Übung:Diagonalisierung

Ziel

Durch Anwendung von Computeralgebrasystemen sollen die formal definierten Verfahren experimentell untersucht werden.

Aufgabe 1

Gegeben ist eine darstellende Matrix $A\in Mat(3\times 3,ℝ)$ für eine lineare Abbildung $f_A:{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$ mit $f_A(x):=A\cdot x$ für $x\in {ℝ}^3$ bezüglich der kanonischen Basis

$B_1=(e_1,e_2,e_3)=(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)).$ 

Ferner lässt sich die Abbildung diagonalisieren bzgl. der Basis

$B_2=(b_1,b_2,b_3)=(\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right))$ 

Die darstellende Matrix der Abbildung $f_A$ in der Basis $B_2$ ist die folgende Diagonalmatrix.

$D_A=\mathrm{diag}(1,3,-5)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& -5\end{array}\right)$

Mit $D_A=S^{-1}AS$

• Geben Sie die darstellende Matrix $S^{-1}=M_{B_2}^{B_1}$ für den Basiswechsel von $B_2$ nach $B_1$ an.
• Berechnen die darstellende Matrix $S=M_{B_1}^{B_2}$ für den Basiswechsel von $B_1$ nach $B_2$ mit einem Computeralgebrasystem (z.B. wxMaxima).
• Berechnen Sie die $A$!
• Gehen Sie umgekehrt vor und starten Sie bei der Matrix $A$ und berechnen Sie die Eigenwerte und die Basiswechselmatrizen. Was fällt Ihnen zu der vorgegebenen Basis auf $B_2$. Geben Sie alternative Basen an, bzgl.$D_A$ an.

Aufgabe 2: Wechselkoordinatensystem

In der folgenden Abbildung sehen Sie einen Vektor $vin{ℝ}^2$ blau markiert, der im kanonischen Koordinatensystem mit den Basisvektoren $B_1=(e_1,e_2)=(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))$ die Koordinaten $\left(\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\right)$ besitzt.

Wechsel des Koordinatensystems von einem kanonischen Koordinatensystem in ein weiteres Koordinatensystem mit den Basis $b_1,b2$

In dem neuen Koordinatensystem $B_2=(b_1,b_2)=(\left(\begin{array}{c}1,35\\ 0,17\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0,47\\ 0,73\end{array}\right)).$ besitzt der Vektor $v\in {ℝ}^2$ näherungsweise die Koordinaten ${\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)}_{B_2}.$. Berechnen Sie die Koordinaten $M_{B_1}^{B_2}\cdot {\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)}_{B_1}={\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)}_{B_2}$ exakt mit den obigen Basisvektoren $b_1,b_2$ unter Angabe der Koordinatentransformationsmatirx $M_{B_1}^{B_2}$.

Siehe auch

• Diagonalisierung
• Trigonalisierung