis 2: Definition äquivalentes Gaugefunktionalsystem

Das von $B$ auf $A$ induzierte Gaugefunktionalsystem ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ wird mit dem Algebraisomorphismus $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ definiert (siehe Algebraerweiterung) d.h.

$$\begin{array}{cccc}{\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}:& A& ⟶& 𝕂,\\ & x& ⟼& {\Vert |\tau (x)|\Vert }_{\tilde{\alpha }}\text{ mit }\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}\end{array}$$

Beweis 3: Homöomorphie - Äquivalenz Gaugefunktionalsystem

Da $\tau :A\to A^{\prime }\subset B$ ein Algebraisomorphismus ist und $A^{\prime }$ homöomorph zu $A$ ist, liefert die Stetigkeit von $\tau$ und ${\tau }^{-1}$ die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}}$ und ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$.

Beweis 4 - Stetigkeit der Multiplikation

Für alle $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ gibt es ein $\tilde{\gamma }\in \widetilde{𝒜}$, sodass für alle $x\in A$ gilt

$${\left|\Vert x\cdot y\Vert \right|}_{\tilde{\alpha }}\le {\left|\Vert x\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}\cdot {\left|\Vert y\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}$$

Für alle $\tilde{\gamma }\in \widetilde{𝒜}$ gibt es ein $\tilde{\beta }\in \widetilde{𝒜}$, sodass für alle $x\in A$ gilt

$${\left|\Vert x\cdot y\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}\le {\left|\Vert x\Vert \right|}_{\tilde{\beta }}\cdot {\left|\Vert y\Vert \right|}_{\tilde{\beta }}$$

Beweis 5 - Definition von Stetigkeitssequenzen

Nun sei $b\in B$ das multiplikativ inverse Element zu $z\in A$ dann definiert man damit folgendes System ${\Vert \cdot \Vert }_{\widetilde{𝒜}\times {\mathbb{N}}_0}$ mit den $𝒦$-Gaugefunktionalen mit $\tilde{\beta }\in \widetilde{𝒜}$.

$$\begin{array}{ccc}{\Vert \cdot \Vert }_{(\tilde{\alpha },n)}:A& ⟶& 𝕂,\\ x& ⟼& \underset{k\in \{0,...,n\}}{\max }{\left|\Vert z^k\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}\cdot {\Vert |b^n\cdot x|\Vert }_{\tilde{\gamma }}\end{array}$$

Beweis 6 - Ungleichung U1 über Gaugefunktionale

Man erhält über die Stetigkeit der Multiplikation folgende Ungleichungen:

$\begin{array}{ccc}{\Vert x\Vert }_{\tilde{\alpha }}& =& {\left|\Vert x\Vert \right|}_{\tilde{\alpha }}={\left|\Vert z^n\cdot b^n\cdot x\Vert \right|}_{\tilde{\alpha }}\\ & \le & {\left|\Vert z^n\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}\cdot {\left|\Vert b^n\cdot x\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}\\ & \le & {\left|\Vert z^n\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}\cdot {\Vert x\Vert }_{(\tilde{\alpha },n)}\\ & \le & \underset{k\in \{0,...,n\}}{\max }{\left|\Vert z^k\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}\cdot {\Vert x\Vert }_{(\tilde{\alpha },n)}={\Vert x\Vert }_{(\tilde{\alpha },n)}\\ & \le & \underset{=:D_n(\tilde{\alpha })}{\underbrace{{\left|\Vert b^n\Vert \right|}_{\tilde{\beta }}}}\cdot {\left|\Vert x\Vert \right|}_{\tilde{\beta }}=D_n(\tilde{\alpha })\cdot {\Vert x\Vert }_{\tilde{\beta }}\end{array}$

Beweis 7 - Unitale Positivität

Unter Verwendung der Unitalen Positivität der verwendeten Gaugfunktionalsysteme erhält man insbesondere:

$$\begin{array}{ccc}0& <& {\Vert e_A\Vert }_{\tilde{\alpha }}={\Vert z^n\cdot e_A\Vert }_{(\tilde{\alpha },n)}={\Vert z^n\Vert }_{(\tilde{\alpha },n)}\\ 0& <& {\Vert e_A\Vert }_{\tilde{\alpha }}\le \underset{D_n(\tilde{\alpha })=}{\underbrace{{\left|\Vert b^n\Vert \right|}_{\tilde{\beta }}}}\cdot {\left|\Vert e_A\Vert \right|}_{\tilde{\beta }}=\underset{>0}{\underbrace{D_n(\tilde{\alpha })}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{{\Vert e_A\Vert }_{\tilde{\beta }}}}\end{array}$$

