Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Einflüsse anderer Planeten

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Formulierung des Problems

Es soll das eingeschränkte Dreikörperproblem mit einer großen Zentralmasse $M$ (der Sonne) und zwei kleinen Massen $m_1$ (Merkur) und $m_2$ (ein weiterer Planet) betrachtet werden. Die Position der Sonne wird durch $\overrightarrow{R}$ beschrieben, die Positionen der beiden anderen Planeten durch ${\overrightarrow{r}}_1$ und ${\overrightarrow{r}}_2$. Die Körper unterliegen nur ihrer gegenseitigen Gravitation, so dass die Bewegungsgleichungen durch

$M\ddot{\overrightarrow{R}}=-G\frac{M{m}_1}{|\overrightarrow{R}-{\overrightarrow{r}}_1{|}^2}\frac{\overrightarrow{R}-{\overrightarrow{r}}_1}{|\overrightarrow{R}-{\overrightarrow{r}}_1|}-G\frac{M{m}_2}{|\overrightarrow{R}-{\overrightarrow{r}}_2|}\frac{\overrightarrow{R}-{\overrightarrow{r}}_2}{|\overrightarrow{R}-{\overrightarrow{r}}_2|}$

$m_1{\ddot{\overrightarrow{r}}}_1=-G\frac{m_{1}M}{|{\overrightarrow{r}}_1-\overrightarrow{R}{|}^2}\frac{{\overrightarrow{r}}_1-\overrightarrow{R}}{|{\overrightarrow{r}}_1-\overrightarrow{R}|}-G\frac{m_1{m}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}\frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}$

$m_2{\ddot{\overrightarrow{r}}}_2=-G\frac{m_{2}M}{|{\overrightarrow{r}}_2-\overrightarrow{R}{|}^2}\frac{{\overrightarrow{r}}_2-\overrightarrow{R}}{|{\overrightarrow{r}}_2-\overrightarrow{R}|}-G\frac{m_2{m}_1}{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1|}\frac{{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1}{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1|}$

gegeben sind. Mit der Einführung von $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_1-\overrightarrow{R}$, $\overrightarrow{d}={\overrightarrow{r}}_1-\overrightarrow{R}$ und der reduzierten Masse $\mu =\frac{m_{1}M}{M+m_1}$ lässt sich die Bewegungsgleichung für den Relativvektor zwischen $m_1$ und $M$ auf die Form

$\mu \ddot{\overrightarrow{r}}=-\frac{\alpha }{r^3}(\overrightarrow{r}+\frac{m_2}{M+m_1}{\left(\frac{r}{d}\right)}^3(\overrightarrow{d}+\frac{d^3}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}{|}^3}(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d})))$

bringen. Hierin ist $\alpha =GM{m}_1$ wie im Zweikörperproblem definiert. Da die Situation für das Sonnensystem von Interesse ist kann die Näherungen $\mu \approx m_1$ durchgeführt werden. Es soll im Besonderen die Bewegung des Merkurs untersucht werden, so dass $\overrightarrow{r}$ dessen Position relativ zur Sonne und $\overrightarrow{d}$ die Position eines weiteren Planeten mit Masse $m_p$ relativ zur Sonne beschreiben. Für $\overrightarrow{d}$ können bekannte Lösungen aus dem Zweikörperproblem angesetzt werden. So ist die zu lösende Bewegungsgleichung durch

$m\ddot{\overrightarrow{r}}\approx -\frac{\alpha }{r^3}(\overrightarrow{r}+\frac{m_P}{M}{\left(\frac{r}{d}\right)}^3(\overrightarrow{d}+\frac{d^3}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}{|}^3}(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d})))$

gegeben.

Näherungen zur Vereinfachung

Merkur ist der innerste Planet des Sonnensystems, so dass stets $r<d$ gilt und entsprechend genähert werden kann. Mit dem Winkel $\chi$ zwischen $\overrightarrow{r}$ und $\overrightarrow{d}$ kann die Bewegungsgleichung so auf

$m\ddot{\overrightarrow{r}}\approx -\frac{\alpha }{r^3}(\overrightarrow{r}+\frac{m_P}{M}{\left(\frac{r}{d}\right)}^3(\overrightarrow{r}-3\frac{\overrightarrow{d}}{d}r\cos (\chi )))$

umgeformt werden. Wird $\overrightarrow{d}$ nun durch

$\overrightarrow{d}=d\cos (\chi ){\hat{e}}_r+d\sin (\chi ){\hat{e}}_{\phi }$

ausgedrückt, so lässt sich

$m\ddot{\overrightarrow{r}}\approx -\frac{\alpha }{r^3}(\overrightarrow{r}+\frac{m_P}{M}{\left(\frac{r}{d}\right)}^3(\overrightarrow{r}(1-3{\cos }^2(\chi ))-3r\sin (\chi )\cos (\chi )))$

finden.

Langfristige Effekte

Es sollen Effekte auf langen Zeitskalen betrachtet werden. Der Winkel $\chi$ stellt verschiedene Konstellationen dar. Auf lange Sicht wird jede Konstellation realisiert, so dass über diese gemittelt werden kann. Dies wird erreicht, indem über den Winkel $\chi$ gemäß

$⟨A{⟩}_{\chi }=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}A(\chi )\mathrm{d}\chi$

gemittelt wird. Dabei ist die genaue Lage der Grenzen im Integral irrelevant, solange sie ein Intervall der Länge $2\pi$ abdecken.

Auf diese Weise lässt sich die mittlere Kraft auf den Merkur durch

$⟨m\ddot{\overrightarrow{r}}⟩\approx -\frac{\alpha }{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}(1-\frac{1}{2}\frac{m_P}{M}{\left(\frac{r}{d}\right)}^3)$

bestimmen. (Hierbei wird angenommen, dass $d$ von $\chi$ unabhängig ist. D.h. es wird implizit angenommen, dass die Bahn der äußeren Planeten durch Kreise genähert werden kann.)

Störkraft und Störfunktion

Der erste Term

$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\frac{\alpha }{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}$

entspricht der Kraft der Sonne auf den Merkur. Der zweite Term wird durch den äußeren Planeten verursacht und als Störkraft

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{S}}(\overrightarrow{r})=-\frac{\alpha }{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}\cdot (-\frac{1}{2}\frac{m_P}{M}{\left(\frac{r}{d}\right)}^3)=G\frac{m{m}_P}{2d^3}\overrightarrow{r}=\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\epsilon (r)$

bezeichnet. Die Funktion

$\epsilon (r)=-\frac{m_P}{2M}{\left(\frac{r}{d}\right)}^3$

wird als Störfunktion bezeichnet und ist für die weitere Betrachtung die essentielle Größe.

Siehe auch

• Weiteres lässt sich in den Wikipedia-Artikeln Dreikörperproblem und Bahnstörung einsehen.