Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Kepler

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Das erste Kepler'sche Gesetz

Die Bahn eines jeden Planeten ist eine Ellipse, wobei die Sonne in einem der beiden Brennpunkte steht.

Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung wird durch

${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$

beschrieben. $a$ heißt große Halbachse und $b$ heißt kleine Halbachse. Sie hängen durch

$b=a\sqrt{1-e^2}$

über die numerische Exzentrizität $0\le e<1$ zusammen. Wird ein Brennpunkt in den Ursprung verschoben, so lässt sich die Ellipse in Polarkoordinaten

$x(r,\phi )=r\cos (\phi )y(r,\phi )=r\sin (\phi )$

durch den Zusammenhang

$r(\phi )=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos (\phi )}$

beschreiben. Unter dem Winkel $\phi =0$ wird der kleinste Abstand zum Brennpunkt eingenommen. Allgemein heißt dieser Punkt Periapsis. Für Planeten handelt es sich um den kleinsten Abstand zur Sonne und wird deshalb als Perihel bezeichnet. Die Kombination $a(1-e^2)$ wird gelegentlich mit $p$ abgekürzt.

Das zweite Kepler'sche Gesetz

Die Geschwindigkeit der Planeten auf ihrer Bahnellipse variiert so, dass ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl in gleichen Zeiten gleich große Flächen überstreicht.

Durch den Orts- $\overrightarrow{r}$ und Geschwindigkeitsvektor $\overrightarrow{v}$ lässt sich die Änderung des Flächenvektors $\overrightarrow{A}$ durch

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{A}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}$

ausdrücken. Bei seinem Betrag

$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}|=\frac{C}{2}$

handelt es sich um eine Konstante. Da die Fläche einer Ellipse durch $\pi ab$ gegeben ist, kann die Konstante auch durch

$C=\omega a^2\sqrt{1-e^2}$

mit $\omega =\frac{2\pi }{T}$ und der Umlaufszeit $T$ ausgedrückt werden.

Das dritte Kepler'sche Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich zueinander wie die Kuben der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen.

Formal lässt sich das durch

$\frac{a^3}{T^2}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}$

bzw.

$a^3{\omega }^2=K=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}$

ausdrücken. Je nach zentralen Objekt handelt es sich um eine andere Konstante. ($K$ für die Planeten ist ein anderes $K$ als das für die Jupitermonde)

Siehe auch

• Weiteres lässt sich im Wikipedia-Artikel Kepler'sche Gesetze einsehen.
• In der GeoGebra-Datei zur Venusbahn ist schematisch dargestellt, wie sich aus der relativen Position von Venus und Erde die große Halbachse der Venus abschätzen lässt.