Kurs:Stochastik/Varianz

Varianz

Der Erwartungswert $E(X)$ dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung $P_X$ von $X$. Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung $P_X$.

Definition - Varianz, Standardabweichung

Ist $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ Zufallsvariable auf $(\mathrm{\Omega },𝒮,P)$ und ist $E(X^2)<\mathrm{\infty }$, so heißt $Var(X)=E(X-E(X){)}^2=E((X-E(X){)}^2)$ Varianz von $X$, und $\sigma (X)=\sqrt{Var(X)}$ Standardabweichung von $X$. Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i).

Satz

i) Falls $E(X^2)<\mathrm{\infty }$, so auch $E(X)<\mathrm{\infty },E(X-a{)}^2<\mathrm{\infty }$, für alle $a\in ℝ$.

ii) Es gilt $E(X^2)=0$ und $Var(X)=0$ genau dann, wenn $X=0$ und $X=const.$, $P$ fast überall.

Beweis

i) Wegen $|x|<1+x^2$ gilt

$\sum _X|x|P_X(\{x\})\le 1+\sum _X{x}^2{P}_X(\{x\})<\mathrm{\infty }.$

Wegen $(X-a{)}^2\le 2x^2+2a^2$ gilt

$\sum _X(X-a{)}^2{P}_X(\{x\})\le 2\sum _X{x}^2{P}_X(\{x\})+2a^2<\mathrm{\infty }.$

ii) Die Darstellung $E(X^2)=\sum _w{X}^2(w)p_w=0$, bzw. Formel 2 zur Varianz.

Aufgaben

• Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen!
• Betrachten Sie die Cauchy-Verteilung und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert.

Formeln zur Varianz von X

• $Var(X)=\sum _{x\in X(\mathrm{\Omega })}((x-E(X){)}^2)P_x(\{x\})$
• $Var(X)=\sum _{w\in \mathrm{\Omega }}((X(w)-E(X){)}^2)p_w$
• $Var(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$

denn: $Var(X)=E(X^2-2X\cdot E(X)+E(X^2))=E(X^2)-(E(X){)}^2$

(allgemein: $E(X-a{)}^2=Var(X)+(E(X)-a{)}^2,a=0$ liefert die untere Gleichung.)

$Var(aX+b)=a^{2}Var(X)$ für $a,b\in P,\sigma (aX+b)=(a(\sigma (X)))$

Bemerkung

1. Denkt man sich $P_X\{X\}$ als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht $E(X)$ dem Schwerpunkt und $Var(X)$ dem Trägheitsmoment.

2. Ist $X$ eine Zufallsvariable mit $E(X^2)<\mathrm{\infty }$, so gilt für die sogenannte Standardisierte von $X$, d.i. $X^{*}=\frac{X-E(X)}{\sigma (X)}$, $E(X^{*})=0,Var(X^{*})=1=\sigma (X^{*})$.

Beispiel

$X:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}^{\prime }=\{1,...,n\},P_X$ Gleichverteilung auf ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$. Dann ist:

$E(X)=\frac{1}{2}(n+1)$

$E(X^2)=\frac{1}{4}\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{6}(n+1)(2n+1)$

$Var(X)\frac{1}{6}(n+1)(2n+1)-\frac{1}{4}n(+1{)}^2=\frac{1}{12}(n^2-1)$

Siehe auch

• Kurs:Stochastik
• Momente
• Kovarianz

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