Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Ableitungen

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Definiton

Die Ableitung einer stetigen Funktion $f(x)$ ist durch

$f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

definiert.

Beispiele

Liste einfacher Ableitungen

$f(x)$	$f^{\prime }(x)$
$c\in ℝ$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^n$	$n\cdot x^{n-1}$
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$

Regeln

Ableitungen gehorchen den folgenden Regeln

• Linearität $(a\cdot f(x)+b\cdot g(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x)+b\cdot g^{\prime }(x)$
• Produktregel $(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$
• Kettenregel $(f(g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$
• Quotientenregel $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

Taylor-Näherung

Eine Funktion $f(x)$ kann um den Punkt $x_0$ durch die Taylor-Näherung zur Ordnung $n$

$T_{x_0,n}(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$

angenähert werden. Dabei bezeichnet $f^{(k)}$ die $k$-te Ableitung.

Partielle Ableitungen

Es werden auch Funktionen auftreten, die von $x$, $y$ und $z$ abhängen, also bspw. $\varphi (x,y,z)$. Die Ableitung nur in die $x$-Richtung wird als partielle Ableitung bezeichnet und ist durch

${\partial }_x\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{\varphi (x+\mathrm{\Delta }x,y,z)-\varphi (x,y,z)}{\mathrm{\Delta }x}$

gegeben. Analog werden ${\partial }_y\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial y}$ und ${\partial }_z\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial z}$ definiert.

Die drei partiellen Ableitungen lassen sich in einen Vektor

$\mathrm{\nabla }\varphi =\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\varphi \\ {\partial }_y\varphi \\ {\partial }_z\varphi \end{array}\right)$

zusammenfassen, der als Gradient bezeichnet wird. Er zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs von $\varphi$

Da die Koordinaten $x$, $y$ und $z$ eines Objekts eine Funktion der Zeit sind, muss bei dem Bilden einer Ableitung nach der Zeit die Änderung der Koordinaten berücksichtigt werden. Dies geschieht durch die totale Ableitung, die durch

$\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}=\sum _{i=1}^3\frac{\partial \varphi }{\partial r_i}\frac{\mathrm{d}{r}_i}{\mathrm{d}t}=(\mathrm{\nabla }\varphi )\cdot \dot{\overrightarrow{r}}$

definiert ist.

Siehe auch

• Weiteres lässt sich im Wikipedia-Artikel Differenzierbarkeit einsehen.