Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Newton

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Bewegung von Massenpunkten

Körper werden vereinfacht als Punkte mit einer Masse $m$ beschrieben und deshalb als Massenpunkte oder Teilchen bezeichnet. Gesucht wird ihr Ortsvektor als Funktion der Zeit $\overrightarrow{r}(t)$.

Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Ortsvektors

$\overrightarrow{v}(t)=\dot{\overrightarrow{r}}(t)=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}$

Die Beschleunigung ist die zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors

$\overrightarrow{a}(t)=\dot{\overrightarrow{v}}(t)=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=\ddot{\overrightarrow{r}}(t)=\frac{{\mathrm{d}}^2\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}{t}^2}$

Newton'sche Gesetze

1. Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. (Gilt nur in Inertialsystemen)
2. Die Änderung des Impulses (Der Impuls ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$) ist die Summe aller Kräfte

   $\dot{\overrightarrow{p}}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i$.

3. Jede Kraft von Körper A auf Körper B erzeugt eine im Betrag gleich große, entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A

   ${\overrightarrow{F}}_{A\to B}=-{\overrightarrow{F}}_{B\to A}$

Erhaltungsgrößen

Eine Größe $Q$, die sich nicht mit der Zeit ändert heißt Erhaltungsgröße.

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=0$

Beispiele

• Der Drehimpuls $\overrightarrow{J}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$ ist in einem Zentralkraftfeld $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=f(\overrightarrow{r})\frac{\overrightarrow{r}}{r}$ erhalten.
• Die Energie $E=\frac{1}{2}m{\dot{\overrightarrow{r}}}^2+U(\overrightarrow{r})$ ist in einem konservativen Kraftfeld $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\mathrm{\nabla }U(\overrightarrow{r})$ erhalten. $U(\overrightarrow{r})$ ist die potentielle Energie.
• Die kinetische Energie $T=\frac{1}{2}m{\dot{\overrightarrow{r}}}^2=\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}$ ist bei einer Kraft senkrecht zur Geschwindigkeit $\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{F}=0$ erhalten. (Bspw. die Lorentz-Kraft)

Siehe auch

• Weiteres lässt sich in den Wikipedia-Artikeln Kinematik, Newton'sche Gesetze und Erhaltungssatz einsehen.