Diagonalisierung

Diagonalmatrix

Als Diagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt.

Skalarmatrizen

Stimmen dabei sämtliche Zahlen auf der Hauptdiagonalen überein, spricht man auch von Skalarmatrizen.^[1] Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix

E_{n} = diag (1, 1, \dots, 1) : = (\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix})

.

Inversenbildung

Betrachtet man quadratische Matrizen und damit insbesondere Diagonalmatrixen als lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum, so lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen und die Eigenwerte der Abbildung können aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden.

Definition

Eine quadratische Matrix $D$ über einem Körper $K$ mit

D = (\begin{matrix} d_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{22} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & d_{n n} \end{matrix})

,

deren Elemente $d_{i j} \in K$ mit $i \neq j$ alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix.

Schreibweise Diagonalmatrix

Häufig schreibt man dafür

D = diag (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}) : = (\begin{matrix} d_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{2} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & d_{n} \end{matrix})

.

Beispiele

Zahlenbeispiel

Die $3 \times 3$ -Matrix

diag (1, 3, 5) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix})

ist eine Diagonalmatrix.

Besondere Diagonalmatrizen

Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert $1$ haben.
Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert $0$ haben.

Eigenschaften von Diagonalmatrizen

Unterring

Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen $n \times n$ -Matrizen, der nicht kommuntativ ist.

Determinante

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen:

\det (diag (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n})) = d_{1} \cdot d_{2} \dots d_{n} = \prod_{i = 1}^{n} d_{i}

Transponierte Matrix

Die Transponierte $D^{T}$ einer Diagonalmatrix ist ebenfalls wieder die Diagonalmatrix $D$ .

D^{T} = D

Matrizenaddition

diag (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) + diag (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})

= diag (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n})

Skalarmultiplikation

λ \cdot diag (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})

= diag (λ \cdot a_{1}, λ \cdot a_{2}, \dots, λ \cdot a_{n})

Matrizenmultiplikation

diag (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \cdot diag (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})

= diag (a_{1} \cdot b_{1}, a_{2} \cdot b_{2}, \dots, a_{n} \cdot b_{n})

Multiplikation einer Matrix $A$ von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von $A$ mit den Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von $A$ mit den Diagonaleinträgen.

Berechnung der Inversen

Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale $0$ ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:

diag {(d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n})}^{- 1}

= diag (d_{1}^{- 1}, d_{2}^{- 1}, \dots, d_{n}^{- 1})

Transposition

diag (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})^{⊤} = diag (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})

Symmetrie

Für jede Diagonalmatrix $D$ gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt: $D = D^{T}$ .^[2]

Definition: Diagonalisierbarkeit

Eine quadratische $n$ -dimensionale Matrix $A$ heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix $D_{A}$ gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, es existiert eine reguläre Matrix $S$ , so dass gilt $D_{A} = S^{- 1} A S$ , bzw. $S D_{A} = A S$ .

Äquivalente Definition

Äquivalent dazu: Eine $n$ -dimensionale Matrix $A$ mit Einträgen aus einem Körper $K$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Das Charakteristische Polynom $χ_{A} (λ)$ zerfällt vollständig in Linearfaktoren: $χ_{A} (t) = \pm (t - λ_{1}) \cdot \dots \cdot (t - λ_{n})$ mit $λ_{i} \in K$
Die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert $λ_{i}$ .

Lineare Abbildung

Für eine lineare Abbildung $f : V \to V$ (Vektorraum-Endomorphismus) bedeutet dies, dass eine Basis $B$ existiert, bei der die Darstellungsmatrix $M_{B}^{B} (f)$ eine Diagonalmatrix ist.

Eigenwerte

Seien $S$ und $D_{A}$ mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von $D_{A}$ , nämlich $λ_{i}$ , Eigenwerte von $D_{A}$ zu den Einheitsvektoren $e_{i}$ sind. Weiterhin ist $A S e_{i} = S D_{A} e_{i} = S λ_{i} e_{i} = λ_{i} S e_{i}$ . Die $S e_{i}$ sind also auch Eigenvektoren von $A$ , und zwar jeweils zum Eigenwert $λ_{i}$ .

Da $S$ invertierbar sein soll, ist $(S e_{1}, \dots, S e_{n})$ zudem linear unabhängig.

Zusammenfassung

Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass die Matrix $A$ $n$ linear unabhängige Eigenvektoren

$b_{1}, b_{2}, \dots b_{n} \in V$ zu den Eigenwerte $λ_{1}, λ_{2}, \dots λ_{n}$ hat,

der Raum $V$ , auf dem sie operiert, also eine Basis aus Eigenvektoren von $A$ besitzt.
Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus $n$ gefundenen Eigenvektoren von $A$ mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete $D_{A}$ und $S$ ganz direkt konstruieren.

Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.

Diagonalisierung

Ist eine Matrix $A$ diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix $D_{A}$ , für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

D_{A} = S^{- 1} A S

Berechnung Diagonalmatrix

Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix $D_{A}$ und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:

Schritt 1 - Eigenwerte bestimmen

Es werden die Eigenwerte $λ_{i}$ der Matrix $A$ bestimmt.

Schritt 2 - Eigenräume bestimmen

Es werden die Eigenräume $E (λ_{i})$ zu allen Eigenwerten $λ_{i}$ berechnet, also folgendes Gleichungssystem gelöst:

(A - λ_{i} E_{n}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = 0_{V} \in V

.

Schritt 3 - Diagonalform und Basis

Nun ist die Diagonalform $D_{A}$ der Matrix $A$ bezüglich der Basis $B$ :

$D_{A} = diag (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n})$
$S = {v (λ_{1}), \dots, v (λ_{n})}$ mit $v (λ) \in V$ als Eigenvektor zum Eigenwert $λ \in 𝕂$

Simultane Diagonalisierung

Gelegentlich will man auch zwei Matrizen $A, B$ mit derselben Transformation $S$ diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt

S^{- 1} A S = D_{1}

und

S^{- 1} B S = D_{2}

und da

D_{1}

und

D_{2}

Diagonalmatrizen sind,

D_{1} \cdot D_{2} = D_{2} \cdot D_{1} : \Rightarrow B \cdot A = S D_{2} S^{- 1} \cdot S D_{1} S^{- 1} = S D_{1} D_{2} S^{- 1} = A \cdot B

.

Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren.

Umkehrung: Simultane Diagonalisierung

In der Tat gilt auch die Umkehrung: Kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.

Banachalgebren

Der Matrizenraum ist als Vektorraum und einer Norm nicht nur ein vollständiger normierter Vektorraum, sondern mit der Matrixmultiplikation auch eine Banachalgebra über $ℝ$ bzw. $ℂ$ . Das Konzept der Eigenwerte wird mit der Definition eines Spektrum von Elementen aus dem Grundraum auf Banachalgebren verallgemeinert.

Aufgabe

Betrachten Sie die folgenden Normen $‖ \cdot ‖_{k}$ Banachalgebra der quadratischen $n \times n$ -Matrizen mit der Matrixmultiplikation:

‖ A ‖_{1} : = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{(i, j)}^{2}}

‖ A ‖_{2} : = \max_{i, j \in {1, \dots, n}} | a_{(i, j)} |

‖ A ‖_{3} : = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{(i, j)} |

mit $A : = {(a_{(i, j)})}_{i, j \in {1, \dots, n}}$ .

Welche dieser Normen ist submultiplikativ d.h. $‖ A \cdot B ‖_{k} \leq ‖ A ‖_{k} \cdot ‖ B ‖_{k}$ für alle $n \times n$ -Matrizen $A, B$ ?
Falls die Norm nicht submultiplativ ist, ersetzen Sie die Norm durch eine äquivalente Norm die submultiplikativ ist.

Siehe auch

Übung:Diagonalisierung
Äquivalenz (Matrix)
Ähnlichkeit (Matrix)
Antidiagonalmatrix
Blockdiagonalmatrix
Trigonalisierung
Matrix (Ähnlichkeit)
Banachalgebra - vollständig normierte Räume mit einer Multiplation auf dem Vektorraum.
Spektrum eine Elementes
Spektralsatz

Wiki2Reveal

Diagonalisierung (Lineare Algebra) - (Foliensatz)

Weblinks

Diagonalisieren einer Matrix (Beispiel)

Einzelnachweise

↑ Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990.
↑ Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, S. 363.

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[1] Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990.

[2] Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, S. 363.

[1]

[2]

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Skalarmatrizen

Inversenbildung

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Schreibweise Diagonalmatrix

Beispiele

Zahlenbeispiel

Besondere Diagonalmatrizen

Eigenschaften von Diagonalmatrizen

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Transponierte Matrix

Matrizenaddition

Skalarmultiplikation

Matrizenmultiplikation

Berechnung der Inversen

Transposition

Symmetrie

Definition: Diagonalisierbarkeit

Äquivalente Definition

Lineare Abbildung

Eigenwerte

Zusammenfassung

Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix

Diagonalisierung

Berechnung Diagonalmatrix

Schritt 1 - Eigenwerte bestimmen

Schritt 2 - Eigenräume bestimmen

Schritt 3 - Diagonalform und Basis

Simultane Diagonalisierung

Umkehrung: Simultane Diagonalisierung

Banachalgebren

Aufgabe

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