Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - normierte Räume

Satz von Hahn-Banach - normierte Räume

Es seien nun

• $U\subseteq V$ ein Untervektorraum eines normierten Raumes $(V,\Vert \cdot \Vert )$ über dem Körper $𝕂$ mit $𝕂=ℝ$ oder $𝕂=ℂ$;
• $\Vert \cdot \Vert :V\to {ℝ}_o^{+}$ eine Norm;
• $f:U\to 𝕂$ ein stetiges lineares Funktional, mit $\Vert f{\Vert }_U:=\sup \{|f(u)|:u\in U\wedge \Vert u\Vert \le 1\}$.

Dann gibt es ein stetiges lineares Funktional $F:V\to 𝕂$, so dass

• $F{|}_U=f$ und.
• $\Vert F{\Vert }_V=\Vert f{\Vert }_U$ und $\Vert F{\Vert }_V:=\sup \{|F(v)|:v\in V\wedge \Vert v\Vert \le 1\}$.

Bemerkung

Im Gegensatz zu den beiden Sätzen von Hahn-Banach im reellwertigen bzw. komplexwertigen wird in dem Satz von Hahn-Banach für normierte Räume eine Aussage über stetige lineare Funktionale gemacht. Die Stetigkeit wird mit dem Ziel betrachtet, eine Aussage über den topologischen Dualraum $V^{\prime }$eines normierten Raumes $(V,\Vert \cdot \Vert )$ zu machen.

Unterscheidung topologischer und algebraischer Dualraum

• $V^{\prime }:=\{f:V\to 𝕂:f\text{ linear, stetig }\}$ topologischer Dualraum
• $V^{\ast }:=\{f:V\to 𝕂:f\text{ linear }\}$ algebraischer Dualraum

Über den Satz von Hahn-Banach für normierte Räume kann man im weiteren Verlauf zeigen, dass in einem topologischen Dualraum stetige lineare Funktionale existieren, also $V^{\prime }=\mathrm{\varnothing }$ gilt.

Stetigkeitssatz für lineare Abbildung

Im Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen werden äquivalente Charakterisierungen der Stetigkeit genannt. Eine dieser Eigenschaften ist:

• Es existiert ein $M>0$ mit $\Vert T(x){\Vert }_Y\le M$ für alle $x\in X$ mit $\Vert x{\Vert }_X\le 1$ bzw.
• Es existiert ein $M>0$ $\Vert T{\Vert }_{ℒ}:=\sup \{\Vert T(x){\Vert }_Y:x\in X\wedge \Vert x{\Vert }_X\le 1\}\le M$

D.h. die Stetigkeit der linearen Abbildung ist äquivalent zur Beschränktheit des Bildes von der Einheitskugel in $(X,\Vert \cdot \Vert )$.

Norm einer linearen Abbildung

Seien $(V,\Vert \cdot \Vert )$ und $(𝕂,|\cdot |)$ normierte Vektorräume über dem Körper $𝕂$ und $ℒ(V,𝕂):=\{f:V\to 𝕂\mid f\text{linear}\}$ die Menge der linearen Abbildung von $V$ nach $𝕂$. Sei $f:V\to 𝕂$ eine lineare Abbildung. Dann ist die Operatornorm

$\Vert \cdot {\Vert }_{ℒ}:ℒ(V,𝕂)\to {ℝ}_0^{+}\cup \{\mathrm{\infty }\}$

bezüglich der beiden Normen $\Vert \cdot {\Vert }_V$ und $|\cdot |$ durch

$\Vert f{\Vert }_{ℒ}:=\inf \{C\ge 0\mid \mathrm{\forall }v\in V:|f(v)|\le C\cdot \Vert v{\Vert }_V\}$

definiert. Für stetige lineare Abbildungen $f$ gilt $\Vert f{\Vert }_{ℒ}<\mathrm{\infty }$.

Aufgaben

• Zeigen Sie, dass $\Vert f{\Vert }_U:=\sup \{|f(u)|:u\in U\wedge \Vert u\Vert \le 1\}$ eine Halbnorm auf dem topologischen Dualraum ist!
• Geben Sie mit $V={ℝ}^3$ ein Beispiel für $U\subset V$ an, bei dem $\Vert f{\Vert }_U:=\sup \{|f(u)|:u\in U\wedge \Vert u\Vert \le 1\}$ keine Norm ist.

Beweisidee - Hahn-Banach - normierte Räume

Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte:

• Über die $\Vert f{\Vert }_U:=\sup \{|f(u)|:u\in U\wedge \Vert u\Vert \le 1\}$ wird eine Halbnorm $p:V\to {ℝ}_o^{+}$ auf $V$ definiert und gezeigt, dass das $f$ die Voraussetzung für die Anwendung des reellen bzw. komplexen Falls des Satzes von Hahn-Banach erfüllt.
• Im zweiten Teil des Beweises wird die Stetigkeit von $F$ mit $\Vert F(v){\Vert }_V=\Vert f(u){\Vert }_U$ gezeigt.

