Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Vektoren

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Definiton

Dreidimensionale Punkte im Raum werden durch $x$-, $y$- und $z$-Koordinaten in der Form $P(x|y|z)$ angegeben. Stattdessen kann auch der verbindende Pfeil zum Ursprung

$\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

betrachtet werden. Dieser kann unter beibehalt von Länge und Richtung verschoben werden. Er wird als Vektor bezeichnet. In der Physik wird der Verbindungsvektor zwischen Ursprung und Punkt $P$ als Ortsvektor mit $\overrightarrow{r}$ bezeichnet.

Ein Vektor besitzt

• Eine Länge, die auch als Betrag bezeichnet wird. $|\overrightarrow{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
  
• Eine Richtung, die durch einen Einheitsvektor (einen Vektor der Länge Eins) angegeben wird. ${\hat{e}}_r=\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}$, $|{\hat{e}}_r|=1$

Grundlegende Operationen

Vektoren lassen sich komponentenweise addieren und subtrahieren

$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)\pm \left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_x\pm b_x\\ a_y\pm b_y\\ a_z\pm b_z\end{array}\right)$

Geometrisch entspricht die Addition einer Aneinanderreihung der Vektoren. Die Differenz gibt an, welcher Vektor von der Spitze von $\overrightarrow{b}$ zu der Spitze von $\overrightarrow{a}$ führt.

Ein Vektor lässt sich komponentenweise mit einer reellen Zahl $\lambda \in ℝ$ multiplizieren

$\lambda \cdot \overrightarrow{p}=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda \cdot x\\ \lambda \cdot y\\ \lambda \cdot z\end{array}\right)|\lambda \cdot \overrightarrow{p}|=|\lambda |\cdot |\overrightarrow{p}|$

Geometrisch handelt es sich um eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung am Ursprung abhängig vom Wert von $\lambda$.

Skalarprodukt

Der Winkel $\varphi$ zwischen zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ lässt sich durch das Skalarpodukt

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos (\varphi )$

bestimmen. Damit kann auch der Betrag durch

$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}=|\overrightarrow{p}{|}^2\Rightarrow |\overrightarrow{p}|=\sqrt{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}}$

ausgedrückt werden.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprdoukt zweier Vektoren ist durch

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_y{b}_z-a_z{b}_y\\ a_z{b}_x-a_x{b}_z\\ a_x{b}_y-b_x{a}_y\end{array}\right)$

definiert. Es steht senkrecht auf den beiden Vektoren und sein Betrag gibt die Fläche des aufgespannten Parallelogramms an. Wird der Vektor $\overrightarrow{a}$ mit dem Daumen und der Vektor $\overrightarrow{b}$ mit dem Zeigefinger der rechten Hand identifiziert, dann zeigt $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ in Richtung des Mittelfingers. Dies ist die Rechte-Hand-Regel.

Das Kreuzprodukt erfüllt eine Hand voll Regeln.

• Antisymmetrie $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$
• Linearität $\overrightarrow{a}\times (\lambda \overrightarrow{b}+\mu \overrightarrow{c})=\lambda (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})+\mu (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c})$
• Jacobi-Identität $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})+\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=\overrightarrow{0}$
• BAC-CAB-Regel $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$

Siehe auch

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilkel Vektor gefunden werden.