Beweis 8 - Ungleichung U2 über Gaugefunktionale

Für diese $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ gibt es eine Konstante $D_k(\tilde{\alpha })>0$ und ein $\tilde{\beta }\in \widetilde{𝒜}$

$\begin{array}{ccc}{\Vert x\Vert }_{(\tilde{\alpha },n)}& =& \underset{k\in \{0,...,n\}}{\max }{\left|\Vert z^k\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}\cdot {\Vert |b^n\cdot x|\Vert }_{\tilde{\gamma }}\\ & =& \underset{k\in \{0,...,n\}}{\max }{\left|\Vert z^k\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}\cdot {\Vert |b^{n+1}\cdot z\cdot x|\Vert }_{\tilde{\gamma }}\\ & \le & \underset{k\in \{0,...,n+1\}}{\max }{\left|\Vert z^k\Vert \right|}_{\tilde{\gamma }}\cdot {\Vert |b^{n+1}\cdot z\cdot x|\Vert }_{\tilde{\gamma }}\\ & =& {\Vert z\cdot x\Vert }_{(\tilde{\alpha },n+1)}\end{array}$

Beweis 9 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme

Insgesamt gilt die folgende Abschätzung durch die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme auch für das gegebene Gaugefunktionalsystem ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$, denn für alle $\alpha \in 𝒜$ gibt es eine Konstante $C_1>0$ und eine $\tilde{\alpha }\in \widetilde{𝒜}$ mit

${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }\le C_1\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}$

Beweis 10 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme

Dann gibt es wieder mit der Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme $\tilde{\beta }\in \widetilde{𝒜}$ gibt es ein $\beta \in 𝒜$ eine Konstante $C_2>0$ mit

${\Vert \cdot \Vert }_{\tilde{\alpha }}\le C_2\cdot {\Vert \cdot \Vert }_{\beta }$

Beweis 11 - Ungleichung U1 mit Äquivalenz

Insgesamt erhält man für alle $\alpha \in 𝒜$ gibt es ein $\beta \in 𝒜$ und Konstanten $D_k(\alpha )>0$, sodass für alle $x\in A$:

$\begin{array}{ccc}{\Vert x\Vert }_{\alpha }& \le & C_1\cdot {\Vert x\Vert }_{\tilde{\alpha }}\\ & \le & \underset{=:{\Vert x\Vert }_{(\alpha ,n)}}{\underbrace{C_1\cdot {\Vert x\Vert }_{(\tilde{\alpha },n)}}}={\Vert x\Vert }_{(\alpha ,n)}\\ & \le & D_k(\tilde{\alpha })\cdot {\Vert x\Vert }_{\tilde{\beta }}\\ & \le & \underset{D_k(\alpha ):=}{\underbrace{D_k(\tilde{\alpha })\cdot C_2}}\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }=D_k(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }\end{array}$

Beweis 12 - Ungleichung U2 mit Äquivalenz

Insgesamt erhält man für alle $\alpha \in 𝒜$ gibt es ein $\beta \in 𝒜$ und Konstanten $D_k(\alpha )>0$ die analoge Ungleichung für das Gaugefunktionalsystem ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ für alle $x\in A$:

$\begin{array}{ccc}{\Vert x\Vert }_{(\alpha ,n)}& =& C_1\cdot {\Vert x\Vert }_{(\tilde{\alpha },n)}\\ & \le & \underset{{\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,n+1)}}{\underbrace{C_1\cdot {\Vert z\cdot x\Vert }_{(\tilde{\alpha },n+1)}}}={\Vert z\cdot x\Vert }_{(\alpha ,n+1)}\end{array}$

Beweis 13

Insgesamt gelten nun die beiden Ungleichungen:

• (U1) ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\le {\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le D_k(\alpha )\cdot {\Vert x\Vert }_{\beta }$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$,
• (U2) ${\Vert x\Vert }_{(\alpha ,k)}\le {\Vert zx\Vert }_{(\alpha ,k+1)}$ für alle $x\in A$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$.

Damit folgt die Behauptung. $◻$

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• Satz - TKP und Gaugefunktionale - (Foliensatz)
• Satz - KP-TNT-Summen - (Foliensatz)

Siehe auch

• Algebraerweiterung
• Topologisch kleine Potenzen
• Topologische Nullteiler
• Kleine Potenzen
• LC-Regularität
• PC-Regularität

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