Beweisteil 1: Halbnormdefinition

Da $\Vert f{\Vert }_U:=\sup \{|f(u)|:u\in U\wedge \Vert u\Vert \le 1\}\in {ℝ}_o^{+}$ gilt und $\Vert \cdot \Vert :V\to {ℝ}_o^{+}$ eine Norm auf $V$ ist, ist

$p:V\to {ℝ}_o^{+}\text{ mit }p(x):=\Vert f{\Vert }_U\cdot \Vert x\Vert$

eine Halbnorm auf $V$ (für $\Vert f{\Vert }_U=0$ sogar eine Norm)

Beweisschritt 1.1: Stetigkeit

Mit der Linearität von $f$ und dem Betrag wird $(𝕂,|\cdot |)$ zu einem normierten Raum im Wertebereich der linearen Abbildung Norm $f:U\to 𝕂$. Das Kriterium (4) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen liefert dann:

$|f(u)|\le \Vert f{\Vert }_U\cdot \Vert u\Vert =p(u)\text{ für alle }u\in U$

Beweisschritt 1.2: Anwendung Hahn-Banach

Ferner gilt nach dem komplexen Fall von Hahn-Banach, dass eine lineares Funktional $F:V\to ℂ$, das folgenden beiden Eigenschaften:

• $F{|}_U=f$ und.
• $|F(v)|\le p(v)$ für alle $v\in V$

Beweisteil 2: Stetigkeit von F

Der reelle bzw. komplexen Fall von Hahn-Banach liefert zwar ein lineares Funktional $F$ auf $V$. Die Stetigkeit von $F$ ist aber noch durch die Beschränktheit der Operatornorm $\Vert F{\Vert }_V$ mit $\Vert F{\Vert }_V=\Vert f{\Vert }_U$ zu zeigen.

Beweisschritt 2.1: Abschätzung Operatornormen

Zunächst einmal gilt wegen $F{|}_U=f$ die Abschätzung

$\begin{array}{ccc}\Vert f{\Vert }_U& :=& \sup \{|f(u)|:u\in U\wedge \Vert u\Vert \le 1\}\\ & =& \sup \{|F{|}_U(u)|:u\in U\wedge \Vert u\Vert \le 1\}=\Vert F{|}_U{\Vert }_U\\ & \le & \sup \{|F(v)|:v\in V\wedge \Vert v\Vert \le 1\}=\Vert F{\Vert }_V\end{array}$

Beweisschritt 2.2: Abschätzung Operatornormen

Ferner gilt aber auch durch Hahn-Banach, dass:

$|F(v)|\le p(v)=\Vert f{\Vert }_U\cdot \Vert v\Vert \text{ für alle }v\in V$

Für $v=\mathrm{𝟘}$ und der linearität von $F$ damit auch:

$\left|F\left(\frac{v}{\Vert v\Vert }\right)\right|\le p\left(\frac{v}{\Vert v\Vert }\right)=\Vert f{\Vert }_U\text{ für alle }v\in V\setminus \{\mathrm{𝟘}\}$

Beweisschritt 2.3: Supremum

Man erhält durch Anwendung des Supremums auf die Ungleichung mit $|F(\lambda \cdot v)|\le |F(v)|\text{ für }\lambda \in [0,1]$:

$\begin{array}{ccc}\Vert F{\Vert }_V& =& \sup \{|F(v)|:v\in V\wedge \Vert v\Vert \le 1\}\\ & =& \sup \{|F(v)|:v\in V\wedge \Vert v\Vert =1\}\\ & =& \sup \{\left|F\left(\frac{v}{\Vert v\Vert }\right)\right|:v=\mathrm{𝟘}\}\\ & \le & \sup \{p\left(\frac{v}{\Vert v\Vert }\right):v=\mathrm{𝟘}\}\text{ wegen }\left|F\left(\frac{v}{\Vert v\Vert }\right)\right|\le p\left(\frac{v}{\Vert v\Vert }\right)\\ & =& \Vert f{\Vert }_U\end{array}$

Beweisschritt 2.4:

Insgesamt gilt mit 2.2 und 2.3 die Behauptung $\Vert f{\Vert }_U=\Vert F{\Vert }_V$ und da $\Vert F{\Vert }_V$ ebenfalls als Supremum beschränkt ist, ist $F:V\to 𝕂$ nicht nur linear, sondern auch stetig. q.e.d.

Siehe auch

• Normen, Metriken, Topologie
• Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen
• Satz von Hahn-Banach - reeller Fall
• Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall

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