Äquivalenz (Matrix)

Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der $m\times n$-Matrizen.

Definition: Äquivalenz von Matrizen

Zwei Matrizen $A$ und $B$ sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung

$f:{𝕂}^n\to {𝕂}^m$ gibt und es Basen $B_1,B_2$ von ${𝕂}^n$ und $C_1,C_2$ von ${𝕂}^m$ gibt, so dass

$A=M_{B_1}^{C_1}(f)$ und

$B=M_{B_2}^{C_2}(f)$ gilt,

d. h. $A$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_1$ von ${𝕂}^n$ und $C_1$ von ${𝕂}^m$, und $B$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_2$ von ${𝕂}^n$ und $C_2$ von ${𝕂}^m$.

Äquivalente Aussage

Zur Aussage „die $m\times n$-Matrizen $A$ und $B$ sind äquivalent über dem Körper $𝕂$“ ist folgende Aussage äquivalent:

• Es gibt eine invertierbare $m\times m$-Matrix $S\in GL(m,𝕂)$ und eine invertierbare $n\times n$-Matrix $T\in GL(m,𝕂)$ über $𝕂$, so dass $B=S\cdot A\cdot T$ gilt.

Aussagen über äquivalente Matrizen

• Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent.
• Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.

Äquivalente Matrizen und ähnliche Matrizen

Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.

Literatur

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4. Auflage. Vieweg, 1985, ISBN 3-528-37235-4. S. 101 und S. 163

Siehe auch

• Ähnlichkeit (Matrix)
• Diagonalisierung
• Trigonalisierung